勻強磁場對平行粒子束匯聚的兩類情況分析

劉擎銳

勻強磁場對平行粒子束的匯聚作用，即為粒子經過磁場的偏轉后，能聚焦于場中的某點.為達到匯聚的目的，在粒子基本屬性（質量和電量）相同的前提下，一般地，粒子射入的速度矢量（速度的大小和方向）、磁場邊界的形狀需要滿足一些特殊的要求.涉及此種問題，在習題中比較常見的有兩類情況.

1兩類匯聚情況基本原理

在xOy平面內存在有界勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里.一質量m，電荷量q（q>0）的粒子組成的平行粒子束，在第Ⅰ象限內沿著-x方向射入該磁場，經偏轉匯聚于坐標原點O.依據磁場邊界和粒子速度的不同情形，可分為兩類情況：第一類是圓弧邊界——等速、不同向粒子；第二類是直線邊界——不等速、同向粒子.

1.1圓弧邊界——等速、不同向粒子

若以y 軸上點O1為圓心，R為半徑的圓構成圓弧磁場邊界，射入粒子的速度大小v0.如圖1所示，選取第Ⅰ象限磁場邊界上的任意一點P（x、y），一粒子過P點后，經偏轉匯聚于O點.

設對應粒子運動半徑r，圓心O2.其軌跡如圖1中虛線所示，P點為軌跡的最高點.連接PO2延長交x軸于A點，在Rt△AO2O中，各邊關系滿足勾股定理x2+（y-r）2=r2，此即為磁場邊界滿足的方程.分析可知：只要磁場邊界在第Ⅰ象限內是以O1（0、r）為圓心，r為半徑的半圓，那么粒子必將被匯聚于O點，也就是說，粒子運動的半徑r與已知圓形邊界的半徑R相等是平行粒子束被匯聚的條件.被匯聚于O點的粒子速度大小相等，方向分布在與+x軸夾0°～180°范圍內.

1.2直線邊界——不等速、同向粒子

若過坐標原點O的直線構成磁場邊界，如圖2所示，設直線方程y=kx，選取磁場邊界上的任意一點P（x、y），粒子過P點偏轉后，匯聚于O點.設對應粒子在磁場中運動的半徑r，圓心O1，其軌跡如圖2中虛線所示，P點為軌跡的最高點.

連接PO1交x軸于A點，在Rt△AO1O中，各邊關系滿足勾股定理

x2+（r-y）2=r2，

再結合直線方程y=kx，得x=2kr1+k2.

設∠AOO1=θ，則cosθ=xr=2k1+k2.

為一定值，即匯聚于O點的粒子具有相同的速度方向.該方向為與+x方向夾π2+θ角，且斜向左下.為保證射向直線邊界的粒子能被匯聚于O點，要求平行粒子束具有不同的速度大小，其速度大小v沿y軸縱向的分布滿足v=（1+k2）qB2mk2y，相應的運動半徑r應滿足1+k22k2y，其值與邊界射入點的位置及直線邊界的斜率等有關.被匯聚于O點的粒子速度大小不等，方向相同.

2兩類匯聚情況比較

3.1圓弧邊界——等速、不同向粒子題型變式

（1）粒子源射出的粒子偏轉為平行粒子束

只要改變粒子的電性或使磁場方向反向，由處于坐標原點O的粒子源向各個方向射出的等速粒子，經磁場偏轉就會形成平行粒子束，如圖3所示.若粒子射向第Ⅰ、Ⅱ象限，或只在第Ⅰ象限，那么相應的磁場邊界只需要第Ⅰ象限內的半圓或四分之一圓即可.

（2）匯聚情況的最小磁場面積

要能夠使粒子匯聚或者形成平行粒子束，對于不同向、等速的粒子而言，存在著磁場最小面積的問題.一個典型的變式如圖4所示，射向第Ⅰ象限的粒子經磁場偏轉后均沿+x方向，那么磁場的最小面積應是由兩個等半徑的四分之一圓弧圍成的面積.其中上邊界恰好為沿+y方向射出的粒子運動的軌跡，下邊界是其余所有粒子軌跡最高點的集合，恰好構成以（0，r）為圓心，運動軌跡半徑為半徑的圓弧.類似的，如粒子向其他方向射出，也同樣存在最小磁場的問題.

據可逆性，對平行粒子束的匯聚磁場最小面積也可依據相同的方法得出.

3.2直線邊界——不等速、同向粒子題型變式

（1）粒子源射出的粒子偏轉為平行粒子束

只要改變粒子的電性或使磁場方向反向，由處于坐標原點O的粒子源向確定方向射出的不等速粒子，經磁場偏轉就會形成平行粒子束，如圖5所示.粒子的速度隨y軸坐標的增大而增加.

（2）匯聚情況的速率極值

如果對直線邊界的端點加以限制，那么就存在著平行粒子束的速率極大值問題，常見的是直線與其他圖形構成三角形、矩形等的情況.如圖6所示，從△OCD的頂點C射出的粒子具有速度的極大值，我們可以通過平行粒子束的最大運動半徑來確定這個最大速率值.