思想探索圖形面積
——《三角形》和《梯形》面積公式推導的整合設計

張 琦

【設計緣由】

平行四邊形、三角形和梯形的面積計算是在學生掌握了這些圖形的特征以及長方形、正方形面積計算的基礎上學習的。多邊形的面積計算是以長方形面積計算為基礎，以圖形內在聯系為線索，以未知轉化為已知的基本方法開展學習的。

運用轉化的方法推導面積計算公式，可以有多種途徑和方法。但是原有的教學設計，大多按照教材的安排，將三角形和梯形轉化成已學過的圖形，主要是用兩個同樣的三角形或梯形拼擺的方法開展面積公式的推導。

【設計片斷】

在《預習單》的運用中，培養學生的轉化意識。

【設計意圖：有了推導平行四邊形面積計算公式的經驗，學生會有一種內驅力，渴望并且相信自己可以把三角形轉化成為已經知道面積計算公式的圖形，從而推導出三角形的面積公式，體驗學習的成就感。這里通過課前《我的預習單》的學習方式，既培養了學生提前預習新課的習慣，又滲透了利用身邊學習資源進一步學習的思想；既給予了學生充分的學習、思考時間，又可以讓學生在不斷嘗試了解多種推導方法中深入滲透轉化思想，讓學生經歷將未知轉化為已知的過程，為教學中方法的充分展開做好鋪墊。】

【設計片斷】

在小組合作中，進行轉化的深入探究。

利用教師提供的這些三角形，來進一步驗證。看看我們能不能把三角形轉化成我們所學過的圖形呢？請同學們小組合作，想一想、拼一拼、剪一剪，并填寫好《實驗報告單》。

合作要求：小組討論思考：（1）你們所選擇的三角形種類和數量，能轉化為其他圖形嗎？把你們轉化的圖形粘貼在白紙上。（2）轉化成的圖形面積你會計算嗎？（3）現在的圖形與原來的三角形有什么聯系？（4）看能不能推出三角形面積的計算方法。

實驗報告單

三角形的形狀（畫出簡易圖）轉化的過程和方法（文字或示意圖記錄）所轉化成的圖形（畫出簡易圖）1 2 3 4

我們的發現：____________

【設計意圖：通過之前的預習，學生對于把三角形轉化成學過的圖形以及怎樣轉化已經有了一個初步的理解和認識，課堂上借助小組合作，充分討論和探究，進行思維的碰撞，在動手操作和實驗中，進一步發現三角形與平行四邊形、長方形、正方形的關系，推導出三角形面積計算公式。在這個小組合作活動中，教師所提供的三角形是各種各樣的，從而讓學生體會，只有相同的兩個三角形才能拼出平行四邊形或長方形、正方形。無論是拼組法還是割補法，在我們可能轉化出的多種不同圖形中，只有轉化成長方形、正方形和平行四邊形才能推導出三角形的面積。同時，滿足不同學習水平的學生都有不同程度的收獲和提升。】

【設計片斷】

在梯形面積探究中，靈活運用轉化。

1.初步猜測。

兩種方法：（1）把一個梯形剪拼成已學過的圖形；（2）用兩個完全一樣的梯形拼擺成已學過的圖形。

2.實驗探究。

小組合作，自由選擇以上兩種方法之一進行證明，并填寫探究活動報告。

我選擇的方法所需材料轉化的圖形兩者之間的聯系我的結論

3.交流討論。

（1）讓學生邊介紹并把圖形張貼在黑板上。

（2）過程梳理。

①用兩個梯形拼擺。

重復操作過程：梯形（重疊）→旋轉→平移→平行四邊形。

重點觀察圖形聯系：這個平行四邊形的底和高與梯形的底和高有什么關系？

②用一個梯形剪拼。

重復操作過程：梯形→切割→移補→長方形或平行四邊形。

重點觀察圖形聯系：這個長方形的長和寬或平行四邊形的底和高與梯形的底和高有什么關系？

4.歸納公式，用字母表示并板書。

【設計意圖：由于有平行四邊形和三角形面積公式的推導經歷，梯形面積公式的推導不是難點，但是要求有所提高。讓學生自主地用學過的方法推導梯形面積計算公式，這里仍然要運用轉化的方法，把梯形轉化成學過的圖形。可以用割補法，將梯形分割成兩個三角形或者一個平行四邊形和一個三角形，也可以用拼擺的方法，拼成平行四邊形進行推導。其中用兩個一樣的梯形拼成一個平行四邊形的方法，比較容易推導和理解；另一種割補法的深入研究，更能為后面的組合圖形面積計算做好充分的鋪墊。】

【成效反思】

1.感悟“轉化”思想，喚起學生的轉化意識。

“轉化”是數學學習和研究的一種重要思想方法，在這一單元的學習中發揮著積極的作用。在三角形和梯形的面積計算公式的推導中，無論是拼擺法，還是割補法，都是將所研究的圖形轉化為已經會計算面積的圖形。教學中注重突出“將未知轉化為已知”的基本轉化思想，讓學生通過操作，將所研究的圖形轉化為已經會計算面積的圖形，探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間的聯系，從而找到所求圖形面積的計算方法，促進知識的遷移和學習能力的提高。隨著學生推導面積公式的方法越來越多，在拼擺法的基礎上，更能充分利用割補法進行探究，學習到梯形面積推導時，轉化思想游刃有余。

2.自主探究，經歷轉化多樣化的全過程。

無論是《預習單》的充分利用，還是教學過程中小組合作的充分開展，都是為了給學生留有充分探索面積計算方法的空間和時間，注重突出學生自主探索的活動性。各類圖形面積計算公式的推導均采用讓學生動手實踐，剪一剪、拼一拼、擺一擺，先將圖形轉化為已經學過的圖形，再通過合作學習的方式，探索轉化后的圖形與原來圖形的聯系，從而發現新圖形的面積計算公式這樣一個過程。同時，按照學習活動的遞進性，對學生探索的要求逐步提高。在平行四邊形的面積推導的基礎上，三角形的面積公式推導借助預習和課堂小組合作完成。有了平行四邊形和三角形的面積學習，學生對于拼擺法和割補法有了更進一步的了解，梯形面積則要求學生綜合運用學過的方法小組合作自主推導。在探究的過程中，學生們都積極參與到各項活動中，認真思考、動手實踐，在不斷的驗證、探究中體驗到學習的樂趣和成就感。對于自己推導出來的面積公式更加記憶猶新，比死記硬背面積公式來的高效多了。

3.利用轉化，突破教學中的易錯點。

以往在面積計算的實際運用中，不難發現在計算三角形面積和梯形面積時，學生經常會忘記除以2。所以這次的教學中，我非常注重運用推導方法的多樣性來要引導學生對“÷2”的理解，加深印象。從拼擺法角度看，讓學生明確用兩個相同的三角形或梯形拼成的圖形，三角形或梯形的面積是這個圖形的一半，所以要除以2。從割補法角度看，就更多樣了：

隨著推導公式的不斷深入理解，對于“除以2”的了解也會更加深入，在實際應用中，正確率明顯提升。

數學的學習，教師除了教給學生必備的數學知識以外，數學方法、數學思想的滲透尤為重要，也希望在教學中學生能真正體會到數學學習的意義和快樂。