傅里葉分析和小波分析的教學實踐探索

廖翠萃

(江南大學 理學院，江蘇　無錫　214122)

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傅里葉分析和小波分析的教學實踐探索

廖翠萃

(江南大學 理學院，江蘇無錫214122)

為了更好地完善傅里葉分析和小波分析選修課的教學工作，討論了這門課在實際教學過程中存在的問題，結合理論與實踐教學經驗，在理論講述、講述技巧、課堂形式上進行了一些嘗試和調整，收到了良好的教學效果。

傅里葉分析； 小波分析； 教學方法

傅里葉分析和小波分析是迄今為止應用最廣泛的數學工具，為工程應用和數學中的很多問題提供了解決辦法。大多數院系信息相關的理工科專業都會把傅里葉分析和小波分析列為高年級本科生或者研究生的選修課。這門課程具有較強的數學背景，在信息領域的應用層面相當廣泛，但在這門選修課教學過程中存在的一些問題還有待討論和解決，對這門課程的教學方法研究目前還有待成熟和完善。

1　課程背景和選修課要求

1822年，法國著名數學家Fourier提出一種新的理論“熱的解析理論”對當時數學物理學科的分析領域產生了重大影響，后來被譽為傅里葉分析方法[1]。傅里葉變換定義了“頻率”的概念，用它可分析信號能量在各個頻率成分中的分布情況。傅里葉分析對頻譜分析帶來了重大進展，但傅里葉分析并不是萬能的，它無法做到局部分析，無法在頻域信息中提供時間刻度。隨后產生的小波分析彌補了傅里葉分析的這點不足。1974年由J. Morlet首次提出了小波變換的概念[2]，1986年著名數學家Y.Meyer構造出了一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構造小波基的有效多分辨分析方法，此時小波分析逐漸蓬勃發展起來。小波分析是對傅里葉分析的發展，而傅里葉分析是對小波分析的支撐，它們同是信號分析中的主要方法。小波理論的進一步發展仍然離不開傅里葉分析的理論和方法。

傅里葉分析和小波分析作為數學的一類分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數學其他分支的發展。數學中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發展過程密切相關。而傅里葉分析和小波分析是迄今為止應用最廣泛的數學工具，它對工程應用的發展產生了深遠的影響，其理論研究和應用是緊密結合在一起的，廣泛應用于信號分析、圖像處理、量子力學、理論物理、軍事電子對抗與武器智能化、計算機分類與識別、音樂與語言的人工合成、醫學成像與診斷、地質勘探數據處理、大型機械的故障診斷及數學領域的許多學科[2]。

這門課程以數學課程為基礎，以解決信息技術領域為目標[3]，是“門檻高”“難度大”的選修課。通過學習，要求學生了解傅里葉分析與小波分析的發展歷史，掌握多分辨分析的思想、尺度函數與小波函數的構造、波分析的分解與重構算法，了解多元小波分析和小波包的分解，會使用Matlab小波工具箱，能使用波分析理論解決實際應用問題。

2　課程教學中存在的一些問題

這門選修課在非信號處理專業的學科中的教學方法尚不成熟，在學習和教學過程中普遍存在以下三個問題：

2.1學生前續課程理論不扎實，貯備知識欠缺

傅里葉分析和小波分析的前續課程包括高等數學、線性代數、泛函分析、矩陣分析、計算機程序語言、Matlab等。波分析的數學原理需要較復雜和廣泛的數學背景，其對數學知識貯備的要求很高，即使對于數學專業的學生也存在一定的難度。因此,對于大部分理工科專業的學生而言，這門課的入門臺階較高，大部分學生不完全具備符合要求的數學知識貯備，在多分辨分析原理的學習上存在較多障礙，無法按照要求掌握抽象的多分辨分析理論。理論上的欠缺直接影響繼續學習和運用波分析工具。

2.2課程缺乏難易適中、形象易懂的教材

因為這門課的難度系數較大且應用層面廣泛，國內外關于傅里葉分析和小波分析的教材數目并不豐富，且每個教材的側重點不同，在知識框架的難度掌握上難以有合適的選擇。有的教材側重于其嚴密的數學原理證明，敘述抽象，難度很大，不便于作為選修課教材來學習；有的教材側重于波分析的具體應用，對數學原理的介紹較為簡略和概括，無法較好地闡述傅里葉分析和小波分析之間的聯系與區別以及多分辨分析的理論本質，沒有足夠的理論支持就無法較好地掌握具體的應用。對于數學知識儲備不足的學生來說，難以理解波分析的數學原理，直接影響波分析的理解和后續應用。從教師的角度來說，難以選擇合適教材，通常指定一門教材后，在實際教學中經常需要補充相關的理論知識和實驗，或者省略難度大晦澀難懂的證明；從學生的角度來說，難以選擇到易于理解的參考書指導課后的學習。能夠既將所需的數學原理敘述的形象而清晰，并且在此基礎上展開波分析應用的教材，比較緊缺。這給實際教學帶來了一定的困難。

2.3波分析應用范圍相當廣泛，教學難以深入

傅里葉分析和小波分析是應用最廣泛的數學工具，其引用所跨領域五花八門，每個應用都是一門較深的學問。這門選修課也是一門新興的課程，屬于學科交叉范圍的課程。對于一般教師來說，在選修課教學過程中難以把握好廣度和深度，對社會熱點中的波分析技術的掌握不足，無法兼顧波分析在多個領域中的具體應用，在引導學生的學習興趣、開發學生的創造性思維上還需要更多的準備和努力。

3　在理論與實踐教學中的探索

在實際教學過程中，筆者感到傅里葉分析和小波分析是一門非常符合高等教育理念的選修課，有助于培養學生數學邏輯能力、問題分析能力、計算機編程能力、理論聯系實際的能力，其不僅擴展了學生知識領域和專業視野，還可以深入影響學生將來的就業和科研工作。為了更好地做好這門選修課的教學工作，筆者在以下幾個方面做出了調整和嘗試：

3.1強調波分析理論框架的思想，著重基本數學原理的講授

波分析理論所需數學知識貯備較高，難度較大，學生對數學知識的準備程度不同，對波分析理論的掌握程度就各不相同。但是對于大多數學生來說，基本了解波分析理論的一般框架、認可波分析的基本數學原理，并不是一件難事。這部分內容又是傅里葉分析和小波分析理論部分的核心內容，在此基礎上學生可以舉一反三，根據興趣做到自主學習和應用波分析理論去解決實際問題。所以在實際教學中要反復加強對波分析思想的講述，重視對基礎數學原理的闡述和證明，使學生能夠較好地掌握波分析的核心理論。對于其他數學原理的講述，應著重對其數學幾何意義的闡述，豐富其在理論框架中的作用。對理論部分的講解做到有重有輕，有利于提高授課質量，講授核心思想，讓學生掌握波分析的核心規律。

3.2遵循由易入難、由特殊到一般的學習規律，通過對比教學展現不同波分析工具的特點

多分辨分析理論較為抽象復雜，而Haar小波分析是小波分析中最簡單的波分析工具，其理論框架隸屬于多分辨分析的理論。Haar小波分析簡單、形象，同時功能強大。在教學過程中對Haar小波分析的透徹講解，非常有利于后面難度較大的多分辨分析理論的理解和掌握。在講解多分辨分析理論中，及時回憶相應理論在Haar小波分析中的作用和意義，有利于學習和理解多分辨分析理論。

同時，在教學過程中注重對比教學, 不同波分析工具的特點和適用對象不同，除了在理論上對比講述它們之間的區別外[4]，在實驗效果上加強處理效果的對比，加深學生對不同波分析工具的理解。

例如，在講完傅里葉分析后，引入小波分析。首先為了說明傅里葉分析的不足，可以對圖1中的兩個信號進行快速傅里葉變換比較它們的處理效果，即頻譜圖。圖1中的兩個不同的信號a和b，分別進行快速傅里葉變換后的頻譜圖非常相似，可知兩個原信號都是主要由25 Hz,50 Hz,100 Hz,200 Hz這四個頻率成分構成。雖然這兩個信號頻率構成成分相同，但由原信號圖可知，每部分頻率發生的時間段是不一樣的，這個特征在傅里葉變換后的頻譜圖中，無法體現。這表明了傅里葉變換的缺陷就在于在無法提供信號的時刻信息。傅里葉分析是完全的頻譜分析，無法提供時間刻度，而后來的小波分析能做到的是時頻分析，在分析頻域的同時，也可以提供某個頻率發生的時間。圖1中信號b經過小波分析后的時頻圖如圖2所示，x軸是時間，y軸是尺度，注意尺度值越低代表的是高頻率，尺度值越高代表的低頻率。從圖1中可以看出25 Hz,50 Hz,100 Hz,200Hz每部分頻率發生的時間位置。這是小波分析的優于傅里葉分析的所在之處。小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。

圖1　對兩個信號(左上、左下)分別經過快速傅里葉變換的頻譜圖結果(右上、右下)對比

通過對比實驗，學生們不僅能夠較直觀地掌握知識要點，有利于理論知識的記憶和梳理，也有助于增強學生對動手實驗部分的興趣。對后面波分析工具的具體應用打下基礎。

圖2　對圖1中的信號b進行小波分析的時頻圖

3.3翻轉課堂，由學生們講述對波分析原理的認識和應用

傅里葉分析和小波分析的應用非常廣泛，在日常生活中也很常見，比如音頻除噪、圖像壓縮，在瀏覽網頁時就經常會遇到波分析工具的應用。相對于理論部分，波分析的應用有趣而生動，且與日常生活息息相關，也是學生們非常感興趣的部分。在講述了有代表性的音頻除噪和圖像壓縮原理及其應用后，學生完全可以利用已經掌握的基礎理論學習波分析在科技領域的應用。所以在講授完多分辨分析理論之后，布置學生分組報告作業。分組報告的內容與波分析有關，可以是理論總結、課本練習中的Matlab過程實現、波分析各類應用介紹與實踐等。學生們通過查找資料和與組內成員的討論，分析原理，分析實驗結果，發現問題，解決問題，組織一個PPT報告。

比如在實施過程中學生小組曾報告的題目有：“淺談醫學圖像的壓縮應用”“小波分析與圖像處理”“多分辨分析對音頻文件的除噪和壓縮”“歌曲音頻除噪的Matlab實現”“圖片的融合和強化程序實現”“圖像的加密實驗”“小波分析在氣象分析中的應用”“巖層探測中的小波探礦法”“股票k線圖的小波分析應用”等。

這種形式的報告激發了學生的學習主動性和興趣，抓住了學生的注意力，并且每個報告內容是不同的波分析應用或者不同深度、不同層面的應用實踐，擴大了學生對波分析工具的應用視野。這種翻轉課堂的形式在實際教學過程中收到了顯著的效果，學生也在此過程中受益匪淺。

4　結論

傅里葉分析和小波分析是高等教育理工科專業的重要而有難度的選修課。這門課程對教師和學生的要求較高，在實踐教學和學習過程存在一定的問題。本文介紹了筆者在理論講述、講述技巧、課堂形式這三方面做出了一定的調整和嘗試。針對傅里葉分析和小波分析在教學過程中存在的問題，我們將繼續積極進行探索和研究。希望在教師同行的共同努力下，為這門課的教學和發展做出有益的貢獻。

[1]劉明才.小波分析及其應用[M].北京：清華大學出版社, 2005:2-5.

[2]Albert Boggess, Francis J Narcowich. 小波與傅里葉分析基礎[M].芮國勝，康健,譯.北京：電子工業出版社，2013:185-190.

[3]徐立祥, 牛欣, 顧澤宇,等.應用型本科院校信息與計算科學專業小波分析課程理論與實踐教學的探索[J].科技視界, 2016(4):43-44.

[4]羅永, 成禮智.傅立葉變換與小波變換的比較教學[J]. 數學理論與應用, 2008, 28(4):105-108.

責任編輯俞林

Exploration on the teaching practice of Fourier analysis and Wavelets analysis

LIAOCuicui

(College of Science, Jiangnan University, Wuxi214122, China)

To improve the teaching method in Fourier analysis and wavelets analysis, problems in the teaching practice are discussed. With experiences in theory and practice of teaching, several experiments and adjustments are taken, which has obtained a good effect.

Fourier analysis; wavelets analysis; teaching method

2016-04-29

項目來源：國家自然科學基金資助項目(11401259)

廖翠萃(1983—)，女，河南唐河人，講師，博士，研究方向:計算數學。

10.13750/j.cnki.issn.1671-7880.2016.04.007

G 712

A

1671-7880(2016)04-0023-04