小題大做 自然探究 深化理解*

●崔志榮

(安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

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小題大做 自然探究 深化理解*

●崔志榮

(安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

“如何促進(jìn)學(xué)生的理解”是每位教師都應(yīng)該思考的問題.選擇少而精、內(nèi)涵深刻的問題，讓課堂節(jié)奏慢下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深逐步探究，從而讓學(xué)生深化理解，是課堂教學(xué)的一個(gè)行之有效的手段.

自然探究;深化理解;教學(xué)反思

1 問題思考

最近，筆者在女兒的測(cè)試卷上看到這樣一道題：

例1 設(shè)x+1是2x2+ax-3的一個(gè)因式，則它的另一個(gè)因式是______.

該題言簡(jiǎn)意賅、方法靈活、內(nèi)涵深刻，引起了筆者的注意，想了解一下女兒的掌握情況，于是問：你是怎么解決的？她答道：這道題很簡(jiǎn)單，老師講了好幾種方法.然后，她一五一十地講了4種方法.筆者肯定了女兒的學(xué)習(xí)情況，然后給她出了一道與此相關(guān)的難題：

例2 求方程2x3-3x2+1=0的實(shí)數(shù)根.

該題求一元三次方程的實(shí)數(shù)根，首先要發(fā)現(xiàn)方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=1，從而說(shuō)明x-1是2x3-3x2+1的一個(gè)因式，再用例1的方法求另一個(gè)因式，最終再求出其他2個(gè)實(shí)數(shù)根.例2難住了女兒，筆者只得再幫她分析理解“多項(xiàng)式的因式與方程根之間的關(guān)系”，她才完成了例2的求解.

上述與女兒的學(xué)習(xí)交流，使筆者思考了一個(gè)問題：例1的課堂教學(xué)能不能再深入一點(diǎn)，讓學(xué)生透徹理解“多項(xiàng)式的因式與方程根之間的關(guān)系”，讓學(xué)生能解決像例2那樣特殊的一元三次方程呢？

2 必要性分析

上述筆者提出的問題，有沒有必要呢？我們先來(lái)看下面這道題：

將點(diǎn)(2,4)代入切線方程，得

至此，如果能深刻理解“多項(xiàng)式的因式與方程根之間的關(guān)系”，那就不會(huì)盲目化簡(jiǎn)了.由上述分析可知，該方程必有一根x0=2，即方程對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式有因式“x0-2”，而方程等號(hào)右邊有“2-x0”，說(shuō)明等號(hào)左邊有因式“x0-2”.因此方程可化為

得到1個(gè)根為x0=2，約去“2-x0”即能解出其他2個(gè)根.當(dāng)然，不少學(xué)生直接把方程化簡(jiǎn)為

與例2一樣，還是要理解“多項(xiàng)式的因式與方程根之間的關(guān)系”.

初、高中的教學(xué)內(nèi)容都研究方程實(shí)數(shù)根的問題，但高中側(cè)重于利用函數(shù)研究方程的實(shí)數(shù)根，如利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)等，得到方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)或方程的近似解；而初中學(xué)習(xí)因式分解，可利用因式分解解方程，多項(xiàng)式的因式與對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根密切相關(guān).上述例1小題大做，讓學(xué)生深入理解“多項(xiàng)式的因式與方程根之間的關(guān)系”，再研究例2，過(guò)渡自然.

可能還有人會(huì)認(rèn)為：例2對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，要求太高了，而且中考也不作要求，沒太大的必要去講.著名教育家陶行知說(shuō)過(guò)：教材無(wú)非是個(gè)例子！不考的不教，只教課本上的知識(shí)方法，太不妥當(dāng)了，把所有學(xué)生都限制在一定知識(shí)框架內(nèi)，不符合新時(shí)期的教育精神.研究性學(xué)習(xí)和探究教學(xué)的提出，就是要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.由例1深化理解因式分解與方程的關(guān)系，過(guò)渡到解決例2，作為研究性學(xué)習(xí)是可行的.為此，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)課，與學(xué)生小題大做，充分探討例1.當(dāng)然，缺乏課堂實(shí)踐，僅供參考，不足之處，望讀者批評(píng)指正！

3 教學(xué)過(guò)程

探究課重在自然之道，方法要在分析中自然產(chǎn)生，理解要在研究中逐步加深.因此，本節(jié)課要在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師點(diǎn)撥發(fā)現(xiàn)新的方法；通過(guò)方法分析加深理解方程與多項(xiàng)式的關(guān)系.此外，二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式十字相乘法，初中教材雖不作要求，但大多數(shù)教師都補(bǔ)充過(guò).當(dāng)然，學(xué)生對(duì)此理解可能還不深，本節(jié)課將結(jié)合其他方法，進(jìn)一步理解十字相乘法.

3.1 自主探究

這一教學(xué)過(guò)程分3步：第1步，學(xué)生自主尋找方法，通常學(xué)生只用一種方法得到答案，教師可以引導(dǎo)學(xué)生：你還能想到別的方法完成嗎；第2步，小組交流，這是學(xué)生再豐富方法、增強(qiáng)理解的過(guò)程；第3步，教師幫助學(xué)生總結(jié)方法，幫助學(xué)生再理解方法間的關(guān)聯(lián).于是得到：

圖1

解法1 (十字相乘法)因?yàn)閤+1是2x2+ax-3的一個(gè)因式,所以十字相乘法的第1行“1,1”對(duì)應(yīng)x+1(如圖1所示);由于二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為2，-3,因此第2行只能是“2,-3”，對(duì)應(yīng)另一個(gè)因式為2x-3.

解法2 (待定系數(shù)法)因?yàn)閤+1是2x2+ax-3的一個(gè)因式，所以2x2+ax-3的另一個(gè)因式只能是一次因式，故設(shè)

2x2+ax-3=(x+1)(mx+n)，

將等式右邊展開，比較系數(shù)得m=2，n=-3,a=-1,因此2x2+ax-3的另一個(gè)因式是2x-3.

解法3 (因式化根法)因?yàn)閤+1是2x2+ax-3的一個(gè)因式，所以-1是方程2x2+ax-3=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，從而

2·(-1)2+a(-1)-3=0，

解得

a=-1.

于是

2x2+ax-3=2x2-x-3，

用十字相乘法分解得其另一個(gè)因式為2x-3.

最后，教師讓學(xué)生思考3種解法之間的聯(lián)系，促進(jìn)他們的理解.由解法2的待定系數(shù)法，設(shè)

2x2+ax-3=(x+1)(mx+n)，

若令x=-1，則

2x2+ax-3=0，

因此-1是方程2x2+ax-3=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，即解法3.解法2中的待定系數(shù)m,n，可用十字相乘法理解，即

1·m=2， 1·n=-3，

解得

m=2，n=-3,

而a=1·(-3)+1·2=-1，與解法1相通.

3.2 教師點(diǎn)撥

學(xué)生限于認(rèn)知與積累，可能想不到除法，需要教師的點(diǎn)撥，讓學(xué)生再理解小學(xué)學(xué)習(xí)的約數(shù)問題，如3是108的約數(shù)，即108除以3的余數(shù)是0，從而引導(dǎo)學(xué)生完成下列解法：

圖2

解法4 (除法)如圖2，因x+1是2x2+ax-3的一個(gè)因式，所以除式的余數(shù)為0，從而

a-2=-3，

即

a=-1，

商2x-3是2x2+ax-3的另一個(gè)因式.

上述例2，不少高中教師在課堂教學(xué)中也用解法4，學(xué)生易于理解并接受.要注意的是，缺項(xiàng)需要用0補(bǔ)位，要與學(xué)生講清原因.與之相似的是配湊法，筆者課堂教學(xué)經(jīng)常使用該方法，它運(yùn)算簡(jiǎn)便，學(xué)生也容易接受，若學(xué)生沒有用過(guò)該方法，教師可先進(jìn)行分析示范.

解法5 (配湊法)因?yàn)?x2+ax-3=2x2+2x+(a-2)x+(a-2)-a-1，所以

2x2+ax-3=[2x+(a-2)](x+1)-a-1,從而a=-1，故2x2+ax-3的另一個(gè)因式是2x-3.

也許有人認(rèn)為，解法5是技巧性方法.其實(shí)不然，該方法的程序化很強(qiáng)，多項(xiàng)式的次數(shù)由高到低依次排列，從高次項(xiàng)開始，保持高次項(xiàng)系數(shù)不變，每2項(xiàng)要湊成因式x+1，最終余式必為0.它的本質(zhì)與除法是一致的，優(yōu)點(diǎn)是方便快捷.

3.3 變式練習(xí)

將例1適當(dāng)變式，讓學(xué)生再練習(xí)，以促進(jìn)學(xué)生的理解，還是有必要的.首先是例1中的二次三項(xiàng)式過(guò)于簡(jiǎn)單，有必要變式為三次多項(xiàng)式，提升一點(diǎn)難度；其次是解法4和解法5，學(xué)生還不夠熟悉，需要加強(qiáng)運(yùn)用再理解.于是把例1改編為下列變式題，同時(shí)提出至少用2種方法完成，至少有1種方法是解法4和解法5之一.

變式題 設(shè)x-2是x3-mx+2的一個(gè)因式，則它的另一個(gè)因式是______.

學(xué)生得到答案不難，但教師有必要與學(xué)生溝通再找解法，讓學(xué)生的解法更合理，促進(jìn)學(xué)生的理解.

溝通1 顯然不能用解法1完成.用解法2的待定系數(shù)法，不少學(xué)生設(shè)

x3-mx+2=(x-2)(ax2+bx+c)，

其實(shí)根據(jù)首項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，可簡(jiǎn)化設(shè)為

x3-mx+2=(x-2)(x2+bx-1).

若用解法3完成，先求出m的值，可再轉(zhuǎn)化為解法2、解法4或解法5完成.

溝通2 由于變式題的三次多項(xiàng)式缺少平方項(xiàng)，很多學(xué)生用解法4和解法5未能完成.解法4的除法運(yùn)算，需要將平方項(xiàng)補(bǔ)位為0，教師重新板書示范，或投影學(xué)生的正確解答進(jìn)行解讀.預(yù)計(jì)很多學(xué)生不太適應(yīng)解法5，用解法5完成的學(xué)生不多，教師可再示范解讀解法5，以讓學(xué)生體現(xiàn)程序化的運(yùn)算理解.即x3-mx+2=(x3-2x2)+(2x2-4x)+[(4-m)x+2]，從而

4-m=-1，

解得

m=5，

因此另一個(gè)因式是x2+2x-1.

3.4 深化理解

最后再要求學(xué)生思考例2.若生源較好，則會(huì)有一些學(xué)生迅速想到方法；生源一般的班級(jí)，也許沒有學(xué)生能迅速想到方法.無(wú)論什么情況，都需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.

師：一元三次方程有一般的求解方法，但我們不會(huì)，即使如此，我們還是能解一些特殊的一元三次方程.同學(xué)們?cè)囅胍幌拢喝绻覀冎酪辉畏匠痰囊粋€(gè)實(shí)數(shù)根，能不能求出它的其他實(shí)數(shù)根呢？

生1：可以.若知道一元三次方程的一個(gè)根，即知道對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的一個(gè)一次因式，然后再選擇例1的方法，得到其他因式，從而求出其他實(shí)數(shù)根.

師：有些一元三次方程的實(shí)數(shù)根，可能不容易發(fā)現(xiàn)；而有些，則很容易發(fā)現(xiàn).同學(xué)們想想：一元三次方程的實(shí)數(shù)根有什么特征，我們能順利發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：如果一元三次方程的實(shí)數(shù)根是整數(shù)根，那么我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，多次用不同整數(shù)代入檢驗(yàn)，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)它的整數(shù)根.

師：對(duì).若一元三次方程的整數(shù)根的絕對(duì)值比較小，則很容易發(fā)現(xiàn)，如用±1,±2等代入檢驗(yàn).請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎祭?，能不能想到好的解題方法？

通過(guò)上述引導(dǎo)，學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)方程2x3-3x2+1=0有實(shí)數(shù)根x=1，也即多項(xiàng)式2x3-3x2+1有因式x-1，用解法2、解法4、解法5能發(fā)現(xiàn)它的其他因式，從而得到該方程的所有實(shí)數(shù)根.因此，教師要求學(xué)生至少選擇2種方法來(lái)完成，然后投影一些學(xué)生的解答并解讀，最后課堂總結(jié).

4 幾點(diǎn)反思

通過(guò)上述教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者對(duì)課堂教學(xué)又有了一點(diǎn)新體會(huì)，想一吐為快，與讀者交流.

4.1 為理解而教

課本上的知識(shí)脈絡(luò)很清晰，方法剖析準(zhǔn)確到位；很多輔導(dǎo)資料，又進(jìn)行了知識(shí)體系的梳理以及方法的適用性歸納，為什么不完全由學(xué)生自學(xué)，還要在教師的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)呢？這正是教師的價(jià)值所在——要為促進(jìn)學(xué)生的理解而教！就中學(xué)生而言，他們也許能看懂課本知識(shí)的來(lái)龍去脈，也許能模仿課本上的方法解題，但他們是初學(xué)者，理解很難深入.需要教師由淺入深地引導(dǎo)；需要師生溝通，同學(xué)間合作交流；需要在教師的帶領(lǐng)下練習(xí)、矯正等等，這樣才能深入理解知識(shí)的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)方法的適用性分析.因此，幫助學(xué)生深化理解知識(shí)方法，引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)分析，是我們課堂教學(xué)的中心任務(wù).

4.2 多上探究課

探究課是新課程理念所倡導(dǎo)的，也逐步被廣大教師所認(rèn)同.即便如此，由于中考、高考的壓力，我們有講不完的數(shù)學(xué)題，導(dǎo)致課堂上的形式探究嚴(yán)重，如教師引導(dǎo)過(guò)度、問題的探究淺嘗輒止、深度和廣度都不夠、快探究只有少數(shù)優(yōu)生跟得上等等.于是，有很多教師經(jīng)常抱怨：這個(gè)問題、方法已經(jīng)講過(guò)多次，怎么還不會(huì)，每次都是似懂非懂，終究還是不會(huì).這很正常，因?yàn)閷W(xué)生沒有深刻理解！倒不如，我們一節(jié)課深入探討1～2個(gè)問題、深入研究1～2個(gè)方法的運(yùn)用、深入生成1～2個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，要順勢(shì)而導(dǎo)[1].這樣學(xué)生的理解會(huì)更深刻，他們知識(shí)的記憶時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)，方法的運(yùn)用會(huì)更靈活，能學(xué)會(huì)獨(dú)立分析和解決問題.

4.3 例題少而精

筆者認(rèn)為例題過(guò)多會(huì)增加學(xué)生的入題時(shí)間，選擇少而精的例題能減少學(xué)生思維的斷層，教師可通過(guò)探究、變式、一題多解等手段，來(lái)加強(qiáng)學(xué)生思維的連續(xù)性，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這就需要教師在選題上下功夫，要選內(nèi)涵深刻、方法性強(qiáng)的例題，找準(zhǔn)課堂的主攻方向，如：是通過(guò)問題探究激發(fā)學(xué)生的興趣還是通過(guò)一題多解構(gòu)建思想方法，等等.本節(jié)課只講了一道試卷測(cè)試題，但課堂教學(xué)任務(wù)明確，就是讓學(xué)生深入理解問題、強(qiáng)化方法的靈活運(yùn)用，學(xué)生的思維量并不小，他們獲取的信息并不少.

[1] 蔡衛(wèi)兵.順勢(shì)而導(dǎo)自然生成——一次教研活動(dòng)的點(diǎn)滴心得[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(4)：36-38.

?2016-08-18；

2016-09-23

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)自籌課題(B-b/2015/01/088)

崔志榮(1978-)，男，江蘇東臺(tái)人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)12-35-04