一次市數學拓展課的觀摩與思考*

●張安軍

(臺州市白云中學 浙江臺州 318000) ●俞昌頁 (臺州市實驗中學 浙江臺州 318000)

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一次市數學拓展課的觀摩與思考*

●張安軍

(臺州市白云中學 浙江臺州 318000) ●俞昌頁 (臺州市實驗中學 浙江臺州 318000)

為進一步完善課程體系、更好地幫助每一位學生實現全面而有個性的發展，浙江省臺州市舉行了拓展性課程研討會.會上3位教師展示了富有特色的拓展課:基于教材，自然生長問題，培養學生的批判性思維；探尋知識的來源，培養學生的公理化思維水平；玩游戲，培養學生的數學思想方法.文章對3位教師的拓展課進行整理，并對拓展性課程的拓展主體、拓展方向等進行思考.

基礎性課程；拓展性課程；課堂教學；理性思維

2015年浙江省教育廳在《關于深化義務教育課程改革的指導意見》中指出，拓展性課程是指學校提供給學生自主選擇的學習內容，明確要求各地和學校要積極探索拓展課程的開發、實施、評價和共享機制，體現地域和學校特色，突出拓展性課程的興趣性、活動性、層次性和選擇性，滿足學生的個性化學習需求.初中數學拓展性課程肩負著實現素質教育的責任和義務，是實現數學教學向數學教育轉變的重要途徑之一.為了更好地幫助每一位學生實現全面而有個性的發展，浙江省臺州市初中數學深化課程改革研討會開設了一次拓展性課程會議，廣大教師對于“數學拓展課程”雖不陌生，但在認識上還存在一定的模糊.例如，數學拓展課程的目的是為了提高中考分數，還是發展人的思維呢？是專為數學的優秀生而開發，還是為成績一般的學生或困難生開發？拓展的內容是在中考范圍內，還是適當超過新課標？數學拓展課程是不是“難題+趣題”？筆者有幸參加了此次會議，對開設的拓展課加以整理和思考，在一定程度上回答一線教師對拓展課的疑惑.

1 立足教材，自然生發問題，培養批判精神

當前中學數學教材都是專家們經過幾番修改形成的數學體系，一些數學基本事實直接引用或告知，學生也很少質疑教材中的內容，加上某些課堂也是“搬運式”的，以“定義或基本事實—定理或推論—例題或習題”的模式灌輸給學生，長此以往，學生缺少了反省、質疑和批判.若教師能在學完一些章節后，讓學生重新溫習章節中的一些根本性內容，有意識地挖掘教材中的資源，在最平常的地方提出一些問題，則可以引發學生的思考，經歷問題提出的過程，培養學生的質疑精神和批判思維.

案例1 推導等式的性質

問題1 觀察等式a=b和a-b=0，你能從數的運算方法加以推導，得出有第1個式子成立就有第2個式子也成立嗎？

分析 因為a=b，所以a=b+0(任何一個數加0仍等于這個數)，再根據減法運算的定義，2個數的和可化為“其中一個加數等于和減去另一個加數”，因此式子a-b=0成立.反之若a-b=0,則根據減法運算的定義，同樣有a=b+0，因為0加任何數等于這個數，所以a=b.

問題2 思考：“等式性質1：等式2邊加(或減)同一個數或式子，結果仍相等”能否用上面的結論進行推導(即a=b?a+c=b+c或a-c=b-c)？

分析 因為a=b，所以

(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b=0，

從而

a+c=b+c.

若2個數的差等于0，則這2個數相等.反之也成立.

分析 若a=b,則對于任意的數c，

ac-bc=(a-b)c=0×c=0，

從而

ac=bc，

反之也成立.若c≠0，則由a=b可得

a÷c-b÷c=0,

從而

a÷c=b÷c,

反之也成立.

教學解讀 當學生學完了“一元一次方程”后，教師常引領學生溫習方程的解法以及利用方程模型解應用題，注重基礎知識和基本技能的鞏固和提高，很少對方程的解法依據進行追根溯源.在這次拓展課中，案例1中的教師先回顧解一元一次方程，然后提出解一元一次方程的依據是什么，學生們熟練回答是等式的基本性質，教師繼續追問：等式的基本性質是依靠什么得到？天平實驗的方法可靠嗎？是否存在判斷誤差？帶著這樣的疑問，對解方程的依據進行新的探索，從數的運算和運算律角度去探究等式性質，把等式性質建立在運算及其運算律的基礎上，從而有效地培養學生的質疑精神和批判性思維.

該教師從數的運算出發，推導等式性質1和性質2，等式的這2個性質均可用有理數的四則運算和運算律進行推導.解方程利用等式性質，學生對此習以為常，教材中等式性質的得出利用“平衡的天平的2邊都加(或減)同樣的量，天平還保持平衡.等式就像天平，它具有與上面的事實同樣性質”[1].實驗教學是直觀的，但沒有運算推導嚴瑾.該教師追溯解方程的源頭，用質疑的眼光和批判的精神，從運算出發，重新構建等式性質.這遠比重復的解方程練習、針對各種應用題類型增大練習量、以數量求質量、形成所謂“題海戰術”更重要.靠“題海戰術”無疑可以提高學生解題的熟練程度，提高考試的分數，但從培養數學英才角度來看，方程和等式性質這個工具更有價值，該工具的合理性何在，工具的來源是什么——引導學生提出反思、質疑，培養他們的批判精神，因此基于學生所學的內容自然地生長，讓部分學有余力且喜歡數學的學生在拓展課上換一種視角、用懷疑的眼光審視所學的內容，追根溯源，培養理性精神.

2 探尋知識的來源，發展學生的公理化思維

受初中學生的知識基礎、認知水平等多方面因素的限制，現行的初中數學教材在《幾何原本》5條公設和5條公理的基礎上擴大了公理(或稱“基本事實”)，例如人教版《數學》8年級上冊“全等三角形”一章中，全等三角形的判定條件有“SSS、SAS、ASA、AAS”，把判定三角形全等的條件都當作基本事實.當學生學習全等三角形一章后，已經掌握全等三角形的各個判定，并能利用全等的判定條件作為工具，證明線段、角相等.然而對于三角形全等，即“SSS、SAS、ASA、AAS”的判定方法之間到底有什么關系，它們彼此之間是獨立的還是可以互相推出，如何得到這些判定方法——以四基為載體，對三角形全等的判定進行探尋，讓學生不僅知其然并知其所以然.教師基于學生已學過的數學知識，對教材中的基本事實進行知識尋根，并引導學生證明幾個基本事實，發展學生的公理化思維水平.

案例2 證明三角形全等

問題1 如圖1和圖2，在△ABC和△DEF中，若AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,試說明：△ABC≌△DEF.

圖1 圖2

分析 由∠B=∠E，知當∠B與∠E疊合時，角的頂點及2條邊互相重合.又AB=DE，從而點A與點D重合.因為BC=EF，所以點C與點F重合.因此，這2個三角形的所有部分對應重合，即2個三角形全等.

問題2 如圖3，在△ABC和△DEF中，若AB=EF,AC=FD,BC=ED,試證明：△ABC≌△DEF.

圖3 圖4

證法1 利用疊合、等腰三角形性質、邊角邊定理.

如圖4，將△ABC中最長的邊BC與其相等的邊DE重合，使得頂點A與點F位于DE的2側,聯結FA.因為AB=BF，所以

∠1=∠2,

同理可得

∠3=∠4,

從而

∠1+∠3=∠2+∠4,

即

∠BAC=∠BFC,

故

△ABC≌△FBC,

即

△ABC≌△FED.

證法2 利用疊合、垂直平分線性質,具體略.

問題3 如圖5，在△ABC和△DEF中，若∠B=∠E,∠C=∠D,BC=ED,試說明：△ABC≌△DEF.

圖5 圖6

證明 將△ABC中邊BC與其相等的邊DE重合，∠B與∠E重合.當點F與點A重合時，由SAS定理知，△ABC≌△FED.當點F與點A不重合時，點F可能落在邊AB上，也有可能在線段BA的延長線上.如圖6，不妨假設點F落在邊AB上，取BF′=EF，這樣由邊角邊定理知△BCF′≌△FED,從而∠EDF=∠BCF′；另一方面，點F′在邊AB上，可得∠BCA>∠BCF′，這樣與已知∠BCA=∠EDF矛盾.同樣地，當點F落在線段AB延長線上時也得到矛盾，故只有EF=BA,從而△ABC≌△FED.

教學解讀 教師通過對“全等形”和三角形全等判定方法的回顧，提出“你們是如何得到這些判定方法的？思考過這些判定方法之間的關系嗎？”等問題，從而激起學生對已學過的知識進行反思和質疑，并以此為契機，對知識尋根探源.然后，教師在課堂上借助學生能夠理解、也能接受、且易于操作的“疊合”(重合)來驗證三角形“SAS”的判定，然后再利用“SAS”或“疊合”,在操作、演示的過程中結合已學過的公理證明“SAS、ASA、AAS”，同時進行說理或論證訓練，初步建構公理化體系.

該教師在數學拓展課中，對全等三角形的判定沒有停留在會證明、會利用全等來解決邊、角相等，而是讓學生經歷知識探源的過程，尋根溯源，培養學生敢于質疑、勇于挑戰的精神，對教材中全等的判定的基本事實進行追問：“為什么‘SAS,SSS,ASA,AAS’能成立？它們之間有什么關系？”借助圖形的運動變化進行疊合，通過幾何變換和疊合來驗證三角形全等的各種判定，從而三角形的各種判定都可以由“疊合”圖形變換推出，統一了三角形的諸判定，化繁為簡，化多為少，用邏輯推理的方式建立起公理化體系，初步培養學生的公理化思維水平.

3 玩游戲，領會數學思想方法

有價值的數學不一定是數學問題，它可以是來自生活或實踐中的問題，也可以是有趣的游戲.實際上有價值的數學要以數學活動為載體，活動中要蘊含典型的數學思想方法.數學思想方法是數學課堂的靈魂，學生在活動中通過重復操作積累經驗，在反復操作中抽象、概括、提升數學思想方法.游戲是一種有趣的活動載體，可以作為拓展性課程，在課堂上讓學生在玩中學、學中玩，融游戲于課堂中，讓學生在學習中充滿積極情感體驗.心理學研究表明：學生在不同狀態下的學習效果是截然不同的.如果學生具有積極的心理狀態，他們的思維就敏捷，記憶力強，對學習產生濃厚的興趣.在數學拓展課中利用游戲這一特點，開設拓展課程，表面上是精彩紛呈地玩耍，其實質玩的是數學思想與方法，數學準確計算與嚴密推理等.通過游戲的活動形式最終提升學生的思維.

案例3 通過游戲學習數學

游戲1 有2疊數量相等的撲克牌,甲、乙輪流在其中任意一疊取撲克牌(每次取牌數量不限,但不能不取),規定：取到最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關系嗎？為什么？

游戲2 有2疊數量不等的撲克牌,甲、乙輪流在其中任意一疊取撲克牌(每次取牌數量不限,但不能不取),規定：取到最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關系嗎？為什么？

游戲3 用12(或11)張撲克牌擺成一個圓圈，甲、乙輪流從中取1張或2張牌，若取走的是2張,則這2張必須相鄰，規定：取走最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關系嗎？為什么？

游戲4 有一排燃著的蠟燭，游戲規則為：1)甲、乙輪流任意選其中一支燃著的蠟燭，把它吹熄，同時所選的蠟燭及相鄰的2支都被一起吹熄，每次輪流到只給1次吹的機會；2)吹滅最后一支蠟燭者為勝.這個游戲的輸贏和吹蠟燭的先后有關系嗎？為什么？

教學解讀 教師利用多媒體技術創設吹蠟燭游戲，為了破解這個游戲，設置3個層層遞進的游戲，游戲3對后取牌者有利，后取牌者只要在先取牌者后面保持數量相等地取牌，這樣后取牌者沿直徑方向把圓形撲克牌化歸成2疊數量相等的撲克牌，轉化成游戲1；同樣，2疊數量不等的撲克牌對先取牌者有利，先取牌者只要取走較多一疊中多余的牌，化不等為相等也轉化成游戲1；而游戲1特殊化是2疊數量相等各1張，對后取牌者有利.把這種同一經驗的數學活動應用到不同背景的游戲中去，在這一過程中教師注重每一次游戲后的反思和總結，積累更一般、更有效、更抽象的數學活動經驗.這樣用相同的經驗和方法去做不同的事情，通過活動經驗概括、抽象、重復操作應用，上升到數學思想方法，并同時把這種有效的數學思想方法和策略遷移到數學解題中去.

讓玩耍的好奇變成深刻的思考，揭密游戲中蘊含的數學思想與方法，在玩耍和對策中提升人的思維品質.通過游戲的形式改善學習，或者通過游戲體驗，把這一體驗性的操作及其活動經驗介紹給同伴，分享游戲奧秘，介紹做游戲的經驗，把游戲中的活動經驗通過抽象、概括提煉更一般的數學思想方法，然后把數學思想方法遷移到數學學習上，進行學法指導，從而促進學生更好地學習.有人說:“教育的本質，就是一個人把在學校所學全部忘光后剩下的東西.”那么數學教育中忘光后剩下的又是什么呢？對于這一點，日本數學教育家米山藏國曾說：“學生們在初中或高中所學到的數學知識,在進入社會后,幾乎沒有什么機會應用,因而作為知識的數學,通常在出校門的1～2年就忘掉了,然而不管他們從事什么業務工作,那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法,卻長期地在他們的生活和工作中發揮著重要的作用.”追尋數學教育的本質，數學課堂教學應該是有思想的教學，有了思想才有課堂的生命力.拓展課中通過玩游戲領會數學思想方法，并把這種思想方法遷移到解數學題中去，讓學生學會解題、學會學習.

4 對拓展性課程的思考

4.1 為什么要開設拓展性課程

義務教育課程分為基礎性課程和拓展性課程.基礎性課程指國家和地方課程標準規定的統一學習內容；拓展性課程指學校提供給學生自主選擇的學習內容.基礎性課程是大眾化、統一格式、統一內容的課程；而拓展性課程讓不同的學生有不同的發展，加強自主性、選擇性，尊重學生的個性化發展.拓展性課程是為了改善學生學習或生活的環境，增加學生的自主選擇性，讓學生感覺到在校生活充滿樂趣，它在基礎性課程保底的基礎上進一步發展.拓展性課程不是為不同的學生開小灶，而是為不同的學生提供和創設不同層次的服務.同時拓展性課程是基礎性課程必要的補充,例如基礎性課程中的課題學習，教師通過層層鋪墊，一問一答，像平常課一樣指引或牽著學生學習，沒有讓學生經歷問題意識，沒有放手讓學生自主實踐，沒有引導對教材中的問題進行深層次的反思或質疑等，這些都是基礎性課程的缺陷.因此,拓展性課程在不增加學生負擔的情況下，要基于不同層次的學生開設相應的課程，從而更好地改善基礎性課程.

4.2 拓展性課程主體的定位

拓展性課程主體性的定位，即為誰而開設？是為數學困難生而開設，還是為數學的優秀生而開設？上述案例從某一個方面也較好地回答了這些問題.根據《浙江省教育廳關于深化課程改革的指導意見》：拓展課是學校提供給學生自主選擇的學習內容，是滿足學生差異化、個性化的發展，同時強調義務教育的基礎性、全面性和公平性，開發和培育每一位學生的學習潛能和特長，讓每一位學生愉快地學習、幸福地成長.因此拓展性課程服務于每一個學生，對于數學困難生同樣可以開設拓展性課程，對他們進行學業指導、學法指導，介紹學習數學的經驗，促進他們更好地學習數學，對部分數學困難生還可以進行學業干預；對于數學英才生，開設拓展性課程對他們進行數學觀念的引領，從而達到數學核心修養的提升，如案例1～2；對于數學成績中等或者平常的學生，同樣可以開設數學拓展性課程，如案例3，以游戲為載體，通過玩游戲活動，提升數學思想方法，并把這種思想方法遷移到數學解題中去.

4.3 拓展性課程的拓展方向和拓展內容

數學拓展課和義務教育基礎數學課程有什么區別？數學拓展課應拓展什么？拓展課程是不是就是“難題+趣題”？課本上的內容已經讓學生耗去不少精力，拓展課所開發的內容是否會給學生增加更多的負擔呢？這些問題都縈繞開設拓展課的教師們，案例1～3從某一方面作了較好地回答：如案例1～2中，學生在學習完等式性質和解方程后，加強對等式性質的再認識，教師讓學生反過來思考：等式性質這個工具很好用，這個工具從哪里來，從而培養學生質疑的精神和思維的批判性；又如學習三角形全等后，讓學生通過對全等三角形判定的基本事實進行證明，發展學生的公理化思維水平.質疑和批判性思維是人的理性思維必不可少的品質，在數學史中因質疑和批判推動數學向前發展，如古希臘畢達哥拉斯學派的希帕索斯對可公度的質疑，使他發現無理數；英國大主教貝克萊對牛頓微分的質疑，導致微積分建立嚴格的理論體系.在基礎課程中，沒有讓學生經歷反思、質疑和批判，而

除了基于學生所學內容外，也可創設有價值的數學活動，以數學活動為載體，對學生進行一般觀念和思想的引領，那么數學觀念引領從哪里找？從數學史、數學文化中去找.幾千年來，數學家為人類貢獻了他們的思想和思維方式,數學家曾經遇到的困難，現在的學生或多或少也遇到過，這也是歷史相似性.從數學文化上吸取營養，吸取思想方法，他們是怎么想的？對我們有什么啟發？這就是文化的融合和數學欣賞，包括當下拓展課程中的數學趣題、數學游戲都是從數學文化中來.

數學拓展性課程作為基礎教育的補充，在發展和完善人的思維、形成人們認識世界的態度和方法、滿足差異化和個性化的發展等方面起著重要的作用.學生因課程而生發，教師因課程的開設而成長，開設拓展性課程也是開創我們的未來，讓我們在課程的理念和現實的教學中間努力而求索.

[1] 人民教育出版社.義務教育課程標準實驗教科書·數學(7年級上冊)[M].北京：人民教育出版社，2012.

?2016-08-15；

2016-09-20

浙派名師名校長培養工程第二輪課題(123)

張安軍(1975-)男，浙江臺州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)12-38-05