“鋪墊·創境·爭論·反思”

周梅琦

[摘 要] 初中學生數學探究能力的培養要注重“鋪墊·創境·爭論·反思”活動的展開，注重數學知識的梳理和數學思路的引導，注重學生的探究體驗.

[關鍵詞] 探究；鋪墊；創境；爭論；反思

數學素養構成中，最為重要的成分便是探究能力，因為它是自主性學習的深化，是創新能力形成的必經路徑. 探究能力的高低直接決定學生數學素質的高低，表現為能否在日益注重素養考查的考試中考取高分. 毫無疑問，探究能力與學生的智商有著密不可分的關系，但是，同樣的智商條件，學生的探究能力會產生差異，這很大程度上取決于探究能力的培養. 為此，筆者認為，應當關注探究過程，努力構建探索能力的形成機制.

鋪墊

“鋪墊”即事物發展過程中的前期準備工作，是數學探究能力形成的基礎性準備和前提條件. 數學探究問題一般具有一定的復雜性，往往關鍵的條件，哪怕是一個數據、一個小數點、一條線段、一個未知數等，都可能影響整個探究活動的成敗，而這些條件所牽涉到的知識或技能往往又是基礎性的、前置性的，是在探究活動展開之前就應該掌握的. 一般而言，探究問題具有極強的綜合性，往往將簡單的單項知識或技能整合起來，構成一個復雜的系統，而抽出若干條件，讓學生探究. 所以，分析探究問題所牽涉的知識和技能的鋪墊，從中打開探究問題的突破口，是數學探究能力形成的重要路徑.

比如，下面的題目：如圖1，已知拋物線的頂點為A（0，1），矩形CDEF的頂點C，F在拋物線上，D，E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），矩形CDEF的面積為8.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，若點P為拋物線上不同于點A的一點，連接PB并延長交拋物線于點Q，過點P，Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S，R.①求證：PB=PS；②判斷△SBR的形狀；③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P，S，M為頂點的三角形與△BOR相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由.

像這樣的問題，幾乎囊括了初中數學重要的知識點，諸如一元一次方程、平面直角坐標系、一次函數與二次函數解析式的求法（圖像及其性質）、四邊形（特殊）的性質、直角三角形的性質、解直角三角形、相似三角形等，而對于用幾何圖形的某些特殊性質，如勾股定理、相似三角形對應線段成比例等來構造方程，更是被廣泛應用. 如果沒有這些鋪墊，探究問題就無法進行下去.

創境

“創境”即創設探究問題的情境，一是探究的氛圍，針對重難點問題，提出引而不發的問題，積極鼓勵學生展開探究；二是設置具體的問題情境，讓知識和技能在實際的生產應用、生活情境當中鮮活起來. 通過人為創設障礙，提高探究問題的挑戰性，吸引學生深入研究、思考，提高分析問題、解決問題的能力.

課堂教學中教學點必然會遭遇理解瓶頸，課堂活動的重點也必將因之產生，難點也會自然呈現. 教師如果在重難點上沒有充分發力，引導學生展開探究，那就不可能完成教學任務，達到預期的教學目標.

比如蘇科版八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”第一節“圖形的旋轉”，其教學重難點是“一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等”. 教材先從實例闡述，逐步引導出這個結論. 但是，這必須用數學思維去驗證，而抽象的想象不可能將這一結論深深地嵌入學生的知識結構之中，那么，我們就應該設置探究問題，鼓勵學生獨立探索，主動建構. 教學伊始，筆者便將這個結論直接擺出來，問學生：

“大家覺得這句話可信嗎？”（得到不同的回答，不少學生半信半疑）

“這沒關系，科學來不得一點兒虛假，我們必須用科學的思維去求得科學的結論. 所以，接下來，同學們從數學的角度，用數形轉化的方式，來破解這一謎題吧！”

“不過，請答應我一個條件——不要再看教材，自己或者尋求小組合作探究，看看這其中的神奇世界. ”

設置這個條件，其實就是為了避免教材現成的素材對學生的探究活動產生消極的、先入為主的干擾，以求得探究效果的最大化.

通過課堂觀察，筆者獲悉，學生分別采用了數軸、實物等方式方法，建構旋轉的概念；也采用了幾何圖形畫圖的形式，嘗試不同圖形的旋轉效果. 最后筆者引導學生充分閱讀教材中的闡述和示例，彼此分享探索體驗. 在此基礎上，筆者又設計了一組實際運用的情境. 反饋表明，這樣的探究指導使學生獲得了理想的學習效果，學生的探究能力得到進一步提升. 可見，“探究式情境的設置對教師及學生的幫助是非常大的，它要求教師在學生學習新的數學知識前，要設置一定的疑問作為鋪墊. ”

爭論

“爭論”即針對探究過程中產生的不同認知和結論，進行辯論. 爭論的實質是學生數學思維的碰撞、數學認知的交鋒，是深層的分享和交流. 沒有爭論也就沒有了探究，探究必然要生成質疑，質疑則促進探究. 課堂活動中，學生動用足夠的數學知識支撐自己的數學發現和觀點，就會對他人產生積極的影響，也能在爭論中更加清楚地認知自身的發現的科學性，從而有利于自我的建構，在順應和同化中登臨更美的數學風景.

比如蘇科版九年級上冊“一元二次方程”中有這樣的描述：“任何一個關于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，a≠0）的一般形式. ”針對這個描述，為了加深學生的印象，我們可以這樣設問：為什么規定“a≠0”這個限制條件呢？b可以為0嗎？對于第一個問題，學生根據方程的概念即可準確判斷，但對于第二個問題則產生了爭論.

生1：不能為0，因為如果為0就不叫一元二次方程的一般形式了.

生2：可以為0，“ax2+c=0”這樣的形式也應該叫一元二次方程，它符合一元二次方程的概念特點.

生3：c可以為0. 比如“ax2+bx=0”，根據概念，它也應該是一元二次方程.

生4：b，c可以同時為0. “ax2=0”也是一元二次方程，只不過它的解是唯一的，只能為0.

師：看來，判斷一個方程是不是一元二次方程的關鍵有兩個：一是未知數的最高次數必須為2；二是未知數的二次項系數不能為0.

通過爭論，學生對一元二次方程的概念及表現形式有了更為透徹的理解，遇到類似的探究問題也就不會忽略一元二次方程的構建條件了. 可見，爭論的過程本身就是一個美妙的生成，生動地創造著數學探究活動的情境. 其實，在各種各樣的探究活動中，一個方案的設計，一種思路方法的選擇，一個輔助線的加設，一個解題步驟的布局等，都可以引起爭論. 在爭論中，教學活動才會使明者更明，誤者糾誤，水落石出.

反思

探究活動具有極強的生成性，也會給學生帶來諸多的意外，既有可能尋找到最佳路徑，也有可能產生迷茫，往往形成“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的局面. 反思探究的過程便會從中撿拾丟落的貝殼，汲取失敗的教訓，儲備成功的經驗. 引導學生養成反思的習慣，就能生成數學智慧，幫助他們挑戰更大的數學探究問題. 反思必須產生“惑”，學生有了疑惑才會主動去思考學習，產生對學習的積極性. 教師應主動去判斷學生是否產生“惑”，如果判斷學生沒有產生“惑”，教師應對學生進行誘導，使學生產生“惑”.

比如，蘇科版九年級下冊第69頁“直線與圓的位置關系”之“如何做一個圓，使它與已知三角形的各邊都相切”. 學生動手探索之后，筆者便提問：“這里用到了哪些知識？”

生1：圓的切線與圓心的關系.

生2：圓與三角形之間的關系.

生3：圓心與三角形內角和之間的關系.

師：我們使用了什么方法來完成這個探索？

生：利用角平分線求得圓心.

師：遇到問題時，我們應該善于驅動相關的數學知識和技能. 要知道，任何復雜的問題都是由一個個細小的數學概念構成的，如果我們能像庖丁解牛那樣，就能破解難題，從復雜的數學關系中理出頭緒來.

當然，反思的路徑、項目可以有所側重. 只要有利于總結得失，梳理數學思路，就會促進學生探究能力的不斷提升.

總之，培養學生的數學探究能力需要多管齊下，不囿于一招一式. 我們只要善于梳理出相關的數學知識和技能，抓住關鍵問題，就能夠游刃有余地打破探究瓶頸；只要善于引導反思，及時將探究體驗升華成數學思想，就能夠為學生的數學探究活動營造濃濃的情意場，深度帶動學生樂于探究、善于探究.