系統思維在初中數學教學中的個體解讀

陳善信

[摘 要] 系統思維是重要的思維方式，初中數學教學中堅持系統思維，既符合初中學生的認知特點，也有助于有效教學關系的構建. 系統思維意味著教師的教學要關注一個周期（一學期、一學年甚至是三學年）的數學學習，意味著教師需建立明確的教學主線. 系統思維可以讓學生在數學概念構建與問題解決中更好地利用先前經驗，并形成學習思路. 系統思維在新課教學中宜隱性，在復習中宜顯性.

[關鍵詞] 系統思維；初中數學；數學教學；解讀

數學教學專家、人民教育出版社中學數學室編審章建躍博士明確指出：“數學是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維. ”什么是數學思維？章建躍博士的理解是：“系統思維就是把認知對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法. ”筆者在教學中接受了“理解數學，理解學生，理解教學”的教學理念，同時從教學經驗中梳理出一個認識，那就是初中數學教學一定要堅持系統思維. 因為只有堅持系統思維，才能將學生三年的數學學習看成一個整體，看成一個過程；也才能將學生在某一節課堂上的新知構建過程中具體構建數學知識的過程，當成一個學生心智成長、新舊知識相互作用和轉換的過程；才能看得出數學知識在學生學習過程中的動態性與發展性. 也只有基于這樣的思維，學生在學習過程中的特點與不足也才能尋找到更為清晰的解釋，從而為師生有效的教與學尋找更好的生長點.

系統思維對初中數學教學的

意義簡析

從學生的角度關注系統思維對初中數學教學的意義，是一個比較好的研究視角. 以生為本是當前的重要教育理念，其主要體現就是關注學生在課堂上構建知識時的具體心理過程. 調查與研究發現，初中學生已經有了關注知識系統性的意識，他們在構建數學知識的時候一個重要思考點，就是這些知識與之前知識有哪些聯系，對后面知識的學習可能有什么作用；還有部分學生（主要是數學思維較強的學生）能夠有意識地去發現不同數學知識學習過程中可能存在的共同的思維方式，比如在“分式”與“反比例”（人教版初中數學八年級下冊第十六章與第十七章）的學習中，就有學生提出：為什么要將這兩個知識設計成前后關系？還有學生提出：分式與反比例函數之間存在著形式上的相似性，存在著數學知識關系角度的隸屬性. 在實際學習時如果注意到這兩點，那學習反比例函數的時候可能就會輕松一些.

顯然，這是學生比較初步的系統性思維的體現，反映了初中學生在數學學習時重視數學知識與數學方法之間的系統性. 相比較而言，部分初中數學教師卻不太關注學生的系統思維，更加不注重數學教學中對學生系統性思維的培養. 而另一方面，在考試評價中面對學生不太理想的成績時，又責怪學生不知道融會貫通，這種看似自相矛盾的現象在實際教學中應當說還是比較普遍的.

基于這樣的分析，筆者以為，初中數學需要切實關注學生的系統思維，同時提高學生的系統思維能力. 要做到這一點，教師首先要有整體觀、全局觀，尤其是在教學設計的過程中，要有從一冊書、兩學期的教學甚至是整個初中數學教學的角度，去選擇教學方法、重設教學內容等，這樣才能真正達到從“教教材”向“用教材教”的目的. 筆者的教學實踐也表明，這樣的系統性教學思路，可以讓整個初中數學教學成為一個有機的整體. 教師處于以三年數學教學為時間軸的任何一個時間段，都可以通過回顧與展望的方式準確判斷即時的數學教學在整個數學教學的歷程中處于什么樣的地位. 而這樣的教學思路對學生的學習來說，亦是一件十分有益的事情. 初步具有系統思維特征的初中學生，在數學知識的構建中可以更好地完善自身的系統思維.

系統思維在初中數學教學中

的有效實踐

筆者在教學實踐中，時刻注意以系統性思維引領自身的數學教學，并且取得了很好的效果，下面具體說明.

以“勾股定理”的教學為例，這是初中數學中的一個重要內容，同時部分學生又具有最基礎的“勾三股四弦五”的認識，還有部分學生則是基于連續的三個自然數滿足了前兩個平方之和等于第三個數的平方的特點記住了直角三角形具有的邊的關系的特征. 這些認識都是學生可貴的前經驗，在實際教學中需要加以充分的運用. 與此同時，更需要關注的是勾股定理學習過程中的系統性思維的運用與培養. 結合教學參考書可以發現，本章知識遵循著從實際問題（直角三角形邊長的計算），到勾股定理，再到勾股定理的逆定理，然后到實際問題（直角三角形的判定）的順序，并伴以從勾股定理到實際問題的解決，以及勾股定理逆定理與直角三角形的判定的互逆過程. 這是一個最基本的系統思維的體現，提醒著教師的教學要沿著這樣的系統性思路進行.

更具體地說，在勾股定理的教學中，要關注到這種特殊三角形的重要性質，并從性質角度認識到勾股定理是繼“兩銳角互補”“30度角對應邊是斜邊邊長的一半”等性質之后的另一個重要性質，因此直角三角形的性質又可以成為勾股定理學習的另一個系統性思維的主線. 也就是說，以直角三角形的性質為思維主線，可以將此前學過的性質與即將要學的性質串聯成一個大的知識串，從而形成一個知識體系，這樣的體系構建對于學生來說也是系統性思維的一種體現.

實際教學中，筆者以復習直角三角形的性質為引入，強調性質作為主線是更全面地構建直角三角形認識的重要思維線索；然后以畢達哥拉斯偶爾發現勾股定理的數學史，直接切入對直角三角形（此時為等腰直角三角形）三邊數量關系的研究. 需要指出的是，如教材一樣將圖1中的右圖從左圖中提取出來，原本也是系統思維的一種體現.

筆者在教學中發現，如果不將右圖以陰影的方式凸顯出來，那學生在觀察左圖時一般是不會有大數學家畢達哥拉斯那樣的發現的. 這說明了在初中學生的思維中，一般還不會想到從面積的角度去求證直角三角形邊的關系. 而在教學中，筆者進行了這樣的處理：首先，呈現如圖1中的左圖，讓學生從數學的角度去思考發現，這個時候直角三角形是最直觀的結果；其后進一步提出問題：能否借助于該圖發現直角三角形三邊之間可能存在的關系？這個問題是系統思維中最關鍵的一個體現，其指向了三個因素：一是學生原有知識體系中關于直角三角形及其邊的關系；二是新的關系即直角三角形三邊關系的猜想；三是其中可能運用到的數學發現與邏輯思維方法. 這三者之間存在著互相影響、互相促進的關系，在教學中梳理出其中的關系，即可讓學生在系統思維的基礎上有效完成勾股定理知識的構建.

具體來說包括：（1）從知識體系的角度理清直角三角形三邊關系與原有知識之間的聯系. 這個可以借助于上面提及的“性質”這一思維主線來進行，學生回憶到的即有30°直角邊與斜邊的關系，也有普通三角形兩邊之和大于第三邊的關系. 同時學生還可以借助圖1中的左圖去猜想三邊之間可能存在的定理關系. 但學生此時一般是從簡單的和差關系來思考的，難以直接想到平方關系. （2）從數學猜想的角度猜想直角三角形的三邊關系. 數學猜想是此前數學學習過程中常常用到的方法，也是數學探究的重要環節，此處猜想的依據即為左圖中的面積關系引導下的直角三角形三邊關系的猜想. （3）從邏輯推理的角度，將從等腰直角三角形中得出的關系向一般直角三角形推廣，這也是數學思想方法的系統運用. 需要指出的是，在對這三種關系梳理的過程中，教師最好都要指出此前數學學習過程中的類似情形，以促使學生有效回憶原有的知識體系并使原有的數學思想方法形成正遷移.

以系統思維為基礎的數學教

學新理解

在系統思維教學思路的指引下，包括勾股定理在內的數學知識學習的過程，都體現出了明顯的承上啟下、前后呼應的特征，學生在構建數學知識的時候總能有意識地尋找新學知識與原有知識之間的關系，無論是在數學情境中構建知識，還是在實際問題中去解決問題，學生都會分析判斷：今天這個數學概念的建立過程與以往哪個數學概念有類似的地方；一個問題的解決需要哪些其他問題的解決；這個數學問題與某個數學問題之間是否存在共性等. 筆者以為，這些表現都是系統思維作用的結果.

綜上所述，以系統思維作為初中數學教學的一個重要思路，可以促進有效教學的實現，在日常數學教學中采用隱性的系統教學思路，可以促進學生在構建數學知識時更注重系統性；在階段性復習或總復習中將隱性的系統思維角度顯性化，有助于學生高效理清數學知識之間的脈絡. 因此，系統思維確應如章建躍博士所說的那樣，可以引導師生教學既見樹木，又見森林.