定理在孕育中生成 題目在遞進中生長*——一節定理教學課的設計與思考

●張 林

(暨陽湖實驗學校 江蘇張家港 215600)

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定理在孕育中生成 題目在遞進中生長*
——一節定理教學課的設計與思考

●張 林

(暨陽湖實驗學校 江蘇張家港 215600)

在數學教學過程中，幾何定理一直是教學的重點和難點，如何讓學生很好地理解、把握定理,并在實際解題過程中得心應手、觸類旁通，是廣大教師一直努力的方向.文章以“探索三角形相似的條件(2)”為課例，采用“定理在孕育中生成，題目在遞進中生長”的教學設計，變“灌輸式”為“探究式”，變“羅列式”為“生長式”，引領學生進入科學殿堂，感受數學的高大上與接地氣，取得了較好的教學效果．

定理;孕育;生長

《義務教育數學課程標準(2011年)》(以下簡稱《課標》)提出：“數學教學不是把現成的結論教給學生，數學教學是數學活動的教學，要引導學生自已尋求知識產生的起因，探索它與其他事物的聯系，在探索過程中形成概念、尋求規律、獲得結論．”[1]這充分闡明了數學教學要重視學生在學習活動中的主體地位，要讓學生參與知識產生、發展和應用的全過程，要為學生設計有助于促進思維發展的問題，激勵學生更加積極地參與教學活動．

在江蘇省張家港市舉辦的第16屆中小學、幼兒園課堂教學改革經驗交流會中，筆者有幸參加了“初中名師課堂展示”，執教了題為“探索三角形相似的條件(2)”(蘇科版教材《數學》9年級下冊)[2]的公開課，在認真研究教材和分析學情的基礎上，確定了“定理在孕育中生成，題目在遞進中生長”的設計思路，把知識的接受過程設計為知識的發生、發展、發現的探究過程，教學中引領學生進入科學殿堂，與科學對話，感受數學的高大上與接地氣，取得了較好的教學效果，給聽課教師留下了深刻的印象．現將本節課的設計意圖與教學思考整理成文，與各位同行交流．

1 教學設計與意圖

1．1 故事引入，揭示課題

故事：神秘的埃及金字塔引來無數游客觀光旅游．胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，塔基呈正方形，每邊長約230多米，塔高146.59米，被喻為“世界古代七大奇觀之一”．在古希臘，有一位偉大的科學家叫泰勒斯．有一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”這在當時的條件下是個大難題，因為人們很難爬到塔頂．你知道泰勒斯怎樣測量金字塔的高度嗎？

設計意圖 引入數學小故事：一是揭示課題，讓學生帶著問題學習新知，激發學生的好奇心和求知欲，引發思考；二是介紹數學史，傳播數學文化，豐富本課的文化韻味．

1．2 回顧舊知，引發思考

1)如圖1，在△ABC中，點D,E分別在AB,AC上，若滿足條件______，則△ADE∽△ABC．

2)如圖2，已知△ABC和△A1B1C1，若滿足條件______，則△ABC∽△A1B1C1．

設計意圖 心理學家奧蘇貝爾說：“影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學．”通過練習這2個小題：一是可以回顧學過的2個判定方法——“平行判定”和“定義判定”，為后續的學習打下基礎；二是通過剖析這2個“判定”后可以發現：“平行判定”中條件少、方法簡單，但位置關系特殊，需要A型圖(說明：形狀象英文大寫字母A的圖，簡稱A型圖，例如圖1)；而“定義判定”中雖位置關系任意，但條件多、方法繁.由此可引發學生自然而然地思考和探尋：有沒有既能判定位置關系任意的2個三角形相似、條件又少一點的方法呢？

1．3 類比全等，猜想命題

問題：類比全等三角形的判定方法,是否也可以把相似三角形“定義判定”中的條件去掉一部分,如去掉“對應邊成比例”或“對應角相等”,而2個三角形仍相似？

設計意圖 要求學生類比全等來考慮，既滲透類比的數學思想，也使得問題的指向性明確，學生很快就能說出一些命題，如“對應角相等的2個三角形相似”“對應邊成比例的2個三角形相似”等.通過討論和交流，由此猜想出要探究的命題：2個角分別相等的2個三角形相似．

1．4 實驗探究，理論驗證

圖3

實驗探究 如圖3，已知∠1和∠2.

1)作一作：作△ABC，使∠A=∠1，∠B=∠2；

2)看一看：觀察你與同伴所作的2個三角形的形狀和大小；

理論驗證 已知在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1.求證：△ABC∽△A1B1C1．

方法1 平移→A型圖.

方法2 截取→A型圖．

設計意圖 “數學活動經驗”是在“做”中積累起來的．在義務教育階段，學生的年齡和認知特點決定了學生的數學學習很多時候需要借助“剪一剪”“作一作”“量一量”“猜一猜”等數學活動來獲得豐富的數學活動經驗．因此，教學中讓學生先通過動手實踐，初步體驗命題的正確性，再進行幾何證明，從理論上驗證其正確，從而得到該命題是真命題.它是三角形相似的判定定理之一，符合科學研究的一般方法，體現了數學學科的趣味性和嚴謹性，既有利于培養學生的探究意識，也有利于提升學生的學習興趣，更有利于學生獲取更多的數學活動經驗，變被動學習為主動學習，從而使學生形成自己的數學知識和學習策略．理論驗證的方法有2種：平移和截取，目標都是轉化成A型圖，既滲透了轉化的數學思想，也有效地指導了解題策略．

1．5 生成定理，規范書寫

三角形相似的判定定理：2個角分別相等的2個三角形相似．

幾何語言 在△ABC和△A1B1C1中，因為∠A=∠A1，∠B=∠B1，所以△ABC∽△A1B1C1．

設計意圖 在幾何教學中，學生不僅要掌握定理的內容，更要學會規范地書寫幾何語言．另外，教學時要引導學生對定理進行剖析，挖掘它的優越性，如：對比定義判定，條件少了，具備簡潔性；而對比平行判定，位置任意，具備普遍性，讓學生真正理解學習它的意義．

1．6 感受新知，簡單應用

1)在圖4～6所示的圖形中，2個三角形是否相似?請說明理由．

圖4 圖5 圖6

2)下列說法：①有一個銳角相等的2個直角三角形相似；②2個等邊三角形相似；③有一個角相等的2個等腰三角形相似；④有一個角為100°的2個等腰三角形相似.其中正確的個數有

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

設計意圖 設置這2道難度低但概念性強的基礎練習：一是對學生所學的新知起到檢測和鞏固作用，不僅有利于厘清概念、掌握知識，也有利于學生交流發言、體驗成功，激發更佳的學習狀態；二是能幫助學生歸納一些解題策略，即尋找角相等時，要重視觀察圖形的特征，找出隱含條件，如對頂角、公共角等．

1．7 感覺新知，典例賞析

圖7

例1 如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

1)求證：△ACD∽△ABC；

2)圖中還有哪幾對相似三角形？

設計意圖 充分發揮例題的典型和示范功能:一是讓學生學會找2個角相等，并用幾何語言規范書寫；二是可以得到一個常用的基本結論，即直角三角形被斜邊上的高分成的2個小直角三角形與原直角三角形相似.筆者把本題分成2個小題的目的是為了降低難度，由淺入深，使學生易學，其中第2)小題的證明過程可讓學生在課后完成．

1．8 感悟新知，靈活應用

練習1 如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

變式1 增加條件：BE平分∠ABC，交CD于點F，求證：△BCF∽△BAE．

圖8 圖9

練習2 如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

變式2 增加條件：E為AC的中點，ED,CB的延長線相交于點F，求證：△FDB∽△FCD．

設計意圖 在課堂教學中，變式訓練是極為重要的：一是可以把相關的問題集中在一起，形成一個有層次、有梯度、遞進生長的題組或題鏈，學生通過對比和小結，容易發現解決這類問題的規律和方法，有利于揭示問題的本質，比較圓滿地掌握這類問題；二是從上面一個問題到下面一個問題，只有局部的變化，符合學生的認知規律，容易引起學生的興趣，也能夠有效地節省教學時間；三是有利于開拓學生的思維和視野，培養學生質疑、多思的學習習慣，使學生形成良好的認知結構．

1．9 前呼后應，實際應用

據史料記載,泰勒斯在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線是平行光線，構成如圖10所示的△BOA和△EFD，且△BOA∽△EFD，從而測得金字塔的高度．

圖10

練習3 如圖10，點O,A,D在同一直線上，BA∥ED，EF⊥FD，BO⊥OA，木桿EF長2米，它的影子FD長3米，測得OA長201米，求金字塔高度(即BO的長)．

設計意圖 遵循“數學源于生活、寓于生活、用于生活”的理念．用學到的新知解決課初提出的問題：一是能充分發揮數學的無限魅力，讓學生體悟到學習數學是有價值的，達到首尾呼應；二是能由這個故事引發介紹其他有關相似三角形的一些數學文化史，激發有興趣的學生課余再去查找相關資料，作進一步的了解，讓學生真正認識數學、熱愛數學．

1．10 深入探究，各顯神通

練習4 如圖11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

圖11 圖12

變式3 如圖12，將線段DC左右平移，在平移過程中，點D始終在AB上,不與點A重合，且DC與AC均可延長.

探究 隨著DC的平移,觀察圖12中出現的相似三角形有什么變化?請畫出相應的圖形，并指出其中的相似三角形．

設計意圖 創造開始于研究，要發展學生的創新能力，教師要給學生提供可創造的環境和可供研究的問題.探究性學習的主要目的就是讓學生在解決問題的過程中使創造性思維得到訓練.變式探究的變化性和創造性，既激發了學生的學習興趣，也對學生的能力發展和創新意識的培養大有裨益，使學生在問題的探索過程中發現數學知識，體會數學的本質，為他們的終身學習和能力發展奠定良好基礎．

2 教學思考

2．1 變“灌輸式”為“探究式”，讓學生經歷定理孕育到生成的過程

首先，定理教學要變“灌輸式”為“探究式”．古希臘生物學家羅塔戈說過：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需被點燃的火把．”德國教育家第斯多惠也有一句名言：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理．”由此，教師不應是“灌輸者”，而應是“點火者”．正如《課標》所要求的：“教師應激發學生的學習積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗．”[1]

而在《教師不可不知的哲學》一書中，是這樣描述大哲學家蘇格拉底的教師觀：“教師之教學，類似產婆將胎兒引出而已，產婦就是學生，助產士就是老師，產房就是教室，而嬰兒就是觀念(知識)，產婆絕對無法由外向內地賜給產婦嬰兒，卻只能由內往外將嬰兒接生下來．產婦產子，必有陣痛，如同追求知識的辛勤，但陣痛后喜悅，益顯拾獲知識時的興奮．”[3]蘇格拉底主張的這種教學方法強調的是“引出”，而不是“注入”．這個教學觀點在今天仍然高居其優越的地位，在思考層面較多的數學教學中，我們更應該多為學生創設問題情境，啟發學生思考和探究，把要學習的知識引出來，而不是簡單地注入，如此所學到的知識才比較可貴和深刻，學生也更易理解和掌握．因此，定理教學要將教學過程變成師生共同探索知識的過程，而不是強行灌輸知識的過程．

其次，定理要在孕育中生成．孕婦十月懷胎,方能一朝分娩；同樣，新知(定理)也需要一個孕育過程，方能生成．布魯諾說過：“我們教一門科目，并不是希望學生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程，學習是一種過程，而不只是結果．”因此，定理教學中切不可直接拋出定理給學生，而是要讓學生親身經歷定理的產生到形成的全過程．如本課例，筆者讓學生經歷了如下6個過程：

1)故事引入．通過介紹數學文化史上的小故事“測金字塔的高度”，引入本課的課題.

2)回顧舊知．通過以小題帶知識點復習“平行判定”和“定義判定”，從而引發探尋“判定定理”的思考.

3)猜想命題．類比全等的判定方法，通過討論交流，猜想產生出要驗證的命題.

4)實驗探究．讓學生動手實踐，通過“作一作、看一看、量一量”獲得數學活動經驗，初步體驗命題的正確性.

5)理論驗證．通過幾何證明，從理論上驗證其正確，從而得到該命題是真命題，它就是三角形相似的其中一個判定定理.

6)規范書寫．通過幾何語言的規范書寫，不僅有利于掌握定理的內容，更有利于嚴謹、正確地解答幾何題．

學生經歷這樣一個從孕育到生成的過程，不僅掌握了“判定定理”的內容和幾何語言，也清楚了該定理產生的原因，還體驗了數學中“發現問題→提出猜想→實驗探究→理論驗證”的科學探究的一般方法和思維方式，更滲透了類比、轉化等數學思想，并充分感受了數學的美和數學文化的教育價值．2．2 變“羅列式”為“生長式”，使題目在遞進中生長和變化

新知的學習和鞏固都需要通過解題來實現，解題是數學教學的核心內容．波利亞強調指出：“中學數學教學首要的任務就是加強解題訓練．”他有一句名言：“掌握數學就是意味著善于解題．”因此，定理教學中切不可輕視新知學完后的例、習題教學環節，它與新知學習同樣重要，它不僅有利于學生對定理的理解和掌握，還有利于發展學生的數學思維，培養靈活運用數學知識解決問題的能力．

提高解題效益的前提是教師做好例、習題的設計．設計時，教師首先要認真分析教材和學情，理清教學內容的知識結構，然后精心篩選和設計例、習題，并用合適的呈現方式展開，變“羅列式”為“生長式”，由淺入深，適當變式，逐步生長，組成一個有機的整體，凸顯典型性、層次性、變化性和有效性．如本課例，筆者首先通過2個難度低但概念性強的基礎練習，達到厘清定理和歸納解題策略的目的；接著通過一道基本而典型的例題，不僅讓學生學會規范解答，更讓學生獲得一個常用的基本結論，可謂一舉兩得；例題完成后沒有另起爐灶，而是在這道例題的基礎上對圖形進行變化、對條件進行增加，拓展延伸出了2個變式題，且這2個題目遞進生長，逐步加深，意在讓學生通過這道例題的變式而解決與之相關的一類問題；當2個變式問題解決后，學生已能比較熟練地應用本課學習的判定定理，此時回歸解決課初情境導入中提出的實際問題，時機比較恰當，前后首尾呼應，既體現了數學的應用價值，也提升了學生的數學建模能力；最后的探究性問題是在例題的基礎上進行的第3次變式，通過深入追問，不僅把學生的思維引向深處，也把學生的學習興趣推向高處．

因此，定理教學中要深刻挖掘例、習題的教育功能，通過對原題進行適當變式，遞進生長，延伸出具有相關性、相似性、相反性的新問題.這樣不僅能激活學生的思維，為學生展現出“活生生”的思維過程，也能有效地培養學生思維的深刻性、廣闊性、獨創性和靈活性，還能有效地提高學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力．

[1] 史寧中．義務教育數學課程標準解讀(2011年)[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[2] 楊裕前，董林偉．義務教育教科書·數學(9年級下冊)[M]．南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2013．

[3] 林逢祺，洪仁進．教師不可不知的哲學[M]．上海：華東師范大學出版社，2009．

?2016-09-19；

2016-10-29

張 林(1973-)，男，江蘇張家港人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)12-22-04