把思考的權(quán)利還給學(xué)生
——《求三角形內(nèi)角度數(shù)》教學(xué)

王仁平

【課堂片斷】

探索三角形的內(nèi)角和是180°(略)。

師：前面我們已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和是180°。根據(jù)這一結(jié)論，我們可以解決一些數(shù)學(xué)問題（課件出示下圖）。你能求出下面三角形中未知內(nèi)角的度數(shù)嗎？

生：∠1=180°-100°-25°=55°。

生：還可以用 180°-（100°+25°）=55°。

生：∠2=180°-70°-50°=60°，還可以用 180°-（70°+50°）=60°。

師：為什么這樣計(jì)算？

生：三角形的三個(gè)內(nèi)角合起來是180°，去掉其中的兩個(gè)內(nèi)角后，剩下的就是第三個(gè)角的度數(shù)。

師：也就是說根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，知道其中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能求出第三個(gè)角的度數(shù)，對嗎？（生：對）這樣的問題，是一星級的問題。老師還有一個(gè)二星級的問題，你能解決嗎？

（課件出示）如果只知道三角形的一個(gè)內(nèi)角是40°，你能求出未知內(nèi)角的度數(shù)嗎？

學(xué)生陷入了沉思，過了一會兒，一個(gè)學(xué)生大聲喊道：“我能！”

生：在直角三角形中，一個(gè)銳角是40°，另一個(gè)銳角是50°。

師：你是怎樣想的？

生：180°-90°-40°=50°，還可以用 180°-（90°+40°）=50°。

生：還可以用90°-40°=50°。

師：行嗎？為什么？

生：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，其中有一個(gè)內(nèi)角是直角，是90°，剩下的兩個(gè)銳角合起來是90°。

師：看來只知道一個(gè)銳角的度數(shù)，也能求出未知銳角的度數(shù)。（一個(gè)學(xué)生插嘴道：“這個(gè)三角形是一個(gè)特殊的三角形”）是這樣嗎？（生：是）還有不同的想法嗎？

生：等腰三角形的一個(gè)底角是40°，它的頂角是180°-40°×2=100°。

生：（迫不及待地說）等腰三角形的頂角是40°，它的一個(gè)底角是 （180°-40°）÷2=70°。

師：是這樣嗎？你們怎樣想的？

生：因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等。

師：在等腰三角形中，只知道一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，的確能求出未知內(nèi)角的度數(shù)。二星級的問題我們也解決了。想不想試試三星級的問題？（生：想）

（課件出示）有沒有可能三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都不知道，也能求出內(nèi)角的度數(shù)？

很多學(xué)生激動(dòng)地答：“有！”

生：等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是180°÷3=60°。

師：為什么？

生：因?yàn)榈冗吶切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角都相等，所以用180°÷3=60°就知道了等邊三角形內(nèi)角的度數(shù)。

師：大家真了不起！一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都不知道，也能求出三角形內(nèi)角的度數(shù)。看來，三星級的問題也難不倒大家！

下課后，學(xué)生還在興致勃勃地回味剛才學(xué)習(xí)的情境，一個(gè)學(xué)生跑過來問我：“老師，還有四星級、五星級的題目嗎？”

【教學(xué)反思】

1．“只知道一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，我也能！”——學(xué)生能獨(dú)立自主地思考。

學(xué)生是天生的學(xué)習(xí)者，學(xué)生自身有一種先天的結(jié)構(gòu)支持著他們的學(xué)習(xí)。如面對問題時(shí)，學(xué)生總會自覺地調(diào)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)和智慧去嘗試、去探索、去解決。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，仿佛已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角是求第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的必要條件，別說一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)也不知道，就是知道一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求未知內(nèi)角的度數(shù)，好像都是不可能的。但在課堂上，盡管教師未作任何指導(dǎo)，學(xué)生依然能從自己的認(rèn)知庫中調(diào)取知識、經(jīng)驗(yàn)和智慧將未知變成已知：雖然只知道一個(gè)內(nèi)角是40°，但是可以假設(shè)這個(gè)角是直角三角形的一個(gè)銳角，這時(shí)就轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)內(nèi)角分別是90°和40°，求第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；也可以假設(shè)這個(gè)角是等腰三角形的一個(gè)底角，由于等腰三角形兩個(gè)底角相等，就轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)內(nèi)角都是40°，求第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；還可以假設(shè)這個(gè)角是等腰三角形的頂角，則兩個(gè)底角的度數(shù)和是 180°-40°=140°，一個(gè)底角只需要把140°平均分成2份即可。一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)也不知道時(shí)，可以假設(shè)這是一個(gè)等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角相等，把180°平均分成3份，每份就是等邊三角形任意內(nèi)角的度數(shù)。學(xué)生通過假設(shè)把已知條件置于一個(gè)特殊三角形的背景中來解決，說明了學(xué)生是一個(gè)天生的思考者，面對問題總是會積極主動(dòng)思考的，學(xué)生的這種天性甚至可以說是“人類的一種生存邏輯”。

2.“還有四星級的題目嗎？”——學(xué)生的思考需要挑戰(zhàn)性的問題來激發(fā)。

學(xué)生是天生的思考者，但是課堂中學(xué)生為什么總是表現(xiàn)出不愿意思考的一面呢？造成這一現(xiàn)象的原因是教師總是假設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的，思考較多的是如何講學(xué)生能聽懂，很少考慮如何調(diào)動(dòng)學(xué)生自身的動(dòng)力系統(tǒng)、如何激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地思考。久而久之，學(xué)生也變得不愿、不會思考了。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，如果簡單地呈現(xiàn)一組求三角形未知內(nèi)角度數(shù)的條件完備的封閉題，如已知三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求未知內(nèi)角的度數(shù)，求直角三角形一個(gè)銳角的度數(shù)，求等腰三角形的頂角（或一個(gè)底角）的度數(shù)，求等邊三角形內(nèi)角的度數(shù)等，讓學(xué)生依次解決，課堂必然是另一番景象。在教學(xué)中，我根據(jù)這些問題的內(nèi)在聯(lián)系——都是“已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求未知內(nèi)角的度數(shù)”和直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角的特點(diǎn)，把需要解決的問題設(shè)計(jì)成一組缺少條件的、開放的、具有一定挑戰(zhàn)性的問題，并根據(jù)難易程度確定不同的星級。這樣的問題挑戰(zhàn)著學(xué)生的思維，但學(xué)生“跳一跳能摘到果子”。因此，很多的學(xué)生投入到積極主動(dòng)的思考中，甚至下課了還在激烈地思考著、討論著。這就是教師對學(xué)生學(xué)習(xí)做出“積極主動(dòng)的假設(shè)”后，通過創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的問題點(diǎn)燃學(xué)生思考的“火把”的結(jié)果。

3．“它是一個(gè)特殊的三角形！”——學(xué)生自主的思考帶來了學(xué)習(xí)的增值。

思考是人大腦各部分整體聯(lián)動(dòng)的系統(tǒng)行為，帶來的不可能僅僅是問題的解決。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生調(diào)動(dòng)知識、經(jīng)驗(yàn)和智慧將已知條件置于特殊三角形的背景中解決的過程，也是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)、豐富和完善的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生需要把三角形從角的維度進(jìn)行“回放”——回憶銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形的角分別有什么特點(diǎn)，還需要結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷和選擇——銳角三角形已知一個(gè)內(nèi)角能求出未知內(nèi)角的度數(shù)嗎？直角三角形呢？等腰三角形呢？……這樣，學(xué)生通過解決問題得到的就不僅僅是三角形內(nèi)角和是180°這一孤立的知識點(diǎn)，圍繞在它四周的還有直角三角形、等腰三角形和等邊三角形等，每類三角形都與它用“學(xué)生自己發(fā)明的線”連在了一起，這就是屬于學(xué)生自己的知識結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，學(xué)生也感悟到了“轉(zhuǎn)化”的思想方法——面對一個(gè)新的問題時(shí)，我們首先要考慮的是如何轉(zhuǎn)化成學(xué)過的問題，這就是我們經(jīng)常說的“把新知轉(zhuǎn)化為已知”。學(xué)生通過自己的思考體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂，成功的高峰體驗(yàn)必然會增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信，等等。因此，可以說思考帶來的附加值是全方位的。

把思考的權(quán)利還給學(xué)生，就是要充分相信學(xué)生，相信學(xué)生是天生的思考者，就是要設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的問題激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地思考。在這樣的課堂中師生必將會體驗(yàn)到思考帶來的快樂和幸福！