三角函數(shù)型不等式恒成立問題的7種策略*

●魏正清

(臨澤縣第一中學(xué)　甘肅臨澤　734200)

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三角函數(shù)型不等式恒成立問題的7種策略*

●魏正清

(臨澤縣第一中學(xué)甘肅臨澤734200)

含參三角函數(shù)型不等式恒成立的問題，是競賽的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，解法多變，無規(guī)律可循.文章給出可分離參數(shù)的三角函數(shù)型不等式恒成立求參數(shù)范圍的7種策略.

三角函數(shù)型不等式;求參數(shù)范圍;策略

含參不等式恒成立問題，可把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，以覆蓋知識點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)而倍受關(guān)注.尤其是三角函數(shù)型不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，一直是競賽命題的熱點(diǎn)，在近幾年的高考中，也日益受到命題者的青睞.如何破解參數(shù)可分離的三角函數(shù)型不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，值得關(guān)注.筆者給出破解此類問題的7種策略，以期拋磚引玉.

1　利用柯西不等式

評注對于三角函數(shù)型多變元不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，分離參數(shù)后，求函數(shù)最值時，若能先固定一元，則可活化思維，柳暗花明.減元是求函數(shù)最值問題最重要的思路，而巧妙地引入?yún)?shù)、利用柯西不等式是求解多元最值問題最有效的方法之一.

2　利用幾何意義

評注對于形式繁瑣、結(jié)構(gòu)特征明顯的不等式恒成立問題，若能緊扣式子的幾何特征，巧妙地利用其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，則可迅速找到解題的突破口.

3　構(gòu)造和函數(shù)

分析依題意，要使

恒成立，可令cos2x=a，cos2y=b，則0≤a≤1,0≤b≤1，于是

由0≤a≤1,0≤b≤1知

評注對于變元易分離的多變元不等式恒成立問題，可將函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為幾個函數(shù)的最值之和處理.

4　構(gòu)造遞推式

2f2k(θ)-f2k-2(θ)=(cos2k-2θ-sin2k-2θ)(cos2θ-sin2θ)≥0,

得

評注對于具有數(shù)列特征的多變元不等式恒成立問題，求函數(shù)的最值時，可利用數(shù)列思想構(gòu)建遞推不等式，使問題巧妙解決.

5　換元法

x=sin2αcos2β，y=sin2αsin2β，z=cos2α,

則

x+y+z=1.

評注對于形式復(fù)雜，但都是sinx與cosx的偶次方的三角函數(shù)型不等式恒成立問題，若能巧妙地利用球坐標(biāo)變換，則可迅速簡化問題，讓人耳目一新.

6　先猜后證

于是f<1.

綜上所述，f<1，實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,1].

評注對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、分離參數(shù)后不易求最值的多元函數(shù)，若能先猜出其最值，再加以證明，則可迅速找到解題的突破口.

7　構(gòu)造單調(diào)函數(shù)

分析依題意可得

即

f(cosθ)≤f(sinθ),

評注對于結(jié)構(gòu)特征明顯、但又不易化簡的三角不等式恒成立問題，若能根據(jù)其特征巧妙地構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性，定有意想不到的收獲.

?2016-04-19；

2016-05-20

甘肅省十二五規(guī)劃課堂(GS[2015]GHB1415)

魏正清(1968-)，男，甘肅張掖人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)10-09-04