數學命題策略探析*

●吳國建

(東陽二中 浙江東陽 322100)

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數學命題策略探析*

●吳國建

(東陽二中 浙江東陽 322100)

作者介紹： 吳國建，男，1969年生，浙江東陽人，中學高級教師，現任浙江省東陽市第二高級中學校長.浙江省首屆教育碩士、首屆浙派名師班班長.曾獲浙江省特級教師、金華市名師、東陽市拔尖人才等榮譽稱號.輔導學生參加全國高中數學聯賽等各級競賽成績突出，多次榮獲全國高中數學聯賽優秀教練員稱號.曾主持浙江省首個高中數學特級教師工作室，現主持浙江省網絡名師工作室.開發省市精品選修課程、網絡推薦課程和基礎教育微課程7門，發表文章近50篇，出版專著和參與編寫教材教輔60多本，主持“基于教師學科理解力培育的自慧課堂研究”等省市級課題10余項.

數學題的命制是數學、教育學、心理學等多學科交叉的一個綜合性工程．一道優美的數學題在符合知識點、難度等命制要求的同時往往蘊含了數學形式與內在美的和諧統一，既能深刻揭示數學的本質，展示數學思維的品質，也能充分展現命題者良好的數學素養．文章通過一些具體數學問題背景意義和命題過程的分析，闡述數學題命制的4種基本策略.

命題策略;一般與特殊;嫁接與組合;類比與推廣;定量與定性

問題是數學的心臟，數學教學離不開解題．數學題的命制是數學、教育學、心理學等多學科交叉的一個綜合性工程．一道優美的數學題在符合知識點、難度等命制要求的同時往往蘊含了數學形式與內在美的和諧統一，既能深刻揭示數學的本質，展示數學思維的品質，也能充分展現命題者良好的數學素養．一個優秀的數學教師不僅應當是一個解題高手，而且應當成為一個命題能手．本文結合筆者多次參與各級各類命題的實踐，探析數學命題的4種基本策略．

策略1 一般與特殊

一般化是將已有特殊問題中的結論向更一般的情形推廣，使原有的結論具有更一般的意義.特殊化是將數學中的一般結論通過數字化、賦值、圖形定位等特殊手段展現在題目中.兩者既可以獨立運用，又可以交叉進行．一般問題特殊化與特殊問題一般化既是數學解題的重要思想，也是數學命題的常用策略．人教版《數學》選修2-1第70頁有這樣一道例題：

例1 過拋物線焦點F的直線交拋物線于點A，B，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．

圖1

這是一個非常巧妙的結論，題目可以變式如下：

變式1 如圖1，過拋物線焦點F的直線交拋物線于點A,B，過點B作平行于拋物線對稱軸的直線DB，交拋物線的準線于點D，則點A,O,D共線．

這2個問題結論成立的關鍵在于焦點與準線、拋物線準線與x軸交點和拋物線的焦點關于原點對稱，這正是拋物線定義的本質.在日常教學中，直線有2種變換：一是旋轉變換，如問題中直線AB隨著直線傾斜角的變化而變化，這種變換不改變問題的結果；二是平移變換，直線平移變換變化的實際上是定點的位置，即題中點F的位置，平移變換后直線的位置需要怎樣改變，是否還要保持原有的對稱性？問題的結果是否會變化呢？基于這些問題的思考，產生了新的問題，其實質就是特殊情況一般化：

圖2

變式2 如圖2，在平面直角坐標系中，過點M(m,0)(其中m>0)作直線g與拋物線y2=2px(其中p>0)交于點A,B，設點N為點M關于原點的對稱點，直線l過點N且與x軸垂直，直線AO與直線l相交于點D，求證：直線DB平行于x軸．

先看一道不等式證明題：

分析 因為

(1-x2)2x2= (1-x2)(1-x2)x2=

所以

即

這是一個一般化的結論，題中只涉及一個變量，結合基本不等式的性質可以通過增加變量、變換多項式的項數等方式，編擬出如下一系列問題：

1)已知0

2)已知0

3)已知0

進一步，結合基本不等式，對a+b,a+b+c,a2+b2等式進行賦值或放縮，可以得到表述更為簡潔的不等式問題：

4)已知0

5)已知0

6)已知0

策略2 嫁接與組合

所謂嫁接，是將已有的一些結論作為一個整體移植到一個數學題內，使之成為整個題目的重要組成部分.而組合是將2個或者更多重要的知識或結論有機地組合在一起，形成一個完整的數學題．無論是嫁接還是組合，在命題過程中要講究自然和諧，而不是生搬硬套，各部分之間應相得益彰，渾然天成．

例3 在解析幾何中有以下結論：如圖3，已知拋物線y2=2px上一點P，過點P作傾斜角互補的2條直線PS,PT，分別交拋物線于點S,T，則直線ST的斜率為定值．

圖3 圖4

為了改變考查形式，在命題時將之作為一部分，與其他知識或內容(如直線和圓)相融合，增加切線等內容，形成了以下變式：

變式3 如圖4，已知拋物線C：y2=2px(其中p>0)，曲線M：x2+2x+y2=0(其中y>0).過點P(-3,0)與曲線M相切于點A的直線l，與拋物線C有且只有1個公共點B.

1)求拋物線C的方程及點A，B的坐標；

2)過點B作傾斜角互補的2條直線分別交拋物線C于點S，T(不同于坐標原點)，求證：直線ST∥直線AO.

例4 1)已知a>1,b>1，求證：

以上問題的解答過程啟發了筆者的進一步思考：

它體現了均值在數軸上分布的稠密程度.那么是不是可以考慮

即

從而構造如下題目：

3)已知a>1,b>1，求證：

策略3 類比與推廣

所謂類比，就是由2個對象的某些相同或相似的性質，推斷出它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式．類比是一種主觀的不充分的似真推理，運用類比可以由某一問題的背景聯想到相似的背景，由某一問題的結論聯想到相似的結論，或由某一問題的解決過程聯想到另一問題的解決過程．運用類比構造數學問題，應當特別注意問題的科學性．推廣是指對一個數學問題的解決過程和結果進行進一步的分析研究得到新的結論，或得到啟發從而構思出新問題的過程．類比需要的是2個存在某些相同或相似的研究對象，而推廣需要的是原問題有進一步思考的空間和價值．

( )

A．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為銳角

B．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為鈍角

C．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為銳角

D．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為鈍角

本題的求解，可以直接運用雙曲線的定義．而橢圓和雙曲線作為2種重要的圓錐曲線，在幾何性質上具有統一性，這種統一性正是聯想的基礎，由此及彼，往往可以編擬出許多數學問題．如將本題中的雙曲線改為橢圓，其余不變，可得到如下變式：

圖5 圖6

( )

A．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為銳角

B．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為鈍角

C．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為銳角

D．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為鈍角

仿照原題的解法，利用橢圓的定義可以求得(過程略).

例6 設a,b,c>0，求證：(a5-a3+3)(b5-b3+3)(c5-c3+3)≥(a+b+c)2.

分析 本題的證明需先證一個結論：

a5-a3+3≥a2+2.

由a5-a3+3-(a2+2)=

(a-1)2(a+1)(a2+a+1)≥0，

可得

a5-a3+3≥a2+2.

在此基礎上，由均值不等式得

(b2+2)(c2+2)=b2c2+2b2+2c2+4=

即

由柯西不等式得

故 (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥

從而 (a5-a3+3) (b5-b3+3)(c5-c3+3)≥

3(a+b+c)2,

得證．

分析此證明過程，可以發現a5-a3+3≥a2+2的證明起到了一個降冪的作用，實現了從五次到二次的巧妙過渡．而在(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a2+b2+c2)的證明過程中，根據輪換對稱性，左邊a2+2,b2+2,c2+2中任何2項組合都能證明結論．值得思考的是，如果將左邊推廣到(a2+2)(b2+2)(c2+2)(d2+2)，結論會怎樣呢？由此，可編擬如下變式：

變式5 設a,b,c,d>0，求證：(a5-a3+3)(b5-b3+3)(c5-c3+3)(d5-d3+3)>

策略4 定性與定量

將定性的結論，通過數字化的形式以定量的方式呈現，也是數學命題的一種常用策略.這一策略比較適用于幾何問題，要求命題者有較高的幾何素養，對幾何圖形有較強的觀察能力，對幾何性質有較深刻的理解．

例7 在平面幾何2個圓的位置關系中，有如下性質：如果2個圓相交，則公共弦所在直線與2個圓公切線的交點是2個切點的中點．如圖7，已知⊙M和⊙N相交于直線PQ，直線ST為2個圓的公切線，直線PQ交直線ST于點G，則由GS2=GP·GO=GT2知G為ST的中點．

聯想拋物線的性質，以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與拋物線的準線相切，因此可以將整個圖形置于坐標系中，將準線看成2個相交圓的公切線，進一步研究相交弦的性質，可編制如下變式：

圖7 圖8

變式6 如圖8，過拋物線Γ的焦點F(0，1)作斜率分別為k1,k2的2條不同直線l1,l2，且l1交拋物線Γ于點A,B，l2交拋物線Γ于點C,D，以AB,CD為直徑分別作⊙M和⊙N．

1)求拋物線Γ的方程.

2)判斷⊙M和⊙N的公共弦所在直線是否經過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

例8 用“定性與定量”的策略描述空間幾何體中的正多面體.

我們知道，空間幾何體中，正多面體只有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中每個面都是三角形的只有正四面體、正八面體和正二十面體．

以正四面體為例，在正四面體靠近一個面的中心取一點，從這點出發，將四面體的各條棱投影到平面內，得到如圖9所示的圖形，它由3個三角形組成，每個三角形對應四面體的一個面，第4個面投影后變成大三角形，此時圖形的每個頂點聚焦著3條邊，因四面體每個頂點聚集3條棱．

圖9 圖10 圖11

同理，利用中心投影，可從一個正八面體得出一個由7個三角形組成的圖形(如圖10所示)；可從一個下正二十面體得到一個由19個三角形組成的圖形(如圖11所示)，在每個頂點分別聚焦著4條邊或5條邊．

根據以上的分析，可以將每個面都是三角形的正多面體通過投影轉化到平面上，此時得到的圖形每個頂點有相同數目的邊，可根據上述結論命制如下變式：

變式7 把一個三角形分成n個三角形，使在所得三角形的每個頂點處(包括大三角形頂點處)聚集著相同數目的邊，求n的可能取值．

?2016-09-10；

2016-10-12

吳國建(1969-)，男，浙江東陽人，浙江省特級教師.研究方向：數學教育.

O12

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1003-6407(2016)12-01-05