青山不言自擁翠*——2016年全國課標Ⅰ卷理科第21題的評析與探究

●楊瑞強

(黃石市第一中學　湖北黃石　435000)

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青山不言自擁翠*
——2016年全國課標Ⅰ卷理科第21題的評析與探究

●楊瑞強

(黃石市第一中學湖北黃石435000)

2016年全國課標Ⅰ卷理科第21題，一題兩問，言簡意賅，樸實無華，解法靈活，彰顯能力，并啟發(fā)我們課堂教學應加強數(shù)學思想方法的滲透，解題注重提煉通性通法，研究往屆高考熱點試題，便于把握試題的發(fā)展方向．

課標卷;評析;探究;啟發(fā)

1　試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2個零點．

1)求a的取值范圍；

2)設x1,x2是f(x)的2個零點，證明：x1+x2<2．

2　試題簡評

本試題言簡意賅，樸實無華，解法靈活，彰顯能力．題目2個小問，呈現(xiàn)平和自然，并且文字量少，表述精煉清晰，有親切感，易于激發(fā)學生解決問題的沖動．作為一道壓軸題，以函數(shù)零點為載體，主要考查導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)與證明不等式中的應用，充分考查學生推理論證的能力和數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想．第1)小題由函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，屬于學生熟悉的題型，雖屬常規(guī)，但學生的分類與整合、數(shù)形結合的意識較差，致使學生滿分率不高．第2)小題證明一個二元不等式，看似平和，實則暗藏玄機，此問題實質(zhì)上是證明函數(shù)極值點偏移(右偏)的問題，是一個近幾年高考的熱門問題，其背景深厚，內(nèi)涵豐富，要求學生具有靈活的轉(zhuǎn)化與化歸思想．總之，試題設計立意鮮明，角度寬，視點多，深入考查了數(shù)學的理性思維．深化能力立意一直是數(shù)學高考命題的追尋目標，本試題真正體現(xiàn)了“以能力立意為指導，考查能力和素質(zhì)”的命題原則．

3　試題解析

3.1第1)小題的分析與解答

第1)小題由函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，可采用分類討論，結合零點存在性定理進行求解；也可采用參變量分離，借助數(shù)形結合的方法加以解決.這2種方法都是解決零點問題的通性通法．

解法1分類討論，零點存在性定理.

由f′(x)=(x-1)(ex+2a)得：

當a=0時，f(x)=(x-2)ex，f(x)只有唯一的零點x=2，不合題意.

當a>0時，由f′(x)=0得x=1，于是f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.事實上，當x→-∞時，f(x)>0，當x→+∞時，f(x)>0，而f(1)=-e<0，結合零點存在性定理，易知f(x)有2個零點．

綜上所述，當且僅當a>0時，符合題意，即a的取值范圍為(0,+∞)．

評注由于方程f′(x)=0的根的個數(shù)與a的正負性有關，因此在解答中對a的正負性作了討論；另外當a<0時，由于不知道2個根x1=1與x2=ln(-2a)的大小，因此需要再一次進行比較討論．分類討論是導數(shù)壓軸題中常見的數(shù)學思想，首先要理清為何要討論，其次確定討論標準，要求做到不重不漏，這些都是分類討論的關鍵．

圖1

解法2分離參數(shù)，數(shù)形結合.

顯然x=1不是函數(shù)f(x)的零點．當x≠1時，方程f(x)=0等價于

易知g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增．如圖1，函數(shù)y=-a與g(x)的圖像有2個交點，則-a<0，即a>0．

評注對于函數(shù)零點(或方程根)的個數(shù)問題，我們采用參變量分離法，并且借助數(shù)形結合法加以解決，既形象直觀又可以避免對參數(shù)的討論．本題中，將函數(shù)f(x)有2個零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-a與g(x)的圖像有2個交點的問題，大大加快了問題解決的進程．

3.2第2)小題的分析與解答

第2)小題證明一個二元不等式，實質(zhì)上是證明函數(shù)極值點偏移(右偏)問題．問題的解決需要學生有較高綜合分析能力，巧妙利用式子的對稱性，結合函數(shù)的單調(diào)性，能夠較快地分析出解題思路，從而有較好的入手點．

解法1先分析法，再構造函數(shù).

不妨設x1

x1∈(-∞,1)，x2∈(1,+∞)，

從而

2-x2∈(-∞,1).

又f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，于是x1+x2<2等價于

f(x1)>f(2-x2)，

而f(x1)=0，即

f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

從而

f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則

g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),

當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，從而當x>1時，g(x)<0，于是

g(x2)=f(2-x2)<0，

故

x1+x2<2．

評注先運用分析法，將證明x1+x2<2等價于證明f(2-x2)<0即可，再構造函數(shù)g(x)=f(2-x)，最后證明當x>1時，g(x)<0，從而使問題得到順利解決．此解法思路清晰，目標明確，可謂一氣呵成，實屬通法通解．

解法2構造對稱函數(shù).

不妨設x1

x1<1

令F(x)=f(1+x)-f(1-x)，則由f′(x)=(x-1)(ex+2a)，得

F′(x)=f′(1+x)-f′(1-x)=x(e1-x-e1+x).

當x>0時，F(xiàn)′(x)<0，從而

F(x)

即

f(1+x)>f(1-x).

令x=1-x2，則

f(x1)=f(x2)=f[1-(1-x2)]<

f[1+(1-x2)]=f(2-x2),

即

f(x1)

而x1,2-x2∈(1,+∞)，且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，于是x1<2-x2，即x1+x2<2．

評注利用對稱性構造一元差函數(shù)是解決極值點偏移問題的通用方法，其轉(zhuǎn)化步驟為：

第1步：求出函數(shù)f(x)的極值點x0，構造一元差函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

第2步：對差函數(shù)F(x)求導，確定F(x)的單調(diào)性；

第3步：結合F(x)=0，判斷F(x)的符號，確定f(x0+x)與f(x0-x)的大小關系；

第4步：結合

f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]>(或<)

f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),

得

f(x1)>(或<)f(2x0-x2)；

第5步：結合f(x)的單調(diào)性，得

解法3利用對數(shù)平均不等式放縮.

由第1)小題可知a>0，設x1<1

?ln(2-x1)+x1-ln(x1-1)2=

ln(2-x2)+x2-ln(x2-1)2,

?ln(2-x1)-ln(2-x2)-ln(x1-1)2+ln(x2-1)2=x2-x1,

由對數(shù)平均不等式知

評注利用對數(shù)平均不等式放縮解決極值點偏移問題是一種有效的方法，其轉(zhuǎn)化的步驟有：第1步：根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等式；第2步：如果等式含有參數(shù)，則消參，有指數(shù)的則2邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；第3步：通過恒等變換轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均問題，利用對數(shù)平均不等式放縮求解[2]．

4　教學啟示

4.1加強數(shù)學思想方法的滲透，提高學生思維素質(zhì)

教師在日常教學中要加強各種數(shù)學思想方法的滲透，如數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想．比如在函數(shù)學習中，要特別強調(diào)函數(shù)圖像的工具性地位，由形到數(shù)是研究數(shù)學問題的重要手段之一．這既是教材中分析函數(shù)的出發(fā)點和落腳點，也應成為學生研究問題的一般思維方式，因而在高考中屢見不鮮．其實，在教學中，我們不僅要教學生知識、教學生解題，更重要的是教會學生研究問題的一般方法．另外，分類討論是高考的重點，同時也一直是學生的難點，難在哪里？難在分類討論的標準是什么，即討論點如何尋找．為此，在教學中，一定要高度重視．學生只要學會了思考和研究的方法，掌握了基本的數(shù)學思想方法，思維素質(zhì)才能得到提升，成績水平才能真正提高．

4.2解題注重提煉通性通法，熟練掌握數(shù)學模式題的通用解法

從數(shù)學高考試題中可以看出，高考重視對基礎知識、基本技能和通性通法的考查．所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法．高考命題的一個原則就是淡化特殊技巧，考生在復習中千萬不要去刻意追求一些解題的特殊技巧.盡管一些數(shù)學題目有多種解法，有的甚至有10多種解法，但這些解法中具有普遍意義的通用解法也就1～2種而已，更多的是針對這個題目的專用解法，這些解法作為興趣愛好去欣賞是可以的，但在高考復習中卻不能把它當作重點．數(shù)學屬于思考型的學科，在學習和解題過程中理性思維起主導作用，考生在復習時要更多地注重“一題多變(類比、拓展、延伸)”“一題多用(即用同一個問題做不同的事情)”和“多題歸一(所謂“一”就是具有普遍意義和廣泛遷移性的、“含金量”較高的那些策略性知識)”，更多地注重思考題目的“核心”是什么，從題目中“提煉”反映數(shù)學本質(zhì)的東西，掌握好數(shù)學模式題的通用方法．

4.3研究往屆高考熱點試題，把握高考試題的發(fā)展方向

高考試題研究是高中數(shù)學教學的一項重要而常規(guī)的工作．由于高考命題具有連續(xù)性、重復性，因此研究高考試題能夠把握高考試題的發(fā)展方向，尤其是研究高考試題最常規(guī)、最能體現(xiàn)題目本質(zhì)特征的解法，才能深入理解高考試題的命題背景和命題特點，也才能發(fā)揮它在高中數(shù)學教學中的導向作用，提高高考復習的針對性和有效性．文首高考試題的背景和模型在前幾年其他省份高考中就出現(xiàn)過多次，如2010年天津卷理科第21題、2011年遼寧卷理科第21題、2013年湖南卷文科第21題等等，這也充分體現(xiàn)了高考對往屆高考的繼承性與創(chuàng)新性的特點．如果在平時教學中，能夠引導學生對往屆高考試題加以分析與研究，往往可以捕捉到高考命題的一絲線索．其實，本試題的模型對于很多學生可謂“輕車熟路”，特別是有過競賽經(jīng)驗的學生和平時做過類似題目的學生會很有優(yōu)勢，此題也可謂是一道十足的“陳題”．

[1]邢友寶．極值點偏移問題的處理策略[J]．中學數(shù)學教學參考:上旬，2014(7):19-22．

[2]賴淑明．極值點偏移問題的另一本質(zhì)回歸[J]．中學數(shù)學教學參考:上旬，2015(4)：49-51．

?2016-06-29；

2016-07-29

楊瑞強(1979-)，男，湖北黃岡人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)10-35-03