習題變式教學在思維對話中進行*

●郭建華

(南京市第二十九中學　江蘇南京　210036)

●于　健

(金陵中學　江蘇南京　210005)

?

習題變式教學在思維對話中進行*

●郭建華

(南京市第二十九中學江蘇南京210036)

●于健

(金陵中學江蘇南京210005)

通過課本習題的輻射功能，讓課本習題充分起到“鞏固基礎知識、提煉解題方法、發展思維的載體”的作用.通過思維對話的形式，調動學生的主觀能動性，激活其原有認知結構中適當的觀念和感性經驗，調動學生有意義的學習心向，讓變式教學更具有價值和意義.

習題變式；對話交流；發展思維

著名數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”數學課堂教學中的變式教學，就如同波利亞所說的蘑菇.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理地轉化，即教師可不斷更換命題中的非本質特征，變換問題中的條件或結論，轉換問題的內容和形式，配置實際應用的各種環境等，但應保留問題中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性.通過變式教學的探究，在思維對話中充分調動學生學習數學的主觀能動性，引導學生主動參與探究，從而達到發展學生數學思維的目的.

課本中的習題不僅僅是鞏固基礎知識、提煉解題方法、發展思維能力的載體，如果我們對它們進行認真研究，那么這些習題還可作為探究教學的重要資源.筆者嘗試從課本習題入手，并結合數學探究教學作了初步探究.

下面以蘇教版高中數學必修1第3章復習題第14題(第111頁)教學為例.

題目[1]若關于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2個實根α,β滿足0<α<1<β<2，求實數t的取值范圍.

1　分析解法，深化理解

生1：先求出方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2個實根：

再結合2個實根α,β滿足0<α<1<β<2，求出實數t的取值范圍.

師：如何判斷2個實根x1,x2的大小呢？

生1：令f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，由f(0)=4>0，得t>0，從而x1

解得

師：有沒有其他解法?

生2：利用二次方程區間根的分布，結合二次函數圖像求解，設f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，因為f(0)=4>0，且方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2個實根分別在區間(0,1)和(1,2)上，得

從而

評注此題重在研究一元二次函數、一元二次方程與一元二次不等式3個二次之間的關系，屬于中等難度，考查一元二次方程根的分布問題．解法2明顯優于解法1，解法1完全從代數的角度思考問題，但不等式的求解較為復雜．解法2借助于數形結合的思想，利用二次方程區間根的分布求解，此解法不但擺脫了思維定式的影響，而且達到了優化思維和簡化運算的目的.

2　關注變式，提升能力

在習題教學過程中，教師要善于捕捉一些典型習題的求解信息，以及關注習題的變式教學和探索，溝通數學知識與技能、數學思想與方法的縱橫聯系.這樣不僅能極大地激發學生學習數學的興趣和熱情，而且更有利于學生分析問題、解決問題能力的提升.

2.1改變條件，激活探究思維

變式1設函數f(x)=3tx2+(3-7t)x+4(其中t<0)的2個零點x1，x2，且在區間(x1,x2)上恰有3個正整數，求實數t的取值范圍.

生3：其實該題考查的還是3個二次之間的關系，可以利用二次方程區間根的分步求解.

師：二次方程的根是如何分布的?

解得

師：很好，生3通過深刻理解題意，迅速找到了區間根滿足的條件.

評注此解法體現了方程的根與函數零點的聯系，以及辨別問題與問題之間的區別和聯系.培養學生的解題應變能力，注重引導學生從“形”的角度進行思考，抓住“在區間(x1,x2)上恰有3個正整數”這個條件，觀察其圖像的結構特征，利用數形結合思想再將其轉化為二次方程區間根的分布問題.

2.2改造命題，深化探究意識

變式2已知函數f(x)=lg[3tx2+(3-7t)x+4]的值域為R，求實數t的取值范圍.

解得

師：對生4的解法有無異議？

生5：老師，他求解的應該是定義域為R時t的范圍，故答案不正確.

(其他學生也贊同生5的說法.)

師：很好，那么對值域為R時應該怎么求解呢？

生6：老師，我是這樣想的:令μ(x)=3tx2+(3-7t)x+4，由對數函數的性質可知：要使μ(x)能取到一切正實數，才能滿足值域為R.當t=0時，顯然滿足題意，當t≠0時，

生7：老師，我有個困惑，為什么要使函數μ(x)能取到一切正實數呢？

(筆者觀察了一下，有一部分學生也存在這樣的疑惑.)

師：這個問題問得好，誰來幫助他解決一下.

生8：由于函數y=lgx(其中x>0)的值域為R，當且僅當x能取到一切正實數，否則值域不為R，即μ(x)能取到一切正實數，函數μ(x)的圖像與x軸恒有交點.若μ(x)的圖像與x軸沒有交點，則

即

(此時，教室里響起一片掌聲.)

評注將命題改造，體現知識和方法的縱橫聯系和靈活運用.依據學生的思維特點，對命題進行恰當的變式，不但調動了學生學習數學的主觀能動性，還能進一步深化對知識的理解和對解法的探究.2.3變存在型，增強探究能力

變式3已知函數f(x)=3tx2+(3-7t)x+4(其中t>0).是否存在整數a,b(其中a,b是常數，且a

生9：假設存在滿足題意的a，b,則必有f(x)min≥a.

師：你是如何判斷f(x)min≥a？

生9：否則，不等式a≤f(x)≤b的解集是2個關于對稱軸對稱的區間的并集，與題意矛盾.

師：很好，那么如何求解呢？

生10：不等式a≤f(x)≤b的解集為{x|a≤x≤b}等價于

由f(b)=b，得

(1)

因為a,b∈Z，所以

(2)

由式(2)得

且t>0，故t=3.將t=3代入式(1)，得

9b2-18b+4=0，

綜上可知，不存在整數a，b,使得關于x的不等式a≤f(x)≤b的解集為{x|a≤x≤b}.

評注求解存在性問題，首先假設存在，再根據題意求解.本題的二次不等式a≤f(x)≤b不是被解出來的，而是通過觀察、思考二次函數的圖像分析出來的，這正是“多思少算”思想的應用，也是高考考查學生分析、解決問題能力的一個重要方向，而這種能力在一定意義上講比數學知識和技法更重要.要想培養這種能力，必須具有堅實的基礎知識和掌握解決問題的相關技巧和方法.

2.4反客為主，掌握探究方法

變式4已知t∈R，函數f(x)=3tx2+(3-7t)x+4,當t∈[1,2]時，f(x)>0恒成立，求實數x的取值范圍.

生11：已知t的取值范圍，可以將函數f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，改為關于變量t的函數g(t)=3tx2+(3-7t)x+4求解.

師：很好，那么如何求解呢？

生11：由g(t)=3tx2+(3-7t)x+4=(3x2-7x)t+3x+4，轉化為關于變量t的一次函數，即當t∈[1,2]時，g(t)>0恒成立，得

師：非常棒！解題簡捷、美觀、迅速，可見方法的選擇對解題是非常關鍵的.

評注此類型的問題主要考查學生處理問題的機智變通能力.實際上是考查多元不等式的恒成立問題，關鍵要掌握該類問題的解法.該題以t為主元，轉化為求一次函數的最小值大于0恒成立的問題，其優點是一次函數比二次函數更容易求解．由此可以看出，在含有2個或2個以上字母的問題中，首先要根據題意適當選取其中一個作為主元，而其余的作為輔元，區分主次，抓住問題的要害，將復雜問題簡單化；然后再通過合理構造函數，轉化為求函數的最值問題.很多多元不等式問題都可以巧妙地構造輔助函數求解，使得原本撲朔迷離的問題變得直觀明了，變得可程序化.因此在教學中應該重視這種方法的引導和滲透，同時還要加強訓練，及時歸納總結，才有利于方法的掌握和運用[2]．

3　教學感悟

3.1運用變式教學調動學生學習的主動性

學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的其他方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程[3].在新課程理念指導下對習題的變式教學，不但要增強課本習題的輻射功能，而且還要有效改變學生被動接受知識的局面，激發學生學習的主動性.借助于一題多用、多題重組等方式設計變式問題，不僅具有豐富的背景知識，而且滲透著明確的信息意圖.變式教學是一種思維對話的學習形式，應不斷追求立足于教材、喚發自主、善待差異、體現學生的主體地位，調動學生的主觀能動性，激活其原有認知結構中適當的觀念和感性經驗，調動起學生有意義的學習心向，從而產生主動參與學習的動力，在思維對話中讓變式教學更具有價值和意義.

3.2運用變式教學培養學生思維的深刻性

在習題教學過程中，應引導學生從不同的視角對原問題進行變式探究，拓展學生的知識視野和增強學生的探究意識.要想通過變式教學培養學生思維的深刻性，必須引導學生在思維對話中對變式問題不斷反思，不但要對知識層面反思，而且要對知識形成過程反思；不但要對解決問題的途徑和方法反思，而且要對蘊藏在現象背后的實質反思，意識到尋常現象中的非常之處.同時在變式教學探究過程中還需要師生分享彼此的思考、經驗和知識，交流彼此的情感、體驗與觀念，豐富教學內容，求得新的發現，從而使變式教學在思維對話中成為一個發展的、增值的、生成的過程.

顧泠沅先生說過：變式教學也是不斷發展和變化著的，我們要用發展的眼光來看變式教學，要做到更新問題背景、更新知識考點、更新問題發展方向的研究，最重要的是更新教師的教學觀念，這樣的教學才是有效的．因此，教師要不斷更新觀念，真正成為學生學習的引導者，通過習題變式教學，不僅使學生所學的知識達到融會貫通，而且讓學生在習題變式探究教學中增強學習的信心、體驗成功的快樂和感受數學的魅力.更重要的是通過思維對話，讓學生釋放出無窮的智慧，在共享中得到升華．

[1]單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學1(必修)[M].蘇州：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

[2]郭建華.例談解題中“輔助元”的構造[J].高中數學教與學，2014(11)：22-24.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

?2016-04-27；

2016-06-03

江蘇省教育科學“十二五”規劃課題(D/2013/02/445)

郭建華(1982-)，男，安徽宿州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)10-06-04