理解：概念形成的核心

仲廣群（特級教師）

概念形成是概念學習歷程中非常重要的一部分，也是思維過程中最復雜的部分。維果茨基曾提出：“了解概念形成的過程，即可把握兒童認知與思維的過程。”由于概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結構的構造過程，因此概念就是理解狀態的某種心理表征。

對于分數的認識，學生遠不會像當初認識整數時那樣來得順利。這是因為，在學生已有的活動經驗中，來自有關“分數”方面的儲備，遠不如整數那樣多。生活中，學生更多接觸到的是可以一個一個地來數的自然數，當“1”需要再分時，人們又更喜歡用小數來表示（如商場里物品的標價等）。由于缺少豐富的表象來支撐，也缺少外顯操作活動中來自感覺、知覺的經驗，這給學生建立分數的概念帶來了不小的困難。

目前國內各類版本的教材，都分兩次來教學分數的認識，除了上述原因外，還有個重要的原因便是：較之于“連續量模型”，學生對于“離散量模型”的理解，似乎更為困難。把多個物體看做一個整體進行均分，在學生的已有活動經驗中并不豐富，加之整體“1”的類型并不像想象的那么簡單，例如，形成分數至少涉及到有以下幾種不同的類型：

剛好5個糖果

5個以上但被分成了5份

比5多但不能被5整除

比1多但比5少

由于分數的概念是建立在“均分”基礎上的，而后面三種情況的“均分”，對學生而言顯然是難以接受的。所以，再次認識分數，理解多個物體作為一個整體單位“1”，成了理解分數意義的重中之重。

兩位老師都看到了這一關鍵，但在處理的方法上卻有著較大的不同：史老師是從1個漢堡、一個長方形、一把直尺、一個蘋果等這樣的一個物體，引發學生進行拓展思考：“一”還可以表示一扎卡片、一摞卡片、一把卡片；1箱蘋果、1車蘋果、1堆蘋果；1個教室、1個學校、1個區、1個市……既然1個物體可以平均分，那么一類物體、一些物體也可以平均分，而這些被平均分的物體都可以看做單位“1”。這樣的過渡對學生而言是自然的，因為學生的生活經驗被充分調取了。但從學生建構數學概念的角度看，又略顯不足，因為單位“1”是被指令出來的，而不是學生內在生成出來的。

孫老師則是直接讓學生用圖形來表示自己所需要的分數，被分的對象都是由多個物體組成整體。雖然在前面“分數的初步認識”中并沒有離散量的出現，但是，這并不妨礙學生根據圖形來描述給定的分數。在學生操作、表達之后，教師再相機引出單位“1”的概念，也顯得貼切順暢。當然，這樣處理的不足在于，由于教師所設計的“整體”都能夠按照分母的要求進行均分的，后面出現了不能整除的情況，學生的認知仍需向前再跨一步。

或許并不存在一種完美無瑕的設計方案。讓我們更清楚知道的是，學生在教學條件下學習概念與人們在自然條件下獲得概念有著較大的區別。在教學條件下，由教師列舉概念所反映的一些具體事例，讓學生分析、歸納、抽象、概括，以抽取出一類事物的共同本質屬性，從而獲得這個概念，這種方式叫做概念形成。在這一過程中，學生的心理活動大致為：（1）考察具體事物，獲得感性認識，形成表象；（2）分析。分化出這些事物的各種屬性。（3）比較。異中求同，類化出它們的共同屬性。（4）抽象。提出一類事物的共同本質屬性的假設，并且在一些特定的情境中檢驗。（5）概括。將具體事物中抽象出來的共同本質屬性綜合起來，推廣到一切同類事物，以形成概念，并用詞語或符號表示。這一心理過程，概括起來說，就是從直接感知有關事物或模型中獲得感性認識，建立起事物的表象，并在知覺水平上進行分析、篩選、辨認，根據事物的外部特征進行概括、抽象，初步形成概念。而這一過程的核心便是理解。

對照兩位老師的設計，的確都在讓學生通向概念的理解上進行了精心的設計。

操作：兩節課都設計了操作的環節，孫老師讓學生表示分數，史老師讓學生創造分數。這是因為日常生活并不能為學生提供這些經過高度結構化處理的素材，只有教學這一專業活動才凸顯這一功能，這是教師“濃縮”了前人探索的結果，使得素材本身更具“數學味兒”，它可以避免學生走太多的彎路，耗費太多的時間。學生建立分數的概念必須先積累大量的感官經驗、操作經驗，且這些體驗性經驗又具有某些相似性、共通性，然后經由多個層次的“抽象”這一心智活動才得以完成。而若不能以豐富的表象做支撐，概念的建立就成為無源之水、無本之木。

探究：這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動。對于行為操作和思維操作，我們不妨用“操作地思考”和“思考地操作”來界定兩者的區別。如果為了探索獲得直接經驗，我們稱之為“操作地思考”；如果是在思維過程中開展活動而獲得的經驗，比如歸納的經驗、類比的經驗、證明的經驗等，我們稱之為“思考地操作”。兩節課在這方面都進行了有益的嘗試。這樣的活動，既有外顯操作的行為，也伴隨著內隱的思維參與，對學生的學習而言，顯得尤為重要，它是將學生的數學學習上升到“數學思想”境界的必要橋梁。

概括：概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，學生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學生所掌握；沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產生靈活的遷移，思維的靈活性和創造性就無法形成；沒有概括，就無法實現思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現。從兩節課例我們可以大致梳理出這一概括的過程：首先，對已有生活經驗和教師呈現的具體事例的各種屬性進行分化，在經過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質的屬性或特征，然后再概括起來；其次，再進行類化，把概括而得的本質屬性推廣到同類事物中去，這既是一個概念的運用過程，又是一個在高層次上的抽象概括過程；最后，把新獲得的概念納入到概念系統中去，即要建立起新概念與已有的相關概念之間的聯系，這是概括的高級階段。

變式：教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，不斷更換命題中的非本質特征，而保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。兩節課對變式的處理既有相同之處，也有不同之處。相同之處主要表現在對是否“平均分”的處理；不同之處主要反映在，史老師重在讓學生厘清為什么相同的數量可以用不同的分數來表示，不同的分數也可以表示相同的數量？孫老師則更傾向于為什么可以用不同的分數來表示相同的數量？這些都很好地考查了學生是否對分數的意義是否達到了真正的理解。

反思：引導學生進行反思，不僅是課堂教學的一個重要的環節，也是幫助學生積累基本活動經驗的一個重要渠道。如果學生在獲得數學概念后就此終止，不對獲得概念的過程進行回顧和反思，那么數學活動就有可能停留在經驗水平上，事倍功半。如果學生在抽象出概念后能對思路進行檢驗和自我評價，探索成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，從而可以對概念的認識上升到理性水平。長此以往，學生便學會了“數學地思考”，使自己的思維變得條理化、清晰化、精確化、概括化，而這，便通向了數學素養的形成。

兩節概念課教學的課例，再次向我們詮釋了“為理解而教”的真諦。