學生說題　各有不同*

●陳俊斌

(南安市教師進修學校　福建南安　362300)

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學生說題各有不同*

●陳俊斌

(南安市教師進修學校福建南安362300)

說題是近年來興起的一種新的教研活動，能以小見大，去虛務實，已成為福建省教師教學技能大賽學科技能比賽的一部分.相比教師說題，學生說題教研活動開展得還比較少，學生說題是指學生在解完一道數學題后，向被說題者(教師或專家評委等)闡述自己解決試題的思維暴露過程.文章以學生現場說題比賽活動及自身的思考進行具體闡述,以期達到拋磚引玉的效果.

學生說題;解后反思;說題教研

1　問題的提出

有這樣一個故事：有個孩子剛上高三時，他的數學成績很不理想，他的媽媽非常著急，就找了一位數學專家，問有什么好方法能讓她的孩子提高數學成績，這位專家給她支了一個點子：“叫孩子每次都給你講作業．”家長說：“我聽不懂怎么辦?”專家說：“聽不懂也聽．”堅持了1～2個月后孩子有明顯進步，并且數學的進步會遷移，帶動其他學科，一年后考上了重點大學.這位專家就是采用了一個重要的方法“說題”．這個“說題”活動必須獨立完成作業，進一步理清思路才能表達出來．

2015年4月25日～4月26日筆者所在市教師進修學校舉行了2015年中學生數學“說題”交流評比活動，比賽分初中組和高中組.全市由14個初中教研片和5個高中教研片分別推薦2～3名學生和6～8名學生參賽，比賽當天，共有初中學生39人、高中學生34人參加本次交流評比活動.本次學生現場說題時間限制在8分鐘以內，比賽現場精彩紛呈.下面筆者結合現場案例及自身的學習談談對中學生數學說題教研活動的思考與認識，以期達到拋磚引玉的效果.

2　學生說題的界定

結合本次市級教研活動學生現場說題及筆者的認識，筆者認為學生說題一般應包含以下幾個環節：

2.1理信息，說審題

解題時，吃透題中各個條件是思維開展的基礎，說審題主要包含2個方面：一是試題背景來源，如自編的原創題，中(高)考試題或其改編題，教材的例習題原題或改編題，期中、期末考題等;二是題目結構分析，即運用數學語言分析題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結論是什么，題目涉及哪些知識點.

案例1如圖1，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，D,E分別是AB,AC邊上的點，且BD=CE.求證：MD=ME.

圖1

圖2

對于這道題，學生可這樣進行審題分析方面的說題：本題是2014年江蘇省無錫市中考數學試題的第21題，主要考查全等三角形的判定、全等三角形的性質、等腰三角形的性質等知識點，考查推理論證能力及幾何直觀能力，考查化歸與轉化等數學思想方法.題目已知的條件主要是等腰△ABC的3條邊上的一些線段相等關系(BD=CE,MB=MC)，要證明的結論是線段MD,ME的相等關系.事實上本題來源于華東師大版教材八年級上冊第75頁課后練習第1題的改編(題目如下)：如圖2，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E,F為垂足，DE=DF.求證：△BED≌△CFD.

2.2析條件，說思維

數學是思維的體操，說思維主要是指學生說解題思路獲得的全過程，即解決這道題目運用什么方法、有哪些步驟、你是如何想到的、如何表述、如何實踐操作.這里主要包含2個方面：一個是解決本試題的思路分析，一個是解法展示.實際說題時側重點有所不同，若所說的題目解法比較常規或試題難度值較大，則應把重點放在思路分析上，若所說之題可一題多解，則可適當給一些時間在解法研究中，并指出比較有特色的解法.

如案例1中學生在說題時是這樣作解題思路分析的：要證明2條線段相等，比較常見的方法是利用全等三角形.從圖1可以看出，MD,ME分別在△BMD和△CME中，要證明MD=ME，只需證明這2個三角形全等，然后再利用全等三角形的性質即可得出.用此法解決本題的關鍵點是由等腰三角形性質得出2個底角相等，然后由“邊角邊”定理判定2個三角形全等.在作完解題思路分析后，簡略地把規范的解答展示給現場教師及評委即可.

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(2016年福建省數學質檢考試理科第11題)

圖3

學生說題本題有多種解法，這里我主要說說2種常見的解法，先說常規解法的思路分析：設P(x1,y1),Q(x2,y2)，把已知的幾何條件轉化成含有a,b,x1,y1,x2,y2,c的關系式，再由公式c2=a2+b2消去c，求出a,b之間的關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.

解法1如圖3，由已知得F1(-c,0),F2(c,0).設P(x1,y1),Q(x2,y2)，則依題意得

(1)

(2)

因為|PQ|=2|QF1|，所以

即

(x2-x1,y2-y1)=2(-c-x2,0-y2),

解得x1=3x2+2c,

(3)

y1=3y2,

(4)

聯立式(1)和式(2)得

(5)

把式(3)和式(4)代入式(5)得

(6)

由式(2)得

代入式(6)求得

故

于是

因為點P是以F1F2為直徑的圓與雙曲線C右支的交點，所以

(7)

從而

把x1,y1及c2=a2+b2代入式(7)并化簡可得

b4-3a2b2-4a4=0，

即

(b2-4a2)(b2+a2)=0.

圖4

解法2如圖4，聯結QF2，由已知得

|PF1|-|PF2|=2a,

|QF2|-|QF1|=2a.

設|QF1|=m，則|PQ|=2m，從而

|PF1|=3m,

|PF2|=3m-2a,

|QF2|=m+2a.

因為點P是以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的交點，所以∠F1PF2=90°，故在Rt△QPF2中，有

|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，

即

(2m)2+(3m-2a)2=(2a+m)2，

|PF1|=3m=4a,|PF2|=3m-2a=2a.

在Rt△PF1F2中

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即

(4a)2+(2a)2=(2c)2,

故

從而所求曲線的漸近線方程為

點評本解法先從雙曲線的定義出發得到2個關系式，然后根據PQ,QF的長度關系引入參數m，并在Rt△QPF2中根據勾股定理列式，最后才在焦點△PF1F2中求解a,c的關系.比對上述常規解法，不僅解答更為簡潔明快，更是巧妙地避開了復雜的運算及繁雜的關系代換.整個解法過程中，算得有方向，算得有思路，當然此種解法對學生的運算素養要求不低，要求能夠恰當引進參數，活用平面幾何知識.

2.3微總結，說反思

解后反思是對整個解題活動的反思，數學的理解要靠學生對思維過程的不斷反思才能達到.解決完一道試題后，學生可結合自己對整個問題思考的全過程進行微總結.說反思，即解決這道題都運用了哪些數學思想方法，有無其他解法，哪種思路最優，所得結論或性質是否具有規律性，能否進行推廣？題目能否進行其他變化？這里大略可分為3個方面：一個是說自己在解決本試題時如何處理遇到的困惑；二是解題后對該試題解法的價值研究，如解法推廣、引申等；三是對試題本身價值研究，如對所說試題進行簡單拓展變式等(這點對學生要求較高).

如案例1中學生是這樣做解后反思的：

作為中考試題的第21題，本題屬于中檔題，只需平時掌握好數學的基礎知識和基本技能，在中考時正常發揮即可證出.下面結合自己的學習談談對本題的一些拓展變式分析.

變式1如圖5，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，D,E分別是AB,AC邊上的點，且AD=AE.求證：MD=ME.

分析本題僅更換條件“AD=AE”，因AB=AC即可推出BD=CE，故與原題實質上是等價的.

圖5

圖6

變式2如圖6，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，D，E分別為垂足，求證：MD=ME.

分析本題由2014年湖南省衡陽市數學中考試題第23題改編而來.聯結AM，由等腰三角形“三線合一”性質知AM平分∠BAC，再利用角平分線的性質即可得證.

變式3如圖7，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，點E,F分別是AB,AC邊的中點，聯結ME,MF.求證：ME=MF.

分析由中位線的性質可得

從而ME=MF.

圖7

圖8

變式4如圖8，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠AME=40°，點M在BC邊上運動(點M不與點B,C重合)，ME交線段AC于點E，問：當MC等于多少時，△ABM≌△MCE，并說明理由.

分析當MC=2時，△ABM≌△MCE.由AB=AC，得∠B=∠C=40°.再由∠EMC+∠MEC=140°,∠EMC+∠AMB=140°,得∠MEC=∠AMB.最后借助“AAS”定理可得△ABM≌△MCE.

由于原題涉及的知識要求比較基礎，而此題又較具有研究價值，因此本題學生說題的重點應放在試題的價值研究即拓展變式上，把拓展變式題與原題進行比對，對于拓展題的解答則簡略作思路分析即可.

1)略.

2)問：y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(2015年全國數學高考課標I卷第20題)

本題在解后反思時學生可這樣進行說題：作為高考題第20題，本題屬難題，需要我們具備較強的化歸與轉化思想，下面主要從試題的常見變化研究此試題，以下是得到的2個變式題目.

變式1已知在直角坐標系xOy中，曲線C:x2=2py與直線y=kx+a(其中a>0)交于點M,N.問：y軸上是否存在點P，使得∠OPM=∠OPN？說明理由.

分析此題旨在將特殊條件一般化，解法同原題一樣，結論仍然成立.

變式2在直角坐標系xOy中，曲線C:y=ax2與直線y=kx+a(其中a>0)交于點M,N，點P(0,-a).求證：∠OPM=∠OPN.

分析此題把條件與結論位置進行交換，結論依然成立.

點評此題的2種改編方法很常見，學生在教師指導下若能通過對題目進行如上的改編，并加以說題，勢必能拓展學生的思維，滲透常見的特殊與一般思想，達到“解一題，會一類，舉一反三，觸類旁通”的目的.同時，在學生編題、想題、做題、說題的過程中，學生的數學素養也會提高，能更有效地把握數學本質.

3　賽后啟示

此次是筆者所在市第一次舉行市級中學生數學現場說題比賽，難免粗陋，但我們事先有提供“中學生數學說題活動”的學習資料，大部分參賽學生對說題的流程及框架有所了解，因此整個活動開展得有條不紊，學生現場表現比事先預期要好.通過上述案例分析，可大致了解中學生數學現場說題的含義及流程：中學生數學說題是指學生在解完一道數學題后，向被說題者(教師或專家評委等)闡述自己解決試題的思維暴露過程，主要包含如下幾個環節：一是說題目，即運用數學語言說清題目所給的信息：已知條件有哪些、所求結論是什么、題目涉及哪些知識點；二是說解法，解決這道題目運用什么方法、有哪些步驟、你是如何想到的、如何表述；三是說反思，解決這道題都運用到哪些數學思想方法，有無其他解法、哪種解法最優、所得結論或性質在解題中有什么應用、能否推廣.

總之，學生說題有利于促進教師轉變課堂教學方式，從而更充分地調動學生學習數學的積極性，這也是開展本次比賽的一個主要出發點.學生說題不僅能訓練學生的口頭表達、數學語言交流能力，還能提高學生解決數學問題的能力，擺脫題海戰術，減輕學業負擔.通過上述案例分析可以發現，同是學生說題，各有不同，有的學生重在說試題變式，有的則側重說解題思路，有的說巧妙解法的思路歷程等.因此，學生說題應從所說題目的自身特點及自身情況，選擇適合自己的模式，說出信心，說出亮點，展示自我.

?2016-05-11；

2016-06-15

福建省泉州市教育科學“十三五”規劃第一批立項課題(QG1351-161)

陳俊斌(1984-)，男，福建南安人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-13-04