直觀理解靈活推理
——《帶余除法》練習課教學設計

裘瑩瑩

【教學內容】

浙教版《帶余除法》思考性練習。

【教材分析】

浙教版《數學》重視計算活動中的思考性訓練。教材《帶余除法》部分一共設計了50道習題，其中35道為基礎題，其余則具有一定的挑戰性，除了多數教材都會涉及的周期問題，如：

特別安排了一些代數訓練，如：

又如：70以內的數除以7，余數是5。你能寫出哪些數？

這些練習具有相當的抽象性和概括性。如何使低學齡兒童更好地完成這些練習，尤其是通過練習更好地理解帶余除法的意義，掌握帶余除式各部分之間的關系，在關系推斷的過程中培養和鍛煉思維的靈活性與開放性？筆者設計并實踐了一節帶余除法練習課，與大家分享。

【教學過程】

一、回顧舊知

師：今天我們請來了幾個數字寶寶，是誰呢？（課件出示：2、3、6、20） 在這些數之間加上+、-、×、÷和 =，組成一道等式，你可以嗎？

生：20÷3=6…2；20÷6=3…2；3×6+2=20；6×3+2=20。

師：同樣四個數，我們既可以寫出帶余除法算式又能寫出乘加算式，可見它們之間有一定的關系。

師：如果用點子圖來表示這些算式的話，可以怎么畫？

生:20個點子，每份圈3個，圈6份，還多2個。

生:20個點子，每份圈6個，圈3份，還多2個。

課件出示點子圖：

師：看看圖，再看看算式，你能用這樣的話來說一說乘法和除法的關系嗎？

師：帶余除法里的（ ）相當于乘加算式里的（ ）。

生：帶余除法里的被除數相當于乘加算式里的結果；帶余除法里的除數相當于乘加算式里的乘數；帶余除法里的商相當于乘加算式里的另一個乘數；帶余除法里的余數相當于乘加算式里的加數。

【設計意圖：純數學情境，帶領學生回顧帶余除法的相關知識。通過與點子圖聯系，強調帶余除法與乘加之間的關系，為之后解決思考性的問題提供知識和方法基礎。】

二、拓展練習

1.求被除數系列。

（1）求圖形表示幾。

△÷3=5…2 ☆÷7=3…4

△=（ ） ☆=（ ）

○÷8=4…5 □÷4=5…4

○=（ ） □=（ ）

師：你能很快求出圖形表示幾嗎？

學生嘗試后反饋——

生 ：△=3×5+2=17；☆=7×3+4=25；○=8×4+5=37；□=4×5+4=24。

生：最后一題不對！24÷4應該等于6。

師：求出圖形表示的數后，代入原式檢查是個好習慣。可是，算法正確，為什么答案卻出了問題呢？

生：老師，我覺得是題目有問題。余數應該比除數小。

生：如果想成點子圖，余下的4個還能再圈1次。

課件出示點子圖：

師：用點子圖來幫助自己思考，這個方法好極了！也是這樣想的同學請舉手。我們看圖，當余數和除數一樣大，或者比除數還大，就能繼續圈下去，所以余數總比除數——生：小！

（2）□里填幾？你能寫出哪些算式？

學生嘗試后反饋——

師：我們來看這位同學的算式：37÷7=5…2，他寫得對嗎？怎么檢查？

生：正確，因為 7×5+2=37。不過我還有補充：40÷7=5…5、41÷7=5…6。

師：你真厲害！還有比他寫得更多的嗎？

生：有！我寫的是：36÷7=5…1、37÷7=5…2、38÷7=5…3、39÷7=5…4、40÷7=5…5、41÷7=5…6。

師：大家覺得他寫得怎么樣？

生：他寫得很有規律，被除數和余數都是從小到大排列的。

師：是啊，他寫得很有序，那為什么不再寫下去呢？余7，余8……

生：不可以！余數要比除數小！

師：原來如此。除數是7，余數只能是——1、2、3、4、5、6，這里一共能寫6道算式。像這樣有序地寫算式，可以寫得又多又快！

（3）比比誰寫得快:被除數最大是幾？最小是幾？

（學生獨立填寫、校對）

師：你們發現了嗎，這四道題都需要求出？

生：被除數。

師：它是怎么求的呢？

生：除數×商+余數=被除數。

【設計意圖：三道求被除數題目的思維要求相互關聯，層層遞進。首先結合點子圖，強化學生對帶余除式各部分之間關系的理解，強調“余數比除數小”；在此基礎上引進開放題，鼓勵學生發散思考、有序思考，突出余數和除數之間的對應；最后強化練習，看除數，想余數最大是幾，最小是幾，相應求出被除數最大是幾，最小是幾。】

2.求除數系列。

（1）29÷○=4…5。

師：剛才我們研究了怎么求被除數，如果除數不知道你們也會求嗎？

生：29-5=24，24÷4=6。

師：你能說說算式的意思嗎？

生：題目的意思是29個點子，分成了4份，還多5個點子，那我們就可以先去掉多余的5個點子，29－5=24，分成的4份合起來是24個點子，24÷4=6，每份是6個點子。

課件配合出示點子圖：

師：太棒了！我們再一起看一看……算式里的 29，表示——點子總數。5表示——余5個點。也就是被正好平均分的有幾個點子？分了幾份？如何知道？

師：再來2道這樣的題試一試。

（2）29÷☆=9…2

38÷△=6…2

☆=（ ） △=（ ）

學生嘗試后反饋：

生：☆：29-2=27，27÷9=3；△：38-2=36，36÷6=6。

師：剛才我們研究了怎樣求除數，現在你能來說一說除數是怎么求的嗎？

生：被除數-余數=□，□÷商=除數。

【設計意圖：求被除數和求除數都是逆向思考題，求被除數涉及的是乘加運算，求除數則需要先減再除，因此對學生來說，求除數又要略難一些。鼓勵學生借助點子圖，更好地理解除式各部分之間關系，基于關系的理解找到求除數的方法，并在一定量的練習的基礎上，進行概括。】

3.提升練習。

師：剛才帶余除式里只有一個數不知道，如果有兩個數都不知道，我們還能破解謎題嗎？完成下面的題。

提前完成的學生還可以挑戰聰明題——

學生獨立嘗試后，先組內交流，再班內反饋：

生：首先 26-2=24，說明蘋果×菠蘿=24，積是24的乘法有 3×8=24、4×6=24，根據第二個條件:蘋果-菠蘿=5，可以知道蘋果是8，菠蘿是3。

師：用點子圖來想算式1，這里的26相當于——點子總數，2相當于——余下的點子數，這樣我們就可以知道什么？接下來我們可以想積是24的乘法并選出符合條件的算式。

生：第2題想法是一樣的，39-3=36，想到 4×9=36，6×6=36，而下面的算式要求差是5，所以小兔 =9，小貓 =4。

【設計意圖：從一元進階到二元，引導學生綜合利用信息解決問題。進一步強化數形結合的思考方法，鼓勵學生把點子圖作為輔助思考的工具。聰明題為學有余力的學生準備，實際是一道差倍的變式題，學生可以從式的表征轉換為形的直觀（如畫線段圖表示），再深入推理。對二年級學齡段而言，也可以利用余數比除數小的特點，多次嘗試，逐步得到正確結果。】

【編輯點評】

裘老師把分散在教材中的帶余除法相關的圖形等式推算題集中到一節課上，按從易到難，逐級編排、梳理，加深了學生對除式各部分關系的理解，鍛煉了學生推理的流暢性和靈活性，體現了教師對教材的創造性使用。

教學的明線是圖形等式推算，圍繞“帶余除式各部分關系”這一個知識點，從相對直接的逆向推導（求被除數）到相對間接的逆向推導（求除數），從一元到二元，脈絡清晰，層層遞進，算術與代數、封閉與開放結合得非常自然。

教學的暗線是思考方法。裘老師講題，但目標不局限在解題，不是為了固化一個公式，求得一個結果，而是非常注意展開解決問題的過程，幫助學生積累數形結合的思考經驗。教師總是在問：“那么這個式子表示什么意思呢？”“如果我們用點子圖來表示，該怎么畫呢？”將分點子的直觀圖像與帶余除式各部分的抽象意義聯接起來。一方面，符合低齡兒童形象思維占優的心理特點，能有效促進學生對帶余除法的理解；另一方面，轉換問題表征，以找到解決問題的更多線索，獲取解決問題的更大空間，是重要的思維方法。思維方法的教學不能依靠貼標簽式的講解，需要融合到具體的解決問題的實踐中，反復應用，不斷感悟，最后內化到個體的認知系統中。

此外，教師不急于以優化的名義統一學生的思考，允許學生方法的多樣化、多層次，在班級中形成了一種良好的思維氛圍。提升練習，實質是一系列的差倍問題，但教師強調的重點仍然是對式的意義、對計算各部分關系的多元表征，直觀理解，滲透和溝通的程度拿捏得非常準確。新思維《數學》中有很多類似的鋪墊性練習、螺旋式安排，都可以借鑒這樣的思路。

讓我們細細解讀教材中那些獨具匠心的習題，按思維發展的線索將它們逐級串聯起來，設計優質的教學任務去啟迪智慧，孵化創造。