簡諧運動中彈簧振子周期公式的證明

張曉琳

高考越來越注重對基本知識、基本規律的考查，如：2015年北京卷23.（1）、2014年北京卷24.（1）、2013年北京卷24.（1）b等.我們復習時不能再是只通過做題來回顧知識，而是要把做題的時間省出來一些，去思考和自己推導學習到的概念和模型，真正通過思考與推導變成自身的理解.

但高中物理中有些公式或結果是直接給出而沒有推導或證明過程的，如簡諧運動中彈簧振子的周期公式T=2πmk等.那么，此問題真的不能用中學的方法證明嗎？其實不然，下面我就用中學所學的方法證明之.

1參考圓的建立

簡諧運動：

（1）動力學特征：F=-kx，a=Fm=-kmx.

（2）參考圓：由實驗可得，做勻速圓周運動的質點（彈簧振子m）在其直徑上的投影的運動，是以圓心O為平衡位置的簡諧運動.通常稱這樣的圓為參考圓，半徑大小為簡諧運動振幅A.

2證明過程

方法一利用機械能守恒定律.

既然勻速圓周運動在x軸的投影為簡諧運動，那么振子從P點經時間t運動到任意一點N的線速度v的水平速度v2，與N到x軸的投影M的速度vM大小相等，方向相同.

方法二利用簡諧振動方程求解，如圖2所示.

勻速圓周運動在x軸的投影為簡諧運動，那么振子從P點經時間t運動到任意一點N到x軸的投影為M點.

若規定沿x軸方向為正方向，則M點的位移方程——（x是對平衡位置的位移）