降低解析幾何運算量的幾種技巧

王昊淵

降低解析幾何運算量的幾種技巧

王昊淵

解析幾何題的運算式子復雜，運算量大，往往成為學生失分的重要因素。在學習過程中，筆者認為要解決失分問題，就必須使運算的式子簡便，降低運算量。由此，總結了解決這個問題的幾種技巧。

一、善于設點的坐標

設點的坐標是解題中常用的方式。設得好，設得巧，可以使運算式子簡便，降低運算量。

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

因此，x1+x2=4k，x1x2=-4a。

假設存在點P（0，b），使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN，則由角平分線定理，得

當b=a時，唯有k=0時成立，故舍去。所以b=-a，故y軸上存在點P（0，-a），使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN。

二、巧用平面幾何定理

平面幾何中涉及的線、角、面積的大小關系都可以用幾何等式來表達，沒有代數運算的繁雜。利用平面幾何知識找出題中的平行、垂直、全等、相似關系，可以縮短思考的過程，然后用坐標表示，也能達到減少運算量的目的。因此，將平面幾何中的一些定理用到解析幾何中，是減少解析幾何運算量常用的技巧。

（1）求△OAB面積的最小值；

（2）過點O作AB的垂線，垂足是P，求點P的軌跡方程。

因此，cos2β=sin2α，sin2β=cos2α。

顯然，當sin2α=0，α=0°時，有最小值

（2）先證一個結論。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，則

故點P的軌跡方程是x2+y2=。

三、妙用圓錐曲線的幾何性質

圓錐曲線的定義（兩種）、焦半徑、離心率、準線以及a，b，c等有十分明確的幾何意義，如果能夠恰當地將幾何意義應用到解題中，可以簡化許多復雜的運算，還容易找到解題思路。

設橢圓的右頂點為A，并設∠AFPi=α（ii=1，2，3）。不失一般性，設，且設點P（ii=1，2，3）在l上的射影為Q（ii=1，2，3）。

減少解析幾何運算量的方法還有一些，如整體代換、坐標變換、運用參數方程與極坐標方程等。解題時，要仔細分析條件與待求（證）式子的特點，選擇合適的方法，才能達到事半功倍的效果。

（作者單位：湖南師范大學附中梅溪湖中學）