善變陳題　觸類旁通　精于設計*

●何偉軍

(渭源縣第一中學　甘肅渭源　748200)

?

善變陳題觸類旁通精于設計*

●何偉軍

(渭源縣第一中學甘肅渭源748200)

文章以一道陳題為變式“生長點”，對其進行創新設計，演繹出16個變式題，涉及常見圓錐曲線的熱點(考點)問題.旨在夯實基礎，提升解題能力，培養學生靈活多變的思維品質和創新精神，這也是數學高考復習實施高效教學的重要途徑之一.

陳題；變式；探求問題

數學高考復習時間緊、量大面寬是眾所周知的．要搞好圓錐曲線復習，必須在精選、精講、精練題上狠下功夫，必須將問題適度拓展、改造、組合、串并聯，形成圓錐曲線高考熱點問題組，使知識的獲得、能力的形成放植于有效的變式訓練中，只有變式的“教與學”，方可走出“題?！?，達到回頭是“岸”之境界，真正減輕學生負擔，培養學生靈活多變的思維品質和創新精神.筆者試圖以一道陳題為變式“生長點”，演繹出精彩高效的圓錐曲線熱點問題.

原題討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1公共點的個數.

(1)

當1-k2=0，即k=±1時，x=?1.當1-k2≠0，即k≠±1時，

Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2,

由Δ>0得

由Δ=0得

由Δ<0得

這是一道常規題.如果我們創設問題的新情境，陳題新編，縱橫拓展，遷移組合，將會囊括圓錐曲線問題中“參數的取值范圍、定值、對稱、軌跡、定點”等高考熱點問題，做到舉一反三，助推能力提升.

1　探求參數的取值范圍

變式1若直線l與雙曲線C有2個不同的交點A，B，求實數k的取值范圍.

變式2若直線l與雙曲線C的右支交于2個不同的點A，B，求實數k的取值范圍.

變式3若直線l與雙曲線C的左支交于2個不同的點A，B,求實數k的取值范圍.

變式4若直線l與雙曲線C的左、右2支交于不同的點A，B,求實數k的取值范圍.

評注此類題應數形結合，根據直線l與雙曲線C交于1支(或2支)找到其充要條件，列出不等式組是正確求解取值范圍的關鍵.

變式5若直線l′垂直平分變式1中的弦AB，求l′在y軸上的截距m的取值范圍.

思考：若直線l′垂直平分變式2、變式3、變式4中的弦AB，求l′在y軸上的截距m的取值范圍.其結果又有什么不同？

評注在變式5、變式6中含有2個參數，m的變化是由k引起的，且m是關于k的函數，我們在2個參變量之間建立函數m=f(k)是關鍵，問題轉化為求此函數的值域.

2　探求定值問題

變式8若直線l與雙曲線C有2個不同的交點A,B，且A,B都在以M(0,-3)為圓心的圓上，求k的值.

得直線MP的方程為

即

x+ky+3k=0,

從而

x0+ky0+3k=0，

得

即

變式9是否存在實數k，使得以直線AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F2.若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

解由題意知F2A⊥F2B，設A(x1,y1),B(x2,y2),右焦點為F2(c,0)，則

即

x1x2+y1y2-c(x1+x2)+c2=0.

又

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

得

即

(1+c2)k2+2ck+1-c2=0.

解得

評注陳題條件中加入“A,B在圓上”后，問題分別以求定值和探求存在型的方式呈現，給人以“似曾相識”的感覺，頓生解決問題的欲望與激情.解決這類問題能增強學生的代數運算能力和識圖能力.

3　探求對稱問題

變式10若直線l與雙曲線C有2個不同的交點A,B，是否存在這樣的實數k，使得A,B這2個點關于直線l′:y=ax(其中a≠0)對稱？若存在，求出實數k;若不存在，說明理由.

解假設存在滿足條件的k，使得點A,B關于直線l′對稱，并設A(x1,kx1+1)和B(x2,kx2+1)關于直線l′對稱，則

整理得

(k-a)(x1+x2)+2=0.

即

評注對稱問題中“嵌套”存在型問題，使陳題面目為之一新，既考查了AB⊥l′和AB的中點在l′上這2個關系，又考查了學生綜合運用數學知識進行推理運算的能力.求解圓錐曲線的對稱問題，常見的問題是找不出所設變量之間的關系導致解答寸步難行.

4　探求動點的軌跡方程問題

變式11若直線l與雙曲線C有2個不同的交點A,B,求弦AB中點的軌跡方程.

問題探究如何確保參數方程與普通方程等價呢？

從而

即

解得

y<-1或y>0.

又k2≥0,得

y<0或y≥1.

綜上可得

y<-1或y≥1,

因此弦AB中點的軌跡方程為

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

問題探究題設的限制條件如何尋找？

0≤k2<1或1

從而

0<1-k2≤1或-1<1-k2<0,

即

y<-1或y≥1,

因此，弦AB中點的軌跡方程為

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

評注選擇以斜率為參變量，或用“點差法”找到斜率與弦中點之間的關系后，先求出參數方程，再化為普通方程，即點P的軌跡方程為

x2-y2+2y=0(其中y<-2或y≥2).

特別注意參數方程與普通方程的等價性是易錯點,也是難點和關鍵點.

5　探求定點問題

解設Q(x0,0)，則

即

而

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

代入上式可得

解得

評注以陳題和2006年山東省數學高考試題為雛形設計定點問題，也是高考的熱點之一.先求出滿足條件的直線l，然后再利用直線過定點知識加以解決.與平面向量的結合，既體現了幾何與向量的交匯，也體現了數形結合的巧妙應用．

6　探求面積問題

整理得

28k4-55k2+25=0,

解得

(x1,y1)+(x2,y2)=(λx0,λy0),

λ2=16，

即

λ=±4.

因此，△ABP的面積為

7　多元設置，綜合壓軸

變式15若直線l:y=kx+b與雙曲線C:x2-y2=1的左支交于2個點A,B，直線l與以F1F2為直徑的圓相切.

x2+y2=2.

由于直線l與⊙O相切，從而

即

b2=2(k2+1)(其中k≠±1).

(2)

(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，

(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=

化簡整理,得

(3)

聯立式(2)和式(3)得

2k2+3-4k2+k2-1=0，

解得

此時

Δ=4k2b2-4(k2-1)(b2+1)>0，

得

k2≠1，

從而

由k,b同號知，直線l的方程為

2)類似于第1)小題可得

即

從而

根據弦長公式

因為點O到直線l的距離為

而2≤m≤4，所以當m=2時，△AOB的面積最小，其值為

當m=4時，△AOB的面積最大，其值為

評注設置多個變量，適當改編條件，用待定系數法逆向求解斜率和截距，使思維量加大，思維的難度增大.但方程思想作基礎，先利用“減元”思想列出△AOB面積是m的函數，再利用二次函數在給定的區間上求最值的方法可解決.

圖1

即

a=b.

即

又b2=1，即a2=1，得雙曲線C的方程為

x2-y2=1.

3)解由題意可得0<λ<1.

證明設l3:y=kx+1，點P(x1,y1)，Q(x2,y2),則由l3與雙曲線C右支交于不同的2個點P,Q及變式2得

(x1,y1-1)=λ(x2,y2-1),

得

x1=λx2,

從而

于是

0

從而

即

λ2-2λ+1>0,

因此λ的取值范圍是(0,1).

評注逆向設計、用向量的坐標法證明問題是亮點之一；交換條件與結論后探究x2-y2=1為亮點之二；最后以參數的范圍求解、幾何問題代數化結尾.

精選典例，抓住“嬌”題不放，創新變式.若能從“變”的表象中發現“不變”的本質，從“不變”的假象中掘出“變”的內涵，則能促使學生盡快領悟數學思想方法，形成高超數學能力.變式教學不僅是跳出題海、減輕學生負擔、以少勝多、實施高效教學的最佳選擇，而且也是全方位提升學生分析問題和解決問題能力的明智之舉.

?2016-06-21；

2016-07-22

何偉軍(1962-)，男，甘肅定西人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-17-05