Hahn—Banach定理的幾個應用

趙暢

【摘要】 Hahn-Banach定理，作為泛函分析三大基本定理之一應用廣泛.本文介紹該定理的內容，并初步探討其推論及其在泛函的延拓的應用.

【關鍵詞】 Hahn-Banach定理；泛函分析；延拓；應用

一、引 言

Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理.它的重要性不僅作用在建立Banach空間理論體系，而且還解決許多問題.下面探討應用到定理的實際問題.

二、 定理的介紹

定理1 設G是賦范線性空間X的線性子空間，對于G上任一有界線性泛函f，可以作出X上的有界線性泛函F，使其滿足：（i）當x∈G時，F（x） = f（x）；（ii）||f||G = ||F ||.

定理2 設G是賦范線性空間X的線性子空間，P（x）是X上的擬范數，對于G上任何一個給定的線性泛函f，滿足條件k = |f（x）|<∞時，f必可延拓為E上的線性泛函F，且滿足|F（x）| = k.

三、定理的應用

（一） 推導定理的推論

推論1 設E是賦范線性空間，則對任何x0∈E，x0≠θ，必存在E上的有界線性泛函f，滿足

（i）f（x0） = ||x0||，（ii）||f|| = 1.

證明：把定理中的G取為{θ}，有d = ρ（x0{θ}） = ||x0||，于是存在E上的有界線性泛函f滿足（i），（ii）.

推論2 設E是賦范線性空間，則對于任何x0∈E，有||x0|| = |f（x0）|.

證明：設f∈E*，且||f|| = 1于是|f（x0）| ≤ ||f||·||x0|| = ||x0||，由此得到 |F（x0）| ≤ ||x0||.

另外對x0∈E，不妨設x0 ≠ θ（否則推論顯然成立），根據推論1，存在著f1∈E*，||f1|| = 1，并且f1（x0） = ||x0||，有|f（x0）| ≥ ||x0||. 結論得證.

（二）解決延拓問題

延拓問題是研究定義在給定集X的一個子集A上的某數學對象能否擴充到整個集X上，并保持對象的基本性質.Hahn-Banach泛函延拓定理保證賦范線性空間上具有充分多有界線性泛函及線性泛函的取值可先指定，且為共軛空間提供必需理論.

例1 設X為賦范線性空間，x，y∈X.若？坌f∈X*，恒有f（x） = f（y），證明x = y.

證明 用反證法.設x ≠ y，則x - y ≠ θ，依據定理，必存在f∈X*，使得f（x - y） = ||x - y|| ≠ 0，從而f（x） ≠ f（y），與題設矛盾.故必有x = y.

例2 P是定義在賦范線性空間X上的一個次線性泛函，證明：X上存在一線性泛函F，使得-P（-x） ≤ F（x） ≤ P（x）.

證明 設P是定義在賦范線性空間X上的一個次線性泛函，Z = {x∈X|x = αx0，α∈R}，x0∈X是一固定元素，在Z上定義泛函f為f（x） = αP（x0）.不難證明f是Z上的線性泛函：對于x = αx0，y = βx0有

f（x + y） = f[（α + β）x0] = （α + β）P（x0） = αP（x0） + βP（x0） = f（x） + f（y），f（cx） = f（cαx0） = cαf（x0） = cf（x），c∈R.

所以，f是Z上的線性泛函. 當α ≥ 0，有f（x） = αP（x0） = P（x）；

當α < 0，又0 = P（θ） = P（-x + x） ≤ P（x） + P（-x），有P（-x） ≥ -P（x），

又f（x） = αP（x0） ≤ -αP（-x0） = P（αx0） = P（x），因此f（x） ≤ P（x）. 應用定理得X上的線性泛函F滿足F（x） ≤ P（x）.故：-P（-x） = F（-x） ≤ P（-x） ？圯 -P（-x） ≤ f（x）.得證.

（三）證明其他定理

定理3 設G是賦范線性空間E的子空間，x0∈E，并且d = ρ（x0，G） > 0，則存在E上的有界線性泛函f，滿足：（i）f（x） = 0，當x∈G； （ii）f（x0） = d；（iii）||f|| = 1.

證明 令G1 = span{x0∪G}，由ρ（x0，G） > 0，故x0G，因此G中的任一元素y可唯一表示為

y = αx0 + x（x∈G，α為常數）.

在G1上定義泛函g：g（y） = g（αx0 + x） = αd（y∈G1），g是線性的，滿足（i），（ii）.任取y = αx0 + x∈G1，不妨設α ≠0，則|g（y）| = |α|ρ（x0，G） ≤ |α|x0 + = ||αx0 + x|| = ||y||，

故g是有界的且||g|| ≤ 1.因此g是G1上滿足條件（i），（ii）的有界線性泛函，根據定理，在E上存在有界線性泛函f滿足（i），（ii），且||f|| = ||g||G ≤ 1.由引理得||f|| ≥ = = 1.

（引理 設G是賦范線性空間E的子空間，x0∈E，ρ（x0，G）是x0到G的距離，f是E上的有界線性泛函，并且在G上取值為零，則|f（x0）| ≤ ||f||ρ（x0，G）.）

四、小 結

Hahn-Banach定理本身有研究價值，其應用也十分廣泛.本文運用Hahn-Banach定理研究其推論、延拓問題及對其他定理的證明.該定理研究空間還很大，本文研究還不全面.

【參考文獻】

[1]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社，2011：106-126.

[2]江澤堅，孫善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2005：79-93.