數學教學回歸教材的探究與反芻*

●岳　峻　韓長峰

(太和中學　安徽阜陽　236600)

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數學教學回歸教材的探究與反芻*

●岳峻韓長峰

(太和中學安徽阜陽236600)

教材是數學知識和思想方法的重要載體.教師的教學引領應立足于教材，強化回歸教材的意識，掌握回歸教材的方法，提升回歸教材的引領技能，注重提升學生數學學科的核心素養(yǎng)．

數學教學；回歸教材；探究；反芻；核心素養(yǎng)

數學教育專家總是反復強調必須追根溯源、回歸教材，但一線教師對回歸教材的理解有一定的偏差，誤認為是所學知識的一味重復或機械相加，沒有太大的意義，或者無暇投入，因此只是口頭上重視回歸教材，行動上難以落實，陷于疲憊的題海戰(zhàn)，也有悖于《數學課程標準》的理念．

教材是編者集體智慧的結晶，是數學知識和數學思想方法的重要載體[1]，又是教師的“教”和學生的“學”的主要資源，承載著新課程改革的理念和導向，滲透著創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，同時體現著高考改革的發(fā)展趨向．教材的結構是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是千錘百煉的，習題是精挑細選的，教材中每個素材的選取、問題的設置、規(guī)律的呈現等都具有極高價值.這就要求數學教學的根基必須在教材，切實落實“回歸教材”.

筆者以2016年1月參加的聯(lián)考階段性測試試題為例，談談回歸教材的探究與反思，供大家指正．

1　試題呈現，思路簡析

()

又因為點P,A∈C，所以

b2s2-a2t2=a2b2，b2x21-a2y21=a2b2，

2個式子相減可得

2　回歸教材，追根溯源

圖1

圖2

例4已知△ABC的2個頂點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0)，且AC,BC所在直線的斜率之積為m(其中m≠0)，試探求頂點C的軌跡.

例5設A,B的坐標分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之商為2，問：點M的軌跡是什么？為什么？

例6已知點A,B的坐標分別為(-1,0),(1,0)，直線AB,BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差是2，求點M的軌跡方程.

例7已知點A,B的坐標分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之和是2，求點M的軌跡方程.

3　探究之旅,變式引申

3.1歸納拓展——定點字母化

我們不妨先探究其中一種情形，另一種可以由類比得到．通過簡單的探究即可得知：

若m=-1時，點M的軌跡方程是x2+y2=t2(其中|x|≠1)，顯然也符合上式，因此變式3不僅包含了變式1和變式2，還包含了橢圓的極限曲線——圓.

變式4設A,B的坐標分別為(0,-t)，(0,t)(其中t>0),直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積為m(其中m≠0)，則點M的軌跡方程是

這自然得到有心圓錐曲線的第三定義：平面內的動點與2個定點的直線斜率之積等于非零常數m(其中m≠0)的點的軌跡為有心圓錐曲線.

3.2初步探究——命題逆化

上述變式的逆命題是否成立呢？亦即已知曲線方程和曲線上異于頂點的動點與相對2個頂點連線的斜率乘積會有什么結論呢？

3.3深入探究——定弦運動化

變式5～變式8中弦AB的中點是原點O，且端點落在坐標軸上，試想：若弦AB的中點是原點O，但端點不落在坐標軸上，則結果又如何？

3.4意猶未盡——運算推廣

教材上的后3題是將直線AM,BM的斜率之積分別調整為斜率之商、斜率之差、斜率之和，那么點M的軌跡方程又將會是什么呢？

變式13已知平面內的定點A,B的坐標分別為(-a,0)，(a,0)(其中a>0),直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之商是m(其中m≠0)，則點M的軌跡方程為

(1-m)x=±a(m+1)(其中|x|≠a).

變式14已知平面內的定點A,B的坐標分別為(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之差是m(其中m≠0)，則點M的軌跡方程為

變式15已知平面內的定點A,B的坐標分別為(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之和是m(其中m≠0)，則點M的軌跡方程為

顯然當m=0時，變式14和變式15中點M的軌跡方程分別為直線y=0,x=0.

4　回歸教材的反思

4.1強化回歸教材的意識

回歸教材，力促教材例習題的引領活力，展現習題功能，挖掘習題潛能.高考數學試題具有“源于教材，而高于教材；題在書外，但根在教材”的特點．年年歲歲題相似，歲歲年年意不同,萬變不離其宗，其中的“宗”就是教材.教材中的題目大多都蘊含著深刻的背景、豐富的數學文化、數學思想，很多高考試題都源自教材中的定理或定理中的思想方法，或是例題、習題的重新整合、挖掘、引申等．有的高考題直接從教材的例、習題移植而來；有的高考題用教材的例、習題改編而來；有的高考題從教材的例、習題類比深化而來，即便是綜合題也是教材例題、習題的組合、加工、引申、拓展和類比，充分體現教材乃高考數學試題之根之所在[2].

正如羅增儒語：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據其實是教材．教材是中、低檔試題的直接來源；教材是考試內容的具體化；教材是高考命題的基本依據；教材是解題能力的基本生長點．

因此，教師的教學引領應立足于教材，對教材中有潛在本質規(guī)律的例題、習題進行適當地挖掘、類比，使教材中的每一個例題、習題的作用發(fā)揮極致，從學生認識規(guī)律角度，由淺及深，展開變式，引領學生在其思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”遞進式地探索，逐步提升學生的數學思維素養(yǎng)．這就是數學教學的核心之所在．

4.2掌握回歸教材的方法

1)注重教材定理、公式的推導過程.

當前，不講基礎而一味鉆難題的做法是不可取的.2010年四川省數學高考試題中出現cos(α+β),sin(α+β)的推導，2011年陜西省數學高考試題出現了敘述并證明余弦定理，2013年陜西省數學高考文科試題出現等差數列前n項和Sn的公式推導，理科數學出現等比數列前n項和Sn的公式推導……

數學是一種科學的思維方法，要學會思考；數學也是一種操作活動，要熟練技能；數學還是一種問題解決的方法，要學會解題．高三數學教學不能簡單地理解為學生熟記公式、定理和結論，然后進行題海訓練，而應注重定理、公式的推導過程，培養(yǎng)良好的解題習慣、發(fā)展分析和解決問題的能力，領悟思維的誘導、調整、進階、完善，領悟其蘊含的豐富的數學文化、數學方法、數學思想，重新全面梳理知識、方法，促使學生有層次地、遞進地理解數學本質，從而提升學生的數學思維素養(yǎng)．

2)注重教材例題、習題的變式訓練.

教材例題、習題看似平淡無奇，其實是呈現簡潔、極富韻味的好題，值得細細品味．高三復習教學應誘導學生把特殊問題納入更一般的范圍，從特殊推廣到一般，揭示事物的普遍規(guī)律，促使學生從會解一道題到會解一類題，由低層次到高層次，把數學思維提高到由例及類的層次，加速數學思維的優(yōu)化．例如，人教版《全日制普通高中教科書(選修2-1)數學》第73頁的第6題:

例8直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A,B，求證：OA⊥OB．

分析其已知條件:①直線l:y=x-2是一條定直線，其斜率為1，在x軸上的截距為2；②拋物線C:y2=2x的特征量2p=2，而直線l所過的定點M(2,0)的橫坐標恰好為2，是巧合還是有規(guī)律可循？

拓展思路1直線“活”起來[3]

①直線l的斜率不變，在x軸上的截距變?yōu)?，結論還成立嗎？(不成立.)

②直線l的斜率變?yōu)?，在x軸上的截距不變，結論還成立嗎？(成立.)

③直線l的斜率變?yōu)?1，在x軸上的截距不變，結論還成立嗎？(成立.)

④直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，結論還成立嗎？(成立.)

⑤直線l的斜率不存在，在x軸上的截距不變，結論還成立嗎？(成立.)

……

拓展思路2曲線“動”起來

①拋物線C變?yōu)镃:y2=3x，其他條件不變，結論還成立嗎？(不成立.)

②拋物線C變?yōu)镃:y2=-2x，其他條件不變，結論還成立嗎？(不成立.)

③拋物線C變?yōu)镃:x2=-2y，其他條件不變，結論還成立嗎？(不成立.)

④拋物線C變?yōu)镃:x2=2y，其他條件不變，結論還成立嗎？(不成立.)

……

拓展思路3條件共“舞”

①直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結論何時成立？(提示：2p=2.)

②直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結論何時成立？(提示：2p=4.)

③直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?p，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結論成立嗎？(成立.)

……

拓展思路4逆化命題

①直線l與拋物線C：y2=2px(其中p>0)相交于點A,B，若OA⊥OB，則直線l有何特征？

②直線l與拋物線C:y2=2px(其中p>0)相交于異于頂點的2個動點A,B．若OA⊥OB，則直線必過定點嗎？

……

拓展思路5披上“神秘”外紗

拓展思路6類比引申

①原點O是拋物線C的頂點，原點O變?yōu)閽佄锞€C任意一點，是否還有類似的結論呢？

②拋物線C變?yōu)閳A錐曲線中的橢圓、雙曲線，是否還有類似的結論呢？

③拋物線C變?yōu)閳A，結論是否成立？

……

3)注重教材閱讀、探究的思維啟示.

新課標教材充實了許多具有生活氣息的閱讀材料，吸引了學生的注意力，關注了學生的非智力因素對學習的影響，倡導學生的認知與興趣、情感緊密地聯(lián)系起來，實現情知并行、情知互動、情知交融，也設置了饒有情趣的探究問題，激發(fā)了學生學習的激情，促使學生產生探究的原動力和內在需求．

高三數學的復習教學，應對本原性的問題多一些思考，結合教材提供的閱讀材料、探究問題的思維啟示，創(chuàng)設開放、互動、新型的教學體驗環(huán)境，促使學生體會知識的發(fā)生和發(fā)現過程，引領學生學會審題，學會思維，把教材中“省略”的思維信息慢節(jié)拍地找尋出來，提升數學探究教學的高效．

4)注重教材方法、思想的潛移默化.

形式化是數學的基本特征之一．在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求.但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里．新課程為了促進學生對數學內容本質的理解，建立內容本質與形式表達之間的有機聯(lián)系，使數學形式化過程適應學生的學習心理，并在建構數學形式化認知結構的同時，獲得全面發(fā)展，在“強調本質，注意適度形式化”方面作出了努力．

高中數學復習應返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質，注重教材方法、思想的潛移默化．數學教學要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的數學方法、數學思想潛移默化，把數學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài)．

4.3提升回歸教材的引領技能

凸顯數學本質，引領學生思維，既是高中數學新課程的核心理念之一，也是數學學科的自身訴求．數學教學的一個重要任務就是抓住基礎，抓住數學的核心，培養(yǎng)學生的數學思維素養(yǎng)，進而才能提高學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的轉化與化歸的能力，才能化無限為有限，才能多題歸一[4].

“做題不在多，理解則靈；難度不在大，有意才行”，教學時，教師要有意識地選準具有示范性、發(fā)散性、延伸性的試題，加以引申、拓寬、變化，引導學生從形式的“變”發(fā)現本質的“不變”，從本質的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律，旁通知識的橫向聯(lián)系，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在的聯(lián)系與規(guī)律，精學一題、妙解一類，固化于型、內化于心，進而形成一個條理化、有序化、網絡化的高效的有機認知結構，從中提煉出數學思想、數學方法．這就是數學教學的核心．

5　結束語

作為教師，務必將教材視為高三復習的“紅色根據地”，在領會教材的編寫特點、把握教材、理解教材、理清知識發(fā)生發(fā)展的來龍去脈的基礎上，著力揣摩教材的編寫意圖，明確教材的脈絡結構，深刻領悟數學知識的作用和蘊含的人文素養(yǎng)的文化價值，做到跳出教材、活用教材，提升自身的教學品味.也只有讓學生時刻把“舉一反三”“觸類旁通”放在心上，經常實踐，學會獨立思考，才能提升學生數學學科的核心素養(yǎng).

正如章建躍博士語：高考復習，回歸教材、回歸基礎才是正道．急功近利的高考復習可以休矣！

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]岳峻.提升數學思維素養(yǎng)的教學實踐與反思[J].中學數學，2015(12):94-96.

[3]岳峻,阮艷艷.細品圓錐曲線與直線一例[J].數理天地，2016(2):4-5.

[4]岳峻.透析考題信息提升解題驅動力——賞析2015年湖北卷第21題[J].中學教研(數學)，2015(8):30-32.

?2016-04-25；

2016-06-01

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-01-05