巧用“像—線”轉化策略求解透鏡光路難題

蔡培陽

轉化是物理解題常用的思維策略之一，“像-線”轉化策略是指在求解幾何光學問題時將“成像法”求解轉化為“光線法”求解或將“光線法”求解轉化“成像法”求解的思維策略.所謂“成像法”指利用像的性質（像的位置、大小等）來確定光線并進行解題的方法；所謂“光線法”指利用光線性質（反射、折射等規律）來確定成像并進行解題的方法，“成像法”和“光線法”是求解幾何光學問題的兩種基本方法.事實上“成像法”求解要用到光線知識，“光線法”求解也要用到成像知識，因為像是光線作用的結果，光線是成像的過程，兩者密不可分.之所以將解法分為這兩類，一是便于學生理解和掌握，二是便于教師的教學，因此我們在解題教學時重點不應放在解法的分類上，而要放在解決這類問題的思維過程上.

本文重點探討“像-線”轉化策略在求解透鏡光路問題中的應用技巧與思維過程.為了對“成像法”和“光線法”解題的思維過程及“像-線”轉化策略在求解透鏡光路問題上有一較好的理解，先請看下面2個例題：

例1如圖1所示，MN是凸透鏡的主軸，F是焦點，一條光線斜射到凸透鏡上，試作出相應的出射光線.

分析和解該題是典型的光線問題，首先想到用“光線法”求解.即先作出和入射光線平行的副光軸，再過右側焦點作焦平面，則出射光線必經過副光軸和焦平面的交點，如圖2所示.但目前大多中學物理教材并不涉及副光軸和焦平面知識，顯然這樣求解對現在的中學生有問題，若采用“成像法”求解，問題就能迎刃而解.“成像法”求解思維如下：先在入射光線上任取一點S作為點光源，再利用凸透鏡成像的特殊光線確定S的像S′，這樣出射光線就很容易畫出，因為出射光線的反向延長線必經過S′，如圖3所示.

例2如圖4所示，已知物體AB和它通過凸透鏡后所成的實像A′B′，試通過作圖求出透鏡的位置.

分析和解該題是典型的成像問題，首先容易想到“成像法”求解.因為物和像均已知，這時連接AA′、BB′得交點O就是凸透鏡的光心，但會發現僅從物和像的關系將無法確定透鏡所在的平面.若此時再巧妙運用“光線法”，則能較順利地將問題解決.“光線法”求解思維如下：將物BA看成一條光線，則經凸透鏡后的出射光線一定經過B′A′，所以直線AB延長線和直線A′B′延長線的交點必在透鏡上，這一交點和光心O的連線即為透鏡所在平面，如圖5所示.

從以上兩個例題可以較清晰地看出“成像法”和“光線法”求解的思維過程及“像-線”轉化策略的關鍵所在.事實上一些復雜的透鏡光路問題經常需要兩種方法的相互轉化和相互補充，因此靈活運用“光線法”和“成像法”，掌握“像-線”轉化策略是快捷解決難、新、奇透鏡光路問題或其它光路問題的重要法寶之一.下面再通過一些典型事例來加深對“像-線”轉化策略運用的理解.

例3如圖6，L表示薄透鏡，O0′表示主軸，透鏡焦點沒有畫出，也不知是凸透鏡還是凹透鏡，試確定哪些圖的光路正確.

分析和解該題首先容易想到“光線法”求解.從A圖看出，單箭頭光線是發散的，而雙箭頭光線卻是會聚的，由透鏡對光線的會聚發散性質可知A圖錯了.但對B、C、D各圖僅用光線的會聚發散性質則將無法判斷，因為圖中兩條光線要么都發散要么都會聚.若一定要用“光線法”繼續判斷，則必須利用副光軸和焦平面知識，思維如下：先假設一條光線是正確的，作出焦平面，再利用這一焦平面作出另一條光線的出射光線，看和原來的出射光線是否重合，顯然這種方法很繁.若轉化為“成像法”求解則較容易：以B圖為例，先將兩條入射光線的交點當成物點S，則兩條出射光線的反向延長線的交點即為像點S′，過S、S′點作直線看其是否通過光心，即可確定光路是否正確，因為通過光心的光線是不改變方向的.用這種方法可依次判斷C圖和D圖，如圖7所示，可見本題只有B圖正確.

例4如圖8所示，物點a、b、c位于凸透鏡的一側，且它們處在同一直線上，則關于它們的像點a′、b′、c′是否處于同一直線，下面哪種說法是正確的？

A.只有a、b、c三點均在焦點內，它們的像a′、b′、c′才會處于同一直線

B.只有a、b、c三點均在焦點外，它們的像a′、b′、c′才會處于同一直線

C.只有a、b、c三點均在兩倍焦距外，它們的像a′、b′、c′才會處于同一直線

D.無論a、b、c三點在什么位置，它們的像a′、b′、c′總會處于同一直線

分析和解該題求解，首先會想到“成像法”，即利用凸透鏡成像的特殊光線，作出像a′、b′、c′的位置，但利用這一方法卻無法判斷像點a′、b′、c′是否處于同一直線.若將該成像問題轉化為光線問題，則較容易求解.因為a、b、c三點處于同一直線，所以可將這一直線看成一條光線，由凸透鏡的會聚性可大致作出這條光線經凸透鏡后的出射光線（若透鏡不夠大，可將透鏡放大，因為像的位置、虛實等和透鏡大小無關），則由成像規律可知，直線abc上任一點的像必在剛才那條出射光線上，所以答案D正確.若這時要想確定直線abc上各點的像，只需再從這一點作過光心O的直線，則這條直線和剛才那條出射光線的交點即為這一點的像，如圖9所示，可見像可虛可實、可近可遠.

從以上例題可進一步看出，要想準確、快捷地求解透鏡光路難題，不僅要熟悉“光線法”和“成像法”，更重要的是要真正領會“像-線”轉化策略，巧妙地運用這一轉化策略，只有這樣才能在透鏡光路或其它光路問題解題時游刃有余，而且這一轉化策略對開拓學生思維、提高應變能力也十分有益，很值得在教學中推廣.