抓“四量”破電磁感應綜合題

唐光善

電磁感應綜合題是高考的熱點之一，電磁感應綜合題不僅涉及電磁感應，還涉及動力學、熱學、電場、電路、磁場、圖像等許多知識，綜合性強，常為計算題，有時也有選擇題.

本文從“電量、沖量、動量、能量”四個角度探索電磁感應的綜合問題的求解，并提煉出此類問題的突破策略.

1電磁感應中的電量

發生電磁感應現象，會在閉合電路中產生感應電流，設因電磁感應引起通過導體截面的電荷量為q.由q=Δt=ERΔt=nΔΦΔt·RΔt=nΔΦR，可見電磁感應現象中流過導體截面的電荷量與磁通量變化成正比，即q=nΔΦR （式中R為回路的總電阻）.

例1如圖1所示，兩光滑水平放置的平行金屬導軌間距為L，電阻不計，左端串有一電阻R，金屬桿電阻為r，質量為m，勻強磁場的磁感應強度為B.現桿以初速度v0開始運動，則：

（1）分析桿的運動情況？

（2）從開始到滑行一段距離s（棒仍未停止）這一過程通過金屬桿的電量q為多少？

解析（1）桿向右運動切割磁感線，回路中產生感應電流，使桿受向左的安培力，桿做減速運動；速度的減小，導致感應電流減小，感應電流的減小導致安培力、加速度也減小，直至桿靜止；以上分析可知桿做加速度不斷減小的減速運動，最終會靜止在某處.

（2）通過導體棒的電量

q=Δt=R+rΔt=ΔΦt（R+r）Δt=ΔΦR+r（1）

而ΔΦ=BLs（2）

由（1）、（2）解得q=BLsR+r.

突破1磁通量的變化ΔΦ可能是由磁感應強度變化（ΔB）引起，也可能是由閉合磁場的面積變化（ΔS）引起，利用關系式q=nΔΦR，可以建立q、ΔB、ΔS之間的關系，從而對電磁感應綜合題做出有效突破.

2電磁感應中的動量和沖量

拓展1例1中，求金屬桿在整個運動過程中，通過的電量q為多少？

情景分析導體棒在勻強磁場中切割磁感線，產生感應電流而受到安培力，因速度與安培力的互相制約，安培力為變力，導體棒做變加速直線運動，無法直接求解出金屬桿運動距離d；導致關系式q=nΔΦR無用武之地.

本題的難點在于安培力是變力，怎么處理呢？可以看看此過程安培力的沖量，

I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq，

又因導體棒只受安培力作用，由動量定理知安培力的沖量等于金屬棒的動量變化，即

I安=-BLq=0-mv.

（3）解：金屬桿在整個運動過程中，由動量定理得

-I安=0-mv0，

而I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq，

由以上兩式解得q=mv0BL.

突破2導體棒在勻強磁場中自由運動切割磁感線時，安培力的沖量等于導體棒動量的變化，即

I安=-BLq=Δp；

再結合關系式q=nq=nΔΦR，

可有效突破 “安培力是變力”所帶來的困難.

例2如圖2所示，兩根間距為l的光滑水平金屬導軌（不計電阻），空間內加有豎直向上的勻強磁場，其磁感應強度為B，導軌上靜止放置兩金屬棒ab、cd，ab質量為m，電阻為r.cd棒質量為M，電阻為R，給ab棒一初速度v0，求：

（1）ab棒與cd棒的運動情況？

（2）cd棒能達到的最大速度？

解析（1）ab棒受到向左的安培力，做減速運動；cd棒受到向右的安培力，做加速運動，隨著速度的變化，安培力也變化，加速度也變化.當兩棒達到相同速度v時，電路中電流為零，安培力為零，此時cd棒達到最大速度，兩棒以速度v勻速運動.

（2）設ab棒與cd棒所受安培力的大小為F，作用時間為t，兩棒達到的共同速度為v，

以向右為正方向，對ab棒由動量定理得

-Ft=Δp1=mv-mv0，

對cd棒由動量定理得

Ft=Δp2=Mv-0.

兩式相加得Δp1+Δp2=0，

說明兩棒動量守恒，即由于兩導體棒所受的安培力等大反向，又不受其他外力，系統合外力為零，滿足系統動量守恒的條件，本題可選用動量守恒定律求解.

由動量守恒定律得

mv0=（M+m）v，

解得v=mv0M+m.

拓展2例2中，若ab所在處導軌寬度只有cd處導軌寬度的一半，如圖3所示，求兩棒的最終速度？

解析兩導體棒都在滑軌上運動時，系統的動量一定守恒嗎？因cd棒受的安培力是ab棒的2倍，系統動量不守恒，最終速度也不相等，因cd棒切割磁感線的有效長度是ab棒的2倍，而最終穩定狀態時回路中電流為零，兩棒勻速運動，因而最終勻速時間ab棒的速度是cd棒的2倍，設cd棒的最終速度為v，則ab棒的最終速度為2v，

對ab棒，由動量定理

-I安=2mv-mv0，

對cd棒，由動量定理

2I安=Mv，

由以上兩式解得v=mv04m+M.

3電磁感應中的能量

拓展3例2中，求：（3）cd棒由靜止到最大速度過程中，cd釋放的熱量是多少？

解析能用焦耳定律Q=I2Rt直接求cd棒產生的熱量嗎？焦耳定律關系式中的電流I應為有效值，直接求電流有效值和時間是困難的，怎么辦？我們可以從能量角度來試試.

（3）由能量守恒，系統釋放的焦耳熱等于系統減少的機械能，故有

Q=12mv20-12（M+m）v′2，

解得Q=Mmv202（M+m），

由能量分配關系知

QR=RR+rQ=Mmv202（M+m）×RR+r.

突破3電磁感應現象也遵守能的轉化和守恒的定律，電磁感應現象的實質是不同形式的能量的轉化過程.因此，從做功和能轉化入手，分析清楚能量轉化關系，往往能有效突破電磁感應綜合問題，電磁感應現象中做功與能轉化關系如圖4.

例3如圖5中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面向里.導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為L1；c1d1段與c2d2段也豎直的，距離為L2.x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m1、m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸.兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R.F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力.已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力功率的大小和回路電阻上的熱功率.

解析該題是感應電動勢與力學知識相鏈接的綜合題，可以從“做功和能量”角度突破.棒在圖示時作勻速直線運動，表明其受力平衡.對系統進行受力分析，系統受到向上的拉力，兩個重力和兩個安培力，拉力等于兩個重力和兩個安培力之和.因棒勻速運動時，拉力做功的功率應等于兩棒重力的功率和電路中的電功率.

回路中的感應電動勢大小為

E=B（L2-L1）v，

勻速運動時由能的轉化和守恒律有

Fv=（m1+m2）gv+Q

=（m1+m2）gv+E2R，

解得v=F-（m1+m2）gB2（L2-L1）2R，

所以兩桿的重力的功率

P=（m1+m2）v

=F-（m1+m2）gB2（L2-L1）2R（m1+m2）g，

回路電阻上的熱功率為

PQ=E2R=[F-（m1+m2）gB（L2-L1）]2R.

以上我們從“電量、沖量、動量、能量”四個角度探索了電磁感應的綜合問題的求解.從“電量”的角度我們發現了關系式q=nΔΦR；

從“沖量、動量”的角度發現了關系式

I安=F安Δt=BLIΔt=BLq，

并提煉出了處理“安培力是變力”的方法，可選用的規律有動量定理或動量守恒定律；從能量角度我們意識到能量問題是電磁感應的核心問題，可選用的規律有動能定理或能量守恒定律，解題時可以按照“受力分析→做功分析→能量分析”的思維程程序.