金屬體在勻強磁場中周期性運動問題的實驗探究

劉建泉

1問題提出

在高三的一節復習課上，學生對一道廣東高考題“D”選項提出了質疑.

題1如圖1所示，用一根長為L質量不計的細桿與一個上弧長為l0、下弧長為d0的金屬線框的中點聯結并懸掛于O點，懸點正下方存在一個上弧長為2l0、下弧長為2d0的方向垂直紙面向里的勻強磁場，且d0L.先將線框拉開到如圖1所示位置，松手后讓線框進入磁場，忽略空氣阻力和摩擦.下列說法正確的是

A.金屬線框進入磁場時感應電流的方向為a→b→c→d→a

B.金屬線框離開磁場時感應電流的方向為a→d→c→b→a

C.金屬線框dc邊進入磁場與ab邊離開磁場的速度大小總是相等

D.金屬線框最終將在磁場內做簡諧運動

學生認為：金屬線框在進入勻強磁場后作變速運動，dc和ab邊作變速運動，兩邊框電動勢發生變化，必有電荷的定向移動形成電流，那么這種電流會不會產生能量損失而使金屬線框停止運動呢？

金屬線框在勻強磁場中作變速運動，磁通量不變，從整體上看閉合回路中并不能形成電流.但由于cd和ab邊框在磁場中做變速運動，金屬線中自由電荷受到的洛倫茲力也在變化中，在沿金屬線方向所受電場力和洛倫茲力的平衡被打破，處于動態變化中，導致兩端的電動勢E=BLv不斷變化，金屬線中能形成局部的“振蕩電流”.從法拉第電磁感應定律角度看，這種影響應該忽略，但到底有多大影響呢？

2矛盾突顯

帶著這一問題，筆者查閱了近幾年幾大刊物的相關資料，在找到的近十篇相關論文，其中一道題的“D”選項與題1類似.

題2如圖2 所示，一閉合金屬圓環用絕緣細線掛于O 點， 將圓環拉離平衡位置并釋放，圓環擺動過程中經過有界的水平勻強磁場區域， A 、B 為該磁場的豎直邊界， 若不計懸點的摩擦和空氣阻力，則

A.圓環向右穿過磁場后，還能擺至原來的高度

B.在進入和離開磁場時，圓環中均有感應電流

C.圓環進入磁場后離平衡位置越近速度越大，感應電流也越大

D.圓環最終將靜止在平衡位置

題1和題2的“D”選項表述有類似之處，但比較幾篇論文，發現文中對“D”選項持有兩個截然不同的觀點：一種觀點認為圓環進入勻強磁場后無磁通量變化，無感應電流產生，根據能量守恒，圓環最終將在勻強磁場中做等幅振動.另一種則認為圓環的局部有感應電流，有電流就有能量損失，故圓環將在豎直方向靜止.

顯然，兩個觀點的矛盾在于兩個方面：其一是，金屬體在勻強磁場中作周期性運動有沒有電流；其二是，金屬體在勻強磁場中作周期性運動，電磁感應引起的能量損失能不能忽略.

3問題探究

關于有沒有電流的問題，前文已作簡要說明，這一點孫德波老師在《中學物理教學參考》2004年第十期有較詳細的分析說明，這里不再贅述.本文旨在建立一個理想化模型，通過假設、推理來分析此問題中的能量損失，并通過實驗加以驗證.

3.1建立模型

把一長度為d橫截面積為S的金屬線（代替線框或圓環）用細線懸于固定點P，金屬線電阻為R，擺長為l，設ld，整個裝置仍置于勻強磁場中，將金屬線拉離豎直方向θ角后由靜止釋放.

顯然，當金屬線的質量比細線質量大得多，空氣阻力足夠小的情況下，我們可以把這一裝置看成是單擺.通過這一模型來研究能量損失，問題得以簡化.

3.2合理假設

為了能夠定量研究金屬線中產生的電能，我們必須知道金屬線在磁場中的運動規律，若考慮磁場對金屬線的阻尼，問題會變得相當復雜.因此，假設磁場對金屬線的阻尼很小，那么在短時間、小角度情況下金屬線的來回擺動可以看成是簡諧運動.

由（3）式不難看出，若Δεε很小，那么在不太長的時間內，金屬線在振動中損失的機械能（即產生的電能）遠小于總機械能，可近似地看成是簡諧運動，假設成立.否則，原假設不成立，金屬體在勻強磁場中的變速運動能量損失不可忽略.

3.4數據檢驗

以常用的導電材料銅為例，在20 ℃時，電阻率是ρ=1.6730×10-8 Ω·m，密度為ρ′=8.96×103 kg/m3.從實際情況看，較弱的地磁場磁感應強度只有3×10-5 T～7×10-5 T，永久磁鐵附近的磁感應強度大約為10-3 T，在電機和變壓器的鐵芯中，磁感應強度可達0.8 T-1.4 T，超導材料中的強電流產生的磁感應強度可達1000 T.磁感應強度取常見值：1×10-5 T～1×10-1 T，不妨設周期約為1 s，可以求出能量損失比Δεε及100個周期后剩余的機械能εt.估算結果如表1.

3.5實驗驗證

為了進一步驗證以上推理，筆者在中學實驗室現有器材的基礎上進行實驗，試圖通過實驗加以證實.實驗設計思想是：用多塊磁鐵組合，得到近似的勻強磁場.讓同一金屬線在空氣中和勻強磁場中振動，當兩種情形下振動能量損失相同，比較時間振動時間長短.具體操作步驟：

（1）用一根細絲線，一端系一直徑為2.74 mm，長度為1.9 cm的銅導線，另一端固定，測出擺長l.

（2）把條形磁鐵捆扎成一對，使N、S極相對，靠近放置形成近似的勻強磁場.

（3）在桌面貼上一張白紙，畫一條直線，取振動幅為4 cm標記出平衡位置、最大位移及一半最大位移的位置.

（4）在不放磁鐵時讓金屬線沿畫好的直線擺動，達到標記的最大位移處開始記時，當到達標記好的最大位移的一半處停止計時，記錄時間為t1.重復三次.

（5）在直線兩側放上磁鐵，重復步驟（4），記錄時間為t2.

（6） 改變擺線的長度，重復步驟（4）、（5）.

（7）將記錄數據記表2，比較振動時間，得到時間比t1t2.實驗數據如表2.

從表格數據可以看出，擺長較短時，擺振動較快，每次測量誤差較大.綜合多次測量結果可以看出，磁場對銅線的阻尼可以忽略.而在理論推導中擺100個周期內因電磁阻尼損失的能量近一半，這顯然和實驗不一致.

3.6反思與修正

任何結論都必須得到實驗的檢驗，否則必然是錯誤的.本實驗器材雖然粗糙，但是實驗設計和操作十分嚴謹，偶然誤差肯定有，但不可能和理論相差如此之大.因此，推斷可能是理論分析存在問題.經過反思和對交流電相關問題的學習，發現關于“振蕩電流”的功率分析存在問題.

3.6.1定性分析

在圖3中，金屬線從B點到O點的過程中，由于重力做功，金屬線速度增加，從而使金屬線兩端的電動勢增加.下端帶正電，“振蕩電流”方向向下，磁場對導線的作用力阻礙金屬線運動.從能量角度看，此過程主要是一部分機械能轉化為電場能.為了中學階段易于理解，這一過程類似于“發電機”原理.而從O點到A點的過程中，由于重力做負功，金屬線速度減小，金屬線兩端的電動勢減小.“振蕩電流”方向向上，磁場對導線的作用力是動力.從能量角度看，此過程主要是電場能轉化為機械能，這一過程相當于“電動機”原理.反思前文推理過程，不難看出用純電阻電路計算公式計算內能是錯誤的.

3.6.2理論分析

那么此過程中“振蕩電流”的電功率又該如何計算呢？我們得首先回顧一下交流電功率的計算.

這種情況就是中學階段熟悉的純電阻電路中的有功功率.

當=π2，cos=0，=0，這種情況就是無功功率，電路中的能量在內部相互轉化，沒有內能產生.一般情況下，電路中由于存在電容和電感，0

文中所建模型，金屬線兩端的電勢差與上下兩端所積累電荷成正比，設電壓：u（t）=Emcosωt；由于金屬線的電容、電感極小，則上下兩端的電荷量與兩端電勢差成正比，設電量：q（t）=Qmcosωt；金屬線中的電流：

i（t）=dq（t）dt=Imcos（ωt+π2）.

顯然=π2，=0.

當然，實際情況中如果考慮到金屬線有極小的電容和電感，加之交流電的頻率低，雖不等于π2，但是一定非常接近，因而其損失的能量可以忽略.

3.7得出結論

通過以上研究我們可以得出這樣的兩個結論：一、金屬體在勻強磁場中做周期性運動時能產生交變電流.二、勻強磁場中周期性運動的金屬體因電磁感應產生的能量損失極小，可以忽略.

4問題啟示

題1和題2的命題指導思想是為了鞏固法拉第電磁感應定律.題1中的表述：“金屬線框最終將在磁場內做簡諧運動”，選項的設置用詞科學，不容易產生歧義，達到了命題意圖.題2的表述：“圓環最終將靜止在平衡位置”，“最終”二字表述欠準確，這樣即使是極其微弱的能量損耗，最終也會停止運動，這也是引起眾多爭議的原因之一.

前人總結的規律建立在大量的實驗基礎之上，并在生產實踐經過了無數次驗證和應用.在平時的教育教學中可以鼓勵學生對科學提出大膽的質疑，但必須建立在充分的理論和實驗基礎上，不能輕率草事.通過學生學習過程中產生的有價值的實例探究不僅能鞏固所學知識，提高各種能力，更能培養學生的學科科學素養.