衛(wèi)星變軌在轉(zhuǎn)移軌道近地點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)分析

耿偉

同步衛(wèi)星發(fā)射通常先發(fā)射到停泊軌道，調(diào)整穩(wěn)定成圓軌道后，再在預(yù)定地點(diǎn)啟動(dòng)火箭助推發(fā)動(dòng)機(jī)，使衛(wèi)星加速.這一過(guò)程時(shí)間較短，當(dāng)速度增大到一個(gè)預(yù)設(shè)值，即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī).衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑不斷變大.由于引力性質(zhì)，衛(wèi)星之后的運(yùn)動(dòng)軌道將是一橢圓，稱之為轉(zhuǎn)移軌道，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后的衛(wèi)星位置將是橢圓軌道的近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)在設(shè)計(jì)的衛(wèi)星運(yùn)行的圓形軌道上，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)衛(wèi)星速度的預(yù)設(shè)值即是滿足遠(yuǎn)地點(diǎn)的要求.再經(jīng)調(diào)控穩(wěn)定后，在遠(yuǎn)地點(diǎn)再次開(kāi)啟發(fā)動(dòng)機(jī)，使衛(wèi)星加速到運(yùn)行軌道所要求的速度.示意圖如圖1所示.

以下簡(jiǎn)稱停泊軌道為1，轉(zhuǎn)移軌道為2，運(yùn)行軌道為3.

在變軌問(wèn)題中有一個(gè)概念容易混淆，即衛(wèi)星由軌道1上的A點(diǎn)，經(jīng)短時(shí)加速后而轉(zhuǎn)為沿軌道2運(yùn)動(dòng)，通常認(rèn)為衛(wèi)星經(jīng)加速后，向心力增大，衛(wèi)星在該點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力不滿足要求，因而做離心運(yùn)動(dòng).另一觀點(diǎn)認(rèn)為衛(wèi)星在該點(diǎn)仍能滿足向心力，只是該向心力不是軌道1的半徑，而是橢圓頂點(diǎn)的曲率圓半徑，該半徑要比軌道1的半徑大.現(xiàn)就這一問(wèn)題做一探討，以及進(jìn)一步討論橢圓的其它位置的向心力問(wèn)題.

1橢圓長(zhǎng)短軸頂點(diǎn)處的曲率半徑

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b.由數(shù)學(xué)知識(shí)可求，橢圓在長(zhǎng)軸交點(diǎn)處的曲率半徑為R1=b2a，該半徑是橢圓中最小的半徑；與半短軸交點(diǎn)的曲率半徑R2最大，R2=a2b.

由于數(shù)學(xué)求解較為復(fù)雜，現(xiàn)從物理的途徑加以證明.

如圖2，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在一與水平面成α的斜面上，沿半徑為R的圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小為v，圓在水平面上的投影即為一橢圓，橢圓長(zhǎng)軸平行于斜面底邊，半長(zhǎng)軸大小a=R，短軸與斜面底邊垂直，大小b=Rcosα.質(zhì)點(diǎn)投影在橢圓上的動(dòng)點(diǎn)做變速率運(yùn)動(dòng).在與長(zhǎng)軸交點(diǎn)處的速率為va=vcosα，方向垂直于底邊，即認(rèn)為被壓縮；在與短軸交點(diǎn)處的速度平行底邊，速率仍為vb=v0.同理，在與長(zhǎng)軸交點(diǎn)處的向心加速度與底邊平行，不被壓縮，跟沿斜面圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度相同，

由此看出a、b、c和e都是僅與L和R有關(guān)的量，一旦L給定，各量均唯一確定.用圖來(lái)說(shuō)明，即圖5中不可能是離心率更大的虛線軌道1和離心率更小的軌道2.

這一點(diǎn)與從物理角度論證是吻合的，在接下來(lái)的論述中可以看到.

3衛(wèi)星所受地球引力與各點(diǎn)所需向心力關(guān)系

回到文首，討論衛(wèi)星開(kāi)始沿橢圓軌道所受引力與所需向心力問(wèn)題.按第一種觀點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的，衛(wèi)星不再沿原軌道1運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)榧铀俸笏柘蛐牧υ龃螅Σ粷M足要求，所以做離心運(yùn)動(dòng).而第二種觀點(diǎn)認(rèn)為，在近地點(diǎn)，引力恰滿足衛(wèi)星所需的向心力，只是該處的曲率半徑由橢圓的數(shù)學(xué)性質(zhì)決定的，即上面給出的r長(zhǎng)=b2a.將a、b分別代入得r長(zhǎng)=2LRL+R.

衛(wèi)星在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)需要的向心力

F向1=mv21r長(zhǎng)=m·L+R2LR·2GM·L（L+R）R

=GMmR2，

這恰好等于衛(wèi)星在近地點(diǎn)受的地球引力.因而，第二種觀點(diǎn)也是正確的.其實(shí)由數(shù)學(xué)給出橢圓各點(diǎn)的曲率半徑，與物理動(dòng)力學(xué)理論的高度統(tǒng)一并非偶然，而是一種必然的結(jié)果.這一點(diǎn)還可以從其它各點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)分析得驗(yàn)證.

3.1遠(yuǎn)地點(diǎn)衛(wèi)星受到的引力恰滿足需要的向心力

（由上面推導(dǎo)知b2a=2RL（L+R）），這一結(jié)果恰是衛(wèi)星所受引力沿短軸方向的分力，另一分力改變速度的大小.

由此不難理解，無(wú)論橢圓上的哪一點(diǎn)（甚至任何曲線），都有對(duì)應(yīng)的相同曲率的圓，該圓的半徑就是曲

線上該點(diǎn)的曲率半徑.從物理的角度看，一個(gè)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)，在任何一點(diǎn)必須滿足實(shí)際運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，這就是物理動(dòng)力學(xué)理論與數(shù)學(xué)知識(shí)一致的必然性.

綜合以上分析，衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題所給的兩種觀點(diǎn)，從實(shí)際效果看，無(wú)論是不滿足原來(lái)的軌跡圓做離心運(yùn)動(dòng)，還是沿一個(gè)半徑更大的圓運(yùn)動(dòng)，后一種并不能得到引力的維持，僅在近地點(diǎn)滿足，其結(jié)果都說(shuō)明軌跡是半徑不斷增大的曲線，而這個(gè)曲線正是橢圓.