深入探究把握本質
——《四邊形的分類》教學

王偉群

【教學內容】

北師大版四年級下冊第29～30頁。

【教學過程】

一、四邊形特征

師：在第二單元《認識圖形》中我們學習了圖形的分類、三角形的分類，并且找到了三角形的分類方法。今天我們繼續學習新的分類，并研究它的分類方法。

師：這八個圖形是老師剪下來的，你們觀察這些圖形有什么樣的特點？

生：全都是四條邊。

生：因為有四條邊，所以都是四邊形。

師：我們將四條邊首尾相連所組成的圖形叫四邊形，這就是我們今天要研究的圖形。

二、四邊形初步分類

師：這些圖形有相同點和不同點，如何來找出他們的相同點和不同點呢？這就是我們今天要研究的四邊形分類。

師：現在請拿出剪好的八個四邊形，你們來分分類。想想你要按照什么樣的分類標準，把你的分類標準和結果寫在草稿本上。

師：仔細觀察這兩種分類方法，它們之間有什么相同點和不同點？

生：是按有無平行邊來分的。

生：按有幾組平行邊來分的，兩組對邊平行為第一組，一組對邊平行為第二組，沒有對邊平行為第三組。

師：數學上將這種沒有對邊平行的四邊形稱為一般四邊形，就是普通的四邊形，除了四個角、四條邊、內角和是360°之外沒有什么其他的特點。

三、進一步分類，探討特殊四邊形

師：相對于一般的四邊形來說，這類圖形在數學上又稱為特殊的四邊形。

師：這類四邊形特殊在哪里？

生：特殊在對邊平行。

師：誰來指一指這些對邊平行在哪里？

生：1號圖形有兩組對邊平行，分別是上下兩組，左右兩組；2號圖形只有一組上下對邊平行，3號有兩組對邊平行，4號只有一組對邊平行，6號有兩組對邊平行，7號也只有一組對邊平行。（學生上臺邊指邊說）

師：特殊四邊形是特殊在對邊平行，對邊平行又分為兩種，一種是只有一組對邊平行，另一種是兩組對邊平行。

師：請將這些圖形移到相應的類別中。

師：老師在臺下就已經看到有的同學已經知道這類圖形叫什么了？叫什么？

生：梯形。

師：那這一類呢？

生：平行四邊形。

師：什么樣的四邊形叫梯形？什么樣的四邊形叫平行四邊形？

生：有一組對邊平行的四邊形叫梯形，有兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。

師：能不能將“只有一組對邊平行的四邊形叫梯形”這句話中的“只”去掉？

生：不能，去掉“只”的話，平行四邊形也可以叫梯形了，因為平行四邊形有兩組對邊平行，其中就包括一組對邊平行了。

師：所以這個“只”還是非常關鍵的，不能去掉。

師：梯形和平行四邊形又可以按照一般和特殊進行再分類，梯形可以分為一般梯形和特殊梯形、平行四邊形可以分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形。能不能按照這個標準對這些圖形進行再分類？

生：我是將①、⑥歸為一般四邊形，③歸為特殊四邊形，因為①、⑥除了兩組對邊分別平行之外，沒有其他特殊的特征，而③除了兩組對邊分別平行之外，還有四條邊都相等。

生：你是怎么知道這四條邊都相等的？

生：通過對折可以得到這四條邊相等（邊說邊對折）。

生：老師，我還發現③特殊在它是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，而其他兩個一般四邊形是沒有對稱軸的。

師：他說的對嗎？怎么來驗證他的說法？

生：可以對折，對折后重合的說明就是軸對稱圖形。

師：通過剛剛同學們的分析，我們可以知道③號圖形是特殊平行四邊形，它特殊在不僅四條邊相等，而且還有兩條對稱軸，是軸對稱圖形。

師：你們知道這個圖形叫什么嗎？

生：菱形。

師：誰來講一講梯形的分類？

生：我是將②歸為一般梯形，④和⑦歸為特殊梯形。

師：你的分類依據是什么？

生：②號梯形很普通，除了一組對邊平行之外，沒有其他特征了，而④號梯形有兩個直角，⑦號梯形有兩腰相等。

師：數學上將④號這樣的梯形叫直角梯形，它特殊在角上；將⑦號梯形叫等腰梯形。

師：我們已經講了這么多圖形，如果將長方形、正方形加入到分類體系中，你會把它們放在哪？小組里面討論。

師：你是放在哪里的？理由是什么？

生：我把它們放在特殊的平行四邊形里面。因為這兩種圖形都是有兩組對邊相互平行，所以都是屬于平行四邊形。

師：為什么放在特殊的平行四邊形這個類別中呢？長方形特殊在哪里？

生：特殊在它是軸對稱圖形。

生：特殊在它有四個直角。

師：我們以前就學過正方形是特殊的長方形，所以正方形肯定也是屬于特殊的平行四邊形了。

生：我發現正方形如果斜著看就像是③號圖形——菱形了，它和菱形一樣四條邊都相等。

師：看來正方形和菱形之間也存在某種關系。其實菱形和長方形都可以按照一般和特殊進行再分類。現在你會對正方形的分類位置做調整嗎？

生：正方形是特殊的菱形。

師：為什么？它特殊在哪里？

生：因為它四條邊都相等，所以是菱形，但它又有四個角是直角，所以它又是特殊的菱形，就特殊在四個角上。

師：正方形又是特殊的長方形，特殊在哪兒？

生：特殊在四條邊上，因為它四條邊都相等。

生：它還有四條對稱軸，而長方形只有兩條對稱軸，它比長方形多出了兩條對稱軸。

師：我們現在來一起回顧一下四邊形的分類，通過分類我們知道了平行四邊形和梯形是特殊的四邊形，等腰梯形和直角梯形屬于特殊的梯形，菱形、長方形是屬于特殊的平行四邊形。正方形又是屬于特殊的菱形或特殊的長方形。這些圖形之間可以用更簡單的方式來表示。（如下圖）