高中數學導函數恒成立與構造函數教學實踐研究

陳昊

摘 要：在高考試卷中，以導函數恒成立與構造函數類試題是高中生感到頭疼的一大難點，因試題具有較強綜合性、嚴謹性和靈活性，成為解題過程中的難點，也是考試中的一類難題。但是，導函數恒成立與構造函數內容也存在著一定規律，廣大數學教師要幫助學生學習、探究其中的規律和技巧，加強對內容的理解程度，就能一步步地找到試題背后解題規律。在本文中，筆者以導函數恒成立與構造函數教學為例，探討如何在新課改背景下開展導函數恒成立與構造函數的教學實踐，希望對大家有所幫助。

關鍵詞：高中數學;導函數恒成立與構造函數;教學實踐

在多年教學經驗中，筆者發現導函數恒成立與構造函數對學生來說是容易出現失分的主要內容，主要表現為理解困難、做題找不到思路，因此，開展導函數恒成立與構造函數教學時要從師生共同探究、滲透數學思維和加強運算能力三部分開展數學教學，幫助班級學生深入理解和掌握數學知識，進而發展數學核心素養。

一、師生共同研究

在以導函數恒成立與構造函數中，教師在課堂中要做好數學教學準備，一方面要根據班級實際學情和教材特點來設計教學內容，創新傳統教學方法，運用新式數學教學手段，激發班級學生的探究欲望。隨著新課改的深入進行，課堂教學重點不再只是重視知識傳授，更重要在于綜合能力培養。新課改教學標準要求高中數學教學要培養高中生數學思維能力，師生共同探究來求取問題答案，進而促進數學能力的有效發展。

在數學課堂教學中，筆者會先為學生講解試題思路，再引導他們運用思路解答問題，導函數恒成立與構造函數解題思路為構造函數，或參數變量分離后構造函數，轉化為求新函數的最值問題。如，已知函數f（x）=x2+2x+alnx，當t>1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數a的取值范圍。在學習解答思路后，學生會先嘗試獨立求解試題。解析：不等式f（2t-1）≥2f（t）-3化為2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1），即，2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1），記g（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需使g（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數即可，運用求導公式進行求解。在班級學生訓練過程中，筆者在課堂中來回巡視，幫助解題困難學生捋順思路，使其能夠順利求出問題答案。師生共同探究使得學生能夠了解求解思路，掌握解題規律。

二、滲透數學思維

在日常數學教學中，學生常常抱怨，上課聽教師講課很明白，但自己解題時總感到困難重重、無法下手，這并不是問題難以解答導致無法解決，而在于思維方式與具體問題解決存在差異，導致高中生數學思維存在障礙，課堂注重滲透數學思維能夠有效消除障礙，成為數學教師課堂教學的重點。面對“導函數恒成立與構造函數”類試題，扎實的基礎、熟練的解題方法是保障學生取得高分的重要手段，其中“等價轉化”起到了重要作用。等價轉化不是化簡，很多時候是“化繁”，根據解題需要而言;等價轉化不同于定理，公式，它沒有固定的用法，是高中生在正常解題無法繼續下去時，采取把問題等價轉化為另一個不同問題的辦法。

下面就一道導數恒成立問題來探討什么是等價轉化，以及等價轉化的巨大作用。如，已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2，對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g’（x）+2恒成立，求實數a的取值。解：g’（x）=3x2+2ax-1，不等式為：2xlnx-3x2+2ax-1≤0，令k（x）=2xlnx-3x2+2ax-1，然后求出k（x）的最大值（先求單調區間）。一拿到試題，學生要思考如何求解試題，在嘗試解法后發現要是按照不等式來做很難解答。面對這一情況，教師引導學生移項方式轉化為求k（x）的最大值的問題，簡化了求解思路，進而快速解出問題答案。從整個解題方面來看，本題困難和轉折點都在“等價轉化”處，把題干材料中的不等式進行等價轉化，看似無解的難題就變成了容易求解的方程，也體現出等價轉化魅力。在數學教學中，教師要注重以試題來滲透等價轉化思想，提升班級學生的解題能力。

三、發展運算能力

在數學考試中，運算能力對學生成績起到了非常重要的作用，可以說，運算能力的高低在很大程度上直接決定著成績的好壞。實際上，每次看到學生因運算失誤而失分感到無比遺憾。在數學教學之余，學生普遍反映運算過程繁瑣、錯誤率高，往往因為“粗心”和“馬虎”造成運算錯誤，在很多時候出現“思路對、結果錯”的現象，究其原因，在于運算能力較差。導函數恒成立與構造函數知識點要求學生具有較高運算能力，因此，數學教師要重視培養高中生運算能力。

近年來，高考試題加大了對學生數學運算能力的考察，同時，運算能力也成為數學核心素養的重要組成部分。面對這一情況，筆者從以下方面來提升班級學生在導函數恒成立與構造函數知識方面運算能力：（1）引導學生掌握數學概念，在理解基礎上進行記憶，加深對運算過程的理解和掌握;（2）很多情況下，學生出現錯誤是由于計算技能出現錯誤，每次考試后，按照要求來重新分析試題，挖掘錯誤本質，避免下次考試中再犯類似錯誤;（3）做完試題后，學生需進行認真檢查，看題干材料、運算順序、數字字母是否出現錯誤，避免出現結果錯誤。

總之，教師要開展高中數學導函數恒成立與構造函數教學實踐不妨從共同探究、滲透思想和提升運算能力入手，注重培養高中生數學核心素養，發展個體綜合能力，有效提升數學學習成績。

參考文獻

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