一道數學競賽題的證明與推廣*

●蔣明斌

(蓬安中學校　四川蓬安　637851)

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一道數學競賽題的證明與推廣*

●蔣明斌

(蓬安中學校四川蓬安637851)

文章給出2013年摩爾多瓦數學奧林匹克國家隊選拔賽一道試題的2個證明，然后給出此題及一個類似題目的推廣.

數學競賽;代數不等式;推廣

例1設x,y,z為正實數，求證:

(1)

(2013年摩爾多瓦數學奧林匹克國家隊選拔賽試題)

證法1由于式(1)是齊次的，不妨設xy+yz+zx=1，設x2=a,y2=b,z2=c，則a,b,c為正實數，且0

若p≤2，由柯西不等式，并注意到0

若p>2，由0

于是

故不等式(1)成立.

于是

xy+yz+zx>st.

故不等式(1)成立.

由證法1可知，不等式(1)等價于:

命題1設x,y,z為正實數，且xy+yz+zx≤1，則

(2)

另外，當x,y,z為非負實數且xy+yz+zx=1時，不等式(2)可以取到等號(當x,y,z中有一個值為0，另2個值為1時，等號成立).因此，將命題1的條件“x,y,z為正實數，且xy+yz+zx≤1”變為“x,y,z為非負實數，且xy+yz+zx=1”即得2008年全國高中數學聯賽江西省預賽試題第14題:

例2已知x,y,z為非負實數，且xy+yz+zx=1，求證:

(3)

此題曾引起廣泛關注，筆者在文獻[1]和文獻[2]中探討過此題的證明與推廣.用例1的證法1可以給出很簡潔的證明，同時命題1也可以用此證法進行證明.

命題2已知x,y,z為正實數，α為實常數，且α≥1，則

(4)

證明由于式(4)是齊次的，不妨設xy+yz+zx=1.設xα=a，yα=b,zα=c,由α≥1，0

即不等式(4)成立.

當α≥2時，也可以用例1的證法2證明命題2：

xy+yz+zx>st.

從而

即

于是

sα>xα+zα.

同理可證

顯然xα+yα≤sα+tα，因此

故不等式(4)成立.

應用例1的證法2還可以證明以下例3[3]：

例3設x,y,z是非負實數，且x,y,z中最多1個為0，求證:

(5)

(6)

這里我們證明更廣泛的結論：

命題3已知x,y,z是非負實數，且x,y,z中最多1個為0，α為實常數，且α≥2，則

(7)

從而

根據命題2的證明，得

sα≥xα+zα,tα≥yα+zα,

從而

xα+yα≤sα+tα，

故不等式(7)成立.

命題1、命題2還可以推廣為如下的命題4：

命題4已知x,y,z為非負實數，α,λ為實常數，且α≥1,-1≤λ≤3，則

(8)

證明由于式(8)是齊次的，不妨設xy+yz+zx=1，設xα=a,yα=b,zα=c，由α≥1，得0

當p≤2時，由柯西不等式，得

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由λ≥-1?λ+3≥2及p≤2≤3+λ知不等式顯然成立.

若p>2，由0

于是

故不等式(8)成立.

命題5已知x,y,z是非負實數，且x,y,z中最多一個為0，x≥y≥z，其中α,λ,μ為實常數，且α≥2，μ≥0，則

1)當-μ≤λ≤4-μ時，

(9)

(10)

2)當λ>4-μ時，

(11)

(12)

注意到μ≥0，μ+λ≥0，從而

即

故不等式(9)和不等式(10)成立.

即

故不等式(11)和不等式(12)成立.

[1]蔣明斌.一道競賽題的證法再探[J].數學教學，2011(2):27-28.

[2]蔣明斌.一道數學競賽題的新證與推廣[J].數學教學，2015(7):46-48.

[3]Cirtoaje V.Mathematical inequalities[M].Ploiestl：University of Ploiestl,2015.

?2016-04-05；

2016-05-07

蔣明斌(1963-)，男，四川營山人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122.3

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1003-6407(2016)10-46-05