賞析2016年數(shù)學(xué)高考理科卷中的創(chuàng)新試題*

●何元國(guó)

(洋縣第二高級(jí)中學(xué)　陜西洋縣　723300)

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賞析2016年數(shù)學(xué)高考理科卷中的創(chuàng)新試題*

●何元國(guó)

(洋縣第二高級(jí)中學(xué)陜西洋縣723300)

2016年全國(guó)26個(gè)省市數(shù)學(xué)高考試題由分卷走向合卷，其亮點(diǎn)是立足課本命制創(chuàng)新試題，側(cè)重考查學(xué)生的三基，深度考查學(xué)生綜合分析、探究及解決問(wèn)題的能力,適量加大了思維能力的考查，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義.

創(chuàng)新題；命制及對(duì)策;課堂教學(xué)

2016年全國(guó)26個(gè)省市數(shù)學(xué)高考試題由分卷走向合卷，試題總體特點(diǎn)：題型穩(wěn)定，難度適中，創(chuàng)新適度.重點(diǎn)考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本能力，深度考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法綜合分析、探究及解決問(wèn)題的能力,適量加大了運(yùn)算能力和邏輯思維能力的考查，又適度創(chuàng)新，對(duì)學(xué)生的不同思維層次進(jìn)行良好區(qū)分[1].2016年的數(shù)學(xué)高考折射出合卷后高考試題的命題趨勢(shì)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義，值得教師及學(xué)生品味和研究.下面筆者從2016年數(shù)學(xué)高考理科卷中創(chuàng)新試題的命制方式及考查目的歸類解析，與廣大師生交流共賞.

1　從函數(shù)的圖像與性質(zhì)的關(guān)系命制試題

綜合考查學(xué)生的識(shí)圖、運(yùn)算能力、估算判斷能力及邏輯思維能力.

例1函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]上的圖像大致為

()

A. 　　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　　D.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科卷第7題)

解從選項(xiàng)的4個(gè)圖像知，當(dāng)x=2時(shí)，y=8-e2，因此排除選項(xiàng)A,B.又當(dāng)x>0時(shí)，y′=4x-ex，令y′=0，即4x-ex=0，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=4x和y=ex的圖像，借助圖像知在區(qū)間(0,1)中存在x0，使得4x0-ex0=0成立，且當(dāng)00，因此可排除C，故選D.

()

A.11B.9C.7D.5

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅰ卷第12題)

點(diǎn)評(píng)圖像是性質(zhì)的載體，性質(zhì)是圖像的微觀刻畫(huà).命題人獨(dú)具匠心，立足常規(guī)題型，但考查目的不落俗套，妙筆生花！如例1中命題人借用函數(shù)圖像告知該函數(shù)的性質(zhì)：可能具有奇偶性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)(駐點(diǎn))、單調(diào)性.要求學(xué)生用相關(guān)的數(shù)學(xué)手段對(duì)該函數(shù)的性質(zhì)選擇性探究解答.學(xué)生若識(shí)圖意識(shí)不強(qiáng)，先由函數(shù)找圖(或特殊點(diǎn)驗(yàn)證)，耗時(shí)費(fèi)力，得不償失.很明顯4個(gè)選項(xiàng)的差異有2點(diǎn)：1)當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)值的大小；2)當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.學(xué)生若能抓住其差異，即可估算判斷分而破之.例2命題人告知函數(shù)具有的部分性質(zhì)，無(wú)圖考圖，讓學(xué)生探究解答.學(xué)生常常會(huì)直解，雖能正確解答，但考場(chǎng)上時(shí)間有限，效比太低.若能抓住y=f(x)圖像的特點(diǎn)，估算ω的最大值，回驗(yàn)即可求解.不過(guò)該題是選擇題，直解不可取，但由大到小驗(yàn)證不失為有效方法.總而言之，打破慣性思維，充分利用數(shù)學(xué)思想方法跨越分析、探究研判才是破解創(chuàng)新試題的有效途徑[2].

2　從函數(shù)圖像的對(duì)稱性命制試題

綜合考查學(xué)生的作圖、用圖能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力.

()

A.0B.mC.2mD.4m

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅱ卷第12題)

故選B.

1)若a=0，則f(x)的最大值是______;

2)若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

(2016年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

解1)略.

圖1

2)在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x3-3x和y=-2x的圖像(如圖1所示)，2個(gè)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-1，0，1.

題設(shè)函數(shù)f(x)的圖像是由y=x3-3x(其中x≤a)的圖像與y=-2x(其中x>a)的圖像組合而成，而f(x)無(wú)最大值，由圖像可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-1.

點(diǎn)評(píng)圖像是性質(zhì)的載體，是性質(zhì)的直觀再現(xiàn).命題人以常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題及形式，精準(zhǔn)考查主干知識(shí)、重要方法及基本能力，含而不露.例3和例4主要考查學(xué)生作圖、用圖能力及數(shù)形結(jié)合能力.學(xué)生若慣性思維直解，則落入陷阱.如例3按常規(guī)運(yùn)算，無(wú)濟(jì)于事，迫使學(xué)生研究函數(shù)的性質(zhì)，將交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)位置問(wèn)題進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解.尤其是例4,學(xué)生粗略一看在實(shí)數(shù)集中該函數(shù)一定有最大值，怎么沒(méi)有最大值?直解又感無(wú)抓手，陷入困頓.豈不知它是分段函數(shù)！分段函數(shù)的界點(diǎn)不僅影響其單調(diào)性、連續(xù)性，往往影響其最值的存在與否，這也是該題設(shè)計(jì)之精妙之處.當(dāng)然，學(xué)生只要注意到該函數(shù)圖像的構(gòu)成方式，就能有驚無(wú)險(xiǎn)，順利解答.值得注意的是，數(shù)的問(wèn)題難以解決時(shí)，不妨將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，形導(dǎo)數(shù)算可能會(huì)迎刃而解.

3　從問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式命制試題

綜合考查學(xué)生閱讀理解能力、邏輯思維能力及應(yīng)用意識(shí).

例5有3張卡片，分別寫(xiě)有1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙3人各取走1張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)是______.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅱ卷第15題)

解由丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”出發(fā)，將甲、乙、丙3人取走卡片方案填入表1中，顯然在方案②中，甲、乙相同數(shù)字是2，矛盾！故甲卡片上的數(shù)字是1和3.

表1　取卡方案

例6袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半,甲、乙、丙是3個(gè)空盒.每次從袋中任意取出2個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則

()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

(2016年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

解法1(方程法)每次抓出2個(gè)球的情形有4種:①紅黑;②紅紅;③黑黑;④黑紅.

情形①會(huì)導(dǎo)致乙盒中黑球加1，情形②會(huì)導(dǎo)致乙中紅球加1，情形③會(huì)導(dǎo)致丙中黑球加1，情形④會(huì)導(dǎo)致丙中紅球加1.不妨設(shè)情形①～④出現(xiàn)的次數(shù)分別為a,b,c,d，因?yàn)榧t球與黑球數(shù)相同，所以

a+2b+d=a+2c+d，

即b=c，因此乙盒中的紅球數(shù)等于丙盒中的黑球數(shù).故選B.

解法2(賦值驗(yàn)證法)若袋中只有2個(gè)球，則放球情形如表2所示，由情形①排除選項(xiàng)A，由情形②排除選項(xiàng)D.

表2　放球情形

若袋中有4個(gè)球，則放球情形如表3所示.

表3　放球情形

由情形③可排除選項(xiàng)C.故選B.

點(diǎn)評(píng)該題打破問(wèn)題設(shè)問(wèn)方式慣例而創(chuàng)新命制試題，其目的是考查學(xué)生的閱讀理解能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、抽象概括能力、探究能力和應(yīng)用意識(shí).這樣的題目考查目的隱蔽，學(xué)生感到面生，找不到現(xiàn)成解決問(wèn)題的方法，因此能更好地考查學(xué)生的思維能力.如例5，命題人改變了以往邏輯考查的常考方式如判斷條件與結(jié)論的充要性、命題的否定等，取而代之的是以不同對(duì)象對(duì)問(wèn)題不定判斷為依據(jù)，合理推斷問(wèn)題，其考查的目的不變，又兼顧考查了學(xué)生的閱讀理解能力、探究能力和邏輯推理能力，使人耳目一新.例6本質(zhì)考查學(xué)生思維能力、方程思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，但通過(guò)命題人的巧妙包裝，學(xué)生不知所措.當(dāng)然，學(xué)生只要識(shí)破其表象，就能輕而易舉地解決.不過(guò)從問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式上創(chuàng)新命制試題，包裝的度要把握適中，否則就失去了試題的考查功能，這也是命題人所要規(guī)避的.

4　從學(xué)生的探究實(shí)踐活動(dòng)命制試題

綜合考查學(xué)生探究能力、思維能力及情感態(tài)度價(jià)值觀.

例7已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的2條直線l1，l2分別交C于點(diǎn)A,B，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P,Q.

1)若點(diǎn)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ;

2)若△PQF的面積是△ABF面積的2倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅲ卷第20題)

即

(a-b)(ab+1)=0.

圖2

kFQ=kAR，

故

AR∥FQ.

2)如圖2所示，設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)D(x0,0)，則

依題設(shè)可得

又a≠b且ab≠0，從而x0=0(舍去)或x0=1，因此，直線AB過(guò)定點(diǎn)D(1,0).

y2=x-1(其中x≠1).

當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，E(1,0)的坐標(biāo)滿足y2=x-1，故AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-1.

點(diǎn)評(píng)從學(xué)生的探究實(shí)踐活動(dòng)命制試題，目的是考查學(xué)生的探究能力、思維能力及情感態(tài)度價(jià)值觀，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).例7的第2)小題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，而動(dòng)點(diǎn)軌跡是曲線的方程章后閱讀材料及探究實(shí)踐內(nèi)容，新課標(biāo)明確要求學(xué)生會(huì)用待定系數(shù)法求直線及標(biāo)準(zhǔn)位置圓錐曲線的方程，因此解析幾何考題的第1)小題命題人常設(shè)計(jì)為求標(biāo)準(zhǔn)位置圓錐曲線的方程問(wèn)題.該題中命題人打破慣例考查求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并且設(shè)計(jì)了l1,l2不與x軸重合及直線AB過(guò)定點(diǎn)的隱含條件，從新課標(biāo)要求看確實(shí)是難題.無(wú)獨(dú)有偶，2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅰ卷第12題、理科Ⅱ卷第7題均考查了三角函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，而三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性是教材要求學(xué)生自主探究、思考交流內(nèi)容.命題人在課標(biāo)與自主探究實(shí)踐的接合處命制試題，其表象陳舊實(shí)則創(chuàng)新，對(duì)學(xué)生具有殺傷力，應(yīng)引起師生的高度關(guān)注.

綜上所述，2016年高考創(chuàng)新題，以能力立意，回避了套路題型，降低了運(yùn)算量，加大了思維量，突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和能力的深度考查.命題的素材源于教材例習(xí)題(或教材例習(xí)題的變式)，命題的思路從主干知識(shí)的交匯點(diǎn)處拼接代換、改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式、在課標(biāo)與自主探究實(shí)踐的接合處設(shè)計(jì)試題，加大了思維能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查，突出考查主要數(shù)學(xué)思想方法(如數(shù)形結(jié)合法、分類討論法)[3].這就提醒我們?cè)诟呷龜?shù)學(xué)教學(xué)中，要回歸教材，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的思維能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和探究能力，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的目標(biāo)意識(shí)及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，理清解決問(wèn)題方法的來(lái)龍去脈，摒棄輕分析重結(jié)果以及生硬地、直接地灌輸式教學(xué)法，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性和深刻性，這不僅有利于決勝高考，而且對(duì)學(xué)生終身發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義.

[1]何元國(guó)．2013年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題難在何處[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(8)：46-48.

[2]徐世白．2013年浙江省《考試說(shuō)明》樣卷與高考真題對(duì)比分析暨2014年高考展望[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(5)：34-37.

[3]傅瑞琦．基于教材感悟思想導(dǎo)向思維——一道源于教材的中考試題命題的實(shí)踐與思考[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(3)：41-44.

?2016-06-12；

2016-07-12

何元國(guó)(1966-)男，陜西洋縣人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：解題技巧與數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)10-38-04