閉合電路的最大功率問題歸類探析

熊耀華

物理概念和物理規律是物理學的基石，是學生正確認識物理世界的基礎，也是科學素養的重要組成部分.如何使學生在原有認識的基礎上形成正確的物理概念和物理規律是中學物理教學的核心問題.閉合電路是高中物理電學內容的核心，也是電磁感應內容的基礎，在高中物理課程標準和選修3-1教師用書中明確提出，通過《閉合電路歐姆定律》的教學要實現“知道電源的電動勢和內阻，理解閉合電路中內外電路的能量關系，提高學生運用閉合電路歐姆定律分析問題的能力，會應用閉合電路歐姆定律討論路端電壓與負載的關系”的教學目標 .而用電器的功率是閉合電路中的經常碰到的一類典型問題，了解功率問題的原理與方法有利于現實生活中的節能減排，這對于當前能源緊缺的現實生活具有實際意義.就當前的教育評價體系而言，閉合電路中的各種功率問題往往綜合了電路核心知識點，屢屢被用來考查學生的知識建構情況與問題分析能力，因此掌握閉合電路的最大功率問題的分析方法與解決思路，對于當前的物理教學也不無裨益.然而人教版教材中對于各種功率問題基本上是一帶而過，并沒有花筆墨區別各種功率問題.多年來縱觀眾多學生的錯誤解題過程不難發現，很多學生容易混淆“電源的最大功率”與“電源的最大輸出功率”的科學概念，很容易將“定值電阻的最大功率”與“可變電阻的最大功率”的解題方法張冠李戴.而正確理解物理概念是學習物理的基礎，掌握物理問題解決方法是精通物理的關鍵，因此梳理閉合電路中的各類功率的物理核心概念及解題方法、建立方法模型是非常必要的.本文試圖將閉合電路中的各種功率概念及問題解決方法進行歸類探析并找出方法模型，幫助學生快速掌握物理概念，建立方法模型，形成問題解決能力.

1電源的最大功率問題

電源的功率是P電源=EI，由于電源電動勢E一定，故只要電流I有最大值時就有電源最大功率.由閉合電路歐姆定律有I=ER+r，故當R+r最小即R=0 （即將電源直接短接）時有最大電流Imax，此時電源功率有最大值P電源-max=E2r，此時電能全部轉化為電源內阻r的內能，由于電源內阻r一般很小，故此時電源的熱功率較大，電源發熱厲害，很容易燒毀，這就是電源為何不能短接的根本原因.

2電源的最大輸出功率兩類問題和一般性條件

電源的輸出功率是指電源的路端電壓U與干路電流I的乘積即P=UI，根據能量守恒電源輸出功率也等于電源的功率與電源內阻消耗的熱功率之差即

P=EI-I2r.

（1）無定值電阻的純電阻電路

如圖1所示，電動勢為E，內阻為r，滑動變阻器R.對于此類無定值電阻的電路，其電源最大功率的求解可以從負載R及電流I兩個角度分別利用數學知識進行求解.

①從負載R的角度求解

電源的輸出功率：

P=UI=I2R=（ER+r）2R=E2R（R-r）2+4Rr

=E2（R-r）2R+4r.

由上式可以看出，當負載電阻等于電源內電阻時（R=r），電源有最大輸出功率Pmax=E24r；

當R

當R>r時，P隨R的增大而減小；因此才可以定性繪出如圖2所示的P-R圖，對于每一個小于Pmax的功率P值總有兩個電阻R1、R2.

這種方法是參考書常用方法，對于數學知識儲備有限的高中生而言，只能定性地理解電源的輸出功率P隨電阻R的變化關系，不能精確地描繪出P-R圖象，因而由P-R函數表達式過渡到P-R圖的直觀化表達具有一定的思維跳躍度，而這一階梯往往成為學生理解的難點.為了有效化解這一思維難點，我們嘗試從電流I的角度進行理解.

②從電流I的角度求解

P=P總-P內=EI-I2r（1）

由學生熟知的數學知識可知這是一個關于電流I的一元二次方程，其P-I函數圖象如圖3所示，對稱軸為

I0=E-2（-r）=E2r，

此時電源有最大輸出功率

Pmax=E·E2r-（E2r）2r=E24r.

再由R總=2r，及R總=R+r，可知R=r時電源有最大的輸出功率.

結合圖3學生比較容易理解：

當I=ER+r>I0=E2r時，電源的輸出功率P隨I的減小而增大；即當R

當I=ER+r≤I0=E2r時，電源的輸出功率P隨I的減小而減小；即當R>r時，電源的輸出功率隨R的增大而減小.

（2）含定值電阻的純電阻電路

如圖4所示，電源電動勢為E，內阻為r，定值電阻為R0，滑動變阻器為R，其最大阻值為Rmax.為方便分析，我們接下來的幾種類型的最大功率問題都采用這個電路圖.

電源的輸出功率

P=P總-P內=EI-I2r，

由（1）式可知，理論上當R總=2r，即R+R0=r時電源有最大輸出功率，然而電源內阻r與定值電阻R0的大小關系并沒有確定，因此在實際問題中需要分情況討論：

若定值電阻R0≤r，則當R=R0-r時電源有最大輸出功率Rmax=E24r；

若定值電阻R0>r，則由P-I圖象可知當I=ER0+r+R靠近I0=E2r時有最大輸出功率；

而R0+r+R>2r，功率隨R0+r+R的增大而減小；

故當R=0時電源有最大功率Pmax=E2R0R0+r；

當R=Rmax（即I=ER0+r+Rmax）時電源有最大輸出功率Pmax=E2RmaxR0+r+Rmax；

（3）電源最大輸出功率的一般性條件

以上討論的都是純電阻電路中電源的最大輸出功率問題，那如果外電路是含電動機的非純電阻電路，其電源的最大功率又該如何求解呢？

如圖5所示，電源電動勢為E，內阻為r，AB兩點間的電路可能含有電動機，設路端電壓為U，則電源的輸出功率為

P=IU=E-UrU=-1r（U2-EU）

=E24r-1r（U-E2）2.

故當U=E2（即當R外=r）時電源就有最大輸出功率Pmax=E24r，但在一些具體電路中無論怎么調節外電路也不能實現U等于E2.從上面（2）的分析即可看出此結論的成立并不是對所有的電路都成立.不過我們還是可以得出電源最大功率的一般性條件：對于所有的電源電動勢為E、內阻為r的電路（含非電阻電路），只要能通過調節滑動變阻器R能實現U=E2 （即R外=r）時，則當U=E2 （即R外=r）時，電源有最大輸出功率Pmax=E24r，如不能實現R外=r時，只有當R外滿足R外-r的絕對值最小時電源有最大的輸出功率.

3定值電阻的最大功率問題

對于定值電阻的最大功率問題，我們可以采用“電流最大法”.如圖4所示，定值電阻的功率為：

P=I2R0=（ER0+r+R）2R0，

故當滑動變阻器R=0時，定值電阻有最大功率

Pmax=E24（R0+r）.

4可變電阻的最大功率問題

如圖4所示，我們可以采用等效電源法，可變電阻R的最大功率實質上與等效電源（E，R0+r）的最大輸出功率完全相同（如圖6），因此可變電阻的功率為

P=P總-P內=EI-I2（R0+r）；

若Rmax>R0+r，則當R=R0+r時電源有最大輸出功率Pmax=E24（R0+r）；

若Rmax

Pmax=E2RmaxR0+r+Rmax.

綜上所述，對于閉合電路的最大功率問題，首先應分清楚是純電阻電路還是非純電阻電路；其次應明確是求哪個元件的最大功率.然后再采用相應的方法：

（1）電源的最大功率問題、定值電阻的最大功率問題采用“電流最大法”.

（2）電源的最大輸出功率問題（含非純電阻電路）采用“函數分析法”.

（3）可變電阻的最大功率問題采用“電源等效法”.