反分類討論思想在函數問題求解中的應用

鐵勇

【摘要】反分類討論思想是一種重要的數學思想方法，對數學問題的求解有一定的指導作用.結合數形結合、變量代換等反分類的討論思想方式，通過給出典型實例，詳細探討反分類討論思想在函數問題求解中的應用，體現出反分類討論思想在求解有關數學問題中的一定的優越性和實用性.

【關鍵詞】反分類討論思想 函數問題 應用

一、引言

分類討論思想是數學問題求解中的一種重要的數學思想方法，而與分類討論思想相對立的反分類討論思想在一些數學問題的求解中同樣體現出一定的實用性和應用意義.本文結合數形結合、變量代換等反分類的討論思想方式，通過給出典型實例，詳細探討反分類討論思想在函數問題求解中的應用，體現出反分類討論思想在求解有關數學問題中的一定的優越性和實用性.

二、反分類討論思想的概念與特性

反分類討論思想主要是抓住整體布局討論的形式，與分類思想不同的是，它要求抓住問題的整體結構，把各種條件和結論整合起來，從整體去探討問題求解的的一種不分類而整體解決問題的方法.運用反分類討論思想分析問題，往往從整體上把握問題的實質，從而有利于正確找出解決問題的思路，達到解決問題的目的，并不是所有的問題都可以分類討論，有些問題一旦分割開來討論，就會出現不符合邏輯的情形。條件之間存在著相互制約和相互聯系的特點，有些問題一旦脫離了某一個條件，分開討論，結果必然大相徑庭。在這種情況上，從整體討論入手，就能很好地解決相關的問題。

三、反分類討論思想在函數問題求解中的應用

（一）反分類思想應用于不等式和方程問題

不等式問題往往會有一個或幾個參數，因此就會含有幾個變量，其中一個變量在解題的過程中被稱其為主變量.對于此問題，盡可能不要進行分類討論，主變量的存在，依然要影響著其它變量，反過來其它變量也會制約著函數的結果.

例1 若0≤t≤3，使得不等式（x-1）t+x2-4x+3>0恒成立，求x的取值范圍.

分析：在分析此問題時，如果把x看作主變量，利用求根公式或因式分解討論x的取值范圍，那么解題過程會比較復雜且容易出錯，在這里，如果采用反分類思想，不妨設p為主變量，那么就會有f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，同時，也會使得不論x處于x>1、x=1、x<1的任一種情況下，總有f（t）的圖象都表示一條直線，這樣變換主變量就不用分類討論了；反而使得問題得到了有效的解決。

解答：把t看作主變量，設f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，函數f（t）的圖象表示在x范圍內的一條直線，要使0≤t≤3時f（t）>0恒成立，只須在端點的函數值都大于0即可，而最終計算可得到x>3或x<0，即x的取值范圍是（-∞，0）∪（3，+∞）。

例2 已知方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]有實數根，求實數m的取值.

分析：方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]內有實數根，也就是mt2-2t+2=4在[0.5，2]內有實數根，通過反分來討論思想，可以通過分析實數m的取值范圍，如果對m進行分類討論，這樣會使問題變得復雜化，并且繁瑣的計算步驟，使得問題不能正確求解，當我們確定了t的取值范圍以后，就可以把m變換為主變量來進行有效地求解問題，這樣方法可以使得問題得到巧解，從而得到正確的結果。

解答： log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]內有實數根，則m=2÷t2+2÷t在[0.5，2]內有x的實數根；設f（t）=2（1÷t+0.5）2-0.5，則t在[0.5，2]內是減函數，所以當t∈[0.5，2]時，m的取值為m∈[1.5，12]。

小結：對于某些特殊的不等式恒成立或方程恒有實數根的情形，求解或證明問題，可以通過變換主變量（把參數與主變量分離，進行反分類討論）的方法，轉化為討論方程中函數的單調性的問題，這種有效的方法是分類討論所不能達到的效果，從整體上做到不分割而統一討論，從而形成正確的結果。

（二）反分類思想應用于實變函數問題

實變函數的問題的抽象性和證明的嚴謹性，決定了實變函數問題的探討，需要尋求某種關聯性緊密的求解方法才能有效地解決一些特殊的問題。下面通過兩個實例來說明。

例3 一個無限集可以和它的一個真子集對等.

證明：（反證法） 假設可以和它的一個真子集對等的集合是有限集A，則根據有限集的定義，A和正整數的某一截段{1，2，3，…，n}（n是確定的正整數）對等，不妨設n=3，則A∪{1，2，3}，而{1，2，3}的真子集只有三個：{1，2}、{2，3}、{1， 3}，顯然這三個真子集中任何一個都不能與{1，2，3}對等，就不可與A對等，與假設矛盾.則可以和它的一個真子集對等的不是有限集，而不是有限集的集合只能是無限集，因此，只有一個無限集才可以和它的一個真子集對等.

例4作為伯恩斯坦定理的應用，證明：設C B A，且A～C，則A～B～C.

證明：因為A～C B，且B～B A，則根據上面的定理得到A～B，故A～B～C.

小結：教材中提到的證法存在著明顯的錯誤，因為題設的兩個條件：C B A和A～C，僅用到了C B，就得到了C的一個子集C*～B，而B的一個子集B*～C，從而得到B～C。此證明過程中，B的一個子集B*～C，可以理解為B存在的子集B*是C，而C～C，但是不能說明C的一個子集C*～B，因為條件僅用到C B。此證法最終反映出的就是若C B，則必有B～C，這是錯誤的論斷。上面的詳細證明，也體現出整體討論條件和結論之間的關系所呈現出的反分類討論思想，即：給出的兩個條件全部都體現到證明過程中，成為了有力的依據，從而得到正確的證明過程。

參考文獻：

[1]呂傳漢.數學的學習方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]陳鼎興.數學思維與方法——研究式教學[M].南京：東南大學出版社，2011.