自同構(gòu)群階為8p12p22…pn2的有限冪零群

曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 馬 麗

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自同構(gòu)群階為8p12p22…pn2的有限冪零群

曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 馬 麗

有限群G的結(jié)構(gòu)是群論研究的熱點(diǎn)。本文討論自同構(gòu)群的階為8p12p22…pn2的有限群，并得到它們的同構(gòu)分類。

自同構(gòu)群 循環(huán)群 冪零群

Iyer證明了對(duì)于給定有限群G至多包含有限個(gè)X滿足方程Aut（G）=X，同樣的結(jié)論對(duì)方程Aut（G）=n（n為任意固定的正整數(shù)）成立。 Machale和Flannery提出|Aut（G）|=pn（1≤n≤4）及pq有限群的構(gòu)造，并證明了不存在自同構(gòu)群階為p5、p6、p7的交換群（p為奇素?cái)?shù)）。陳貴云提出自同構(gòu)群的階為p1p2…pn和pq2的有限群的構(gòu)造。李世榮教授解決了自同構(gòu)群階為p2q2的有限群的分類。杜妮和李世榮教授給出自同構(gòu)群階為滿足4pq的有限群的分類。其中，陳貴云教授等人給出了自同構(gòu)群的階為4p1p2…pn的有限群的完全分類。

以此為基礎(chǔ)，本文的主要目的是討論具有8p12p22…pn2階自同構(gòu)群結(jié)構(gòu)，給出滿足此條件的有限冪零群的同構(gòu)分類。

本文考慮的群均為有限群，所有未經(jīng)說(shuō)明的記號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的。另外，Zn表示n階循環(huán)群，Zp×Zp表示p2階初等交換p-群。

一、預(yù)備引理

引理1.1：設(shè)G為pn階初等交換p群， 則|Aut（G）|=|Gl（n，p）|=（pn-1）（pn-p）…（pn-pn-1）。

引理 1.2：設(shè)G為pn階循環(huán)群， 則|Aut（G）|=pn-1（p-1）。

引理 1.3：設(shè)G=G1×G2×…×Gn，其中（Gi，Gj）=1（i≠j），則。

引理 1.4： 設(shè)P是一個(gè)非循環(huán)p群，|p|〉p2. 若|p/z（p）|≥p4，則|P|||Aut（p）| p2。

引理 1.5： 設(shè)P是m階冪零群，m=2ap1a1p2a2…pnan，p1〈p2〈…〈pn是奇素?cái)?shù)，a＞0，ai＞1。若群G的Sylow-pi-子群循環(huán)，Sylow-2-子群循環(huán)或同構(gòu)于Z2×Z2. 則2n||Aut（G）|，且當(dāng)a＞1時(shí)，2a+n-1||Aut（G）|。

二、主要結(jié)果及其證明

假設(shè)G是冪零群，且|Aut（G）|=8p12p22…pn2，則有G= T×Q1×Q2×…×Qs，其中T為G的Sylow-2-子群，Qi為G的Sylow-qi-子群，q1、q1、…qs是|G|的所有不同的素因子。由引理1.3知：|，即|。

令|T|=2m，|Qi|=qini，則有下面兩個(gè)引理：

引理2.1 Qi循環(huán)且ni≤3（i-1，2，…s）。

證明：若存在某個(gè)Qi非循環(huán)，不妨假設(shè)Q1非循環(huán)，則Q1≥q12。如果|Q1|=q12，則Q1=Zq1×Zq1。由引理1.1可以知道，|Aut（Q1）|=|GL（2，q1）|=q1（q1+1）（q1-1）2。于是得出24||Aut（G）|，矛盾。所以|Q1|≥q13。又|Q1/ZQ1|||Q1（Z（G）∩Q1|=|Inn（G）||8p12p22…pn2， 所以|Q1/ZQ1|≤q2。根據(jù)引理1.4知，|Q1|||Aut（Q1）|||Aut（G）|，即q13||Aut（G）|，矛盾。所以Qi循環(huán)，進(jìn)一步由引理1.2知，|Aut（Qi）|=qini-1（qi-1）|8p12p22…pn2，所以ni≤3。

引理2.2 T循環(huán)且|T|≤24，或 T≌Z(yǔ)2×Z2

證明：若T循環(huán)，假設(shè)|T|=2m，則|Aut（T）|=2m-1，所以m≤4。如果m=4， 即|T|=16，則|Aut（T）|=23，此時(shí)G =T矛盾，所以|T|≤23。

若T非循環(huán)，假設(shè)|T|≤23，根據(jù)|T/Z（T）|||Aut（T）|||Aut （G）|知|T/Z（T）|≤23。 根據(jù)引理1.4 知，|T||8p12p22…pn2，所以|T|≤23，假設(shè)T是8階非循環(huán)群，則一定有8||Aut（T）|迫使G=T，但檢查8階非循環(huán)群的自同構(gòu)群知，均不滿足定理假設(shè)，所以|T|≤22， 即 T≌Z(yǔ)2×Z2。

定理 1：設(shè)G是有限冪零群，p1、p2…pn是奇素?cái)?shù)，|Aut（G）|=8p12p22…pn2。那么，當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)于下列群之一：

證明：我們按照下述3種情形來(lái)證明：

情形1：當(dāng)T=1時(shí)。

此時(shí)，G=Q1×Q2×…×Qs，且由引理2.1知Qi（1≤i≤s）是循環(huán)群。進(jìn)一步由引理1.5知2s||Aut（G）|，于是s≤3。

當(dāng)s=1時(shí)，有G=Q1。根據(jù)引理1.2知 ：|Aut（Q1）|=

所以可得，當(dāng)n1=1，。n1=3時(shí)，q1。因此可得或。

當(dāng)s=2時(shí)，G=Q1×Q2。由于|Aut（Q1）|×|Aut（Q2）|=即。因此可得到G≌Gi（3≤i≤7）。

當(dāng)s=3時(shí)，有G≌Q1×Q2×Q3。

由于|Aut（Q）|×|Aut（Q）|×|Aut（Q）|=8p2p2…p212312n

因此可得到G≌Gi（8≤i≤16）。

情形2：當(dāng)T循環(huán)且T≥1時(shí)。

此時(shí)記H=Q1×Q2×…×Qs，則G=T×H.令|T|=2a，由引理1.5知，2a+s-1||Aut（G）|，所以a+s-1≤3，進(jìn)一步由引理2.2知，1≤a≤3， 從而得s≤3。

當(dāng)a=1時(shí)，則有|Aut（T）|=1，于是|Aut（G）|=|Aut （H）|，因此 H≌Gi（1≤i≤16）， 即G≌Z(yǔ)2×Gi。

當(dāng)a=2時(shí)，則有|Aut（T）|=2，于是|Aut（H）|=

當(dāng)s=2時(shí)，G≌Gi（35≤i≤39）。

當(dāng)a=3時(shí)， 則 有|Aut（T）|=4， 于 是|Aut（H）|=

情形3： 當(dāng)T非循環(huán)時(shí)。

此時(shí)由引理2.2知，T≌Z(yǔ)2×Z2時(shí)，進(jìn)一步根據(jù)引理1.1知，|Aut（T）|=2×3，所以，于是。

再由引理1.5知s≤2。

當(dāng)s=1時(shí)，G≌Z(yǔ)2×Z2×Z12 p22…pn2或Z2×Z2×Z （12 p22…pn2+1）3

當(dāng)s=2時(shí)，G≌Gi（44≤i≤48）。

至此定理證畢。

［1］ Iyer.H.K. On solving the quation Aut（X）=G［J］.Roky Mountain J. Math，1979

［2］ Flannery D，Machale D. Some finite groups which are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc. Royal Irish Acad，1983

［3］ Machale D. Some finite groups which are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc. Royal Irish A cademy，1981

［4］陳貴云.自同構(gòu)群的階為p12p22…pn2或pq2的有限群［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1990

［5］李世榮.具有p2q2階自同構(gòu)群的有限群［J］.數(shù)學(xué)年刊，2001

［6］杜 妮，李世榮.具有4pq自同構(gòu)群的有限群［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004

［7］孟 偉，婁本功，盧家寬.具有4p2q階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009

［8］孟 偉，李春琴.具有8pq階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011

［9］Meng. W，Lu.J.K，Chen.K.L. Finite nilpotent groups with automorphism group of order 8p2q2［J］.South Asian Journal of Mathematics，2011

［10］夏巧珍，陳貴云，張 紅.自同構(gòu)群階為4p1p2…pn的有限群［J］.中國(guó)科學(xué)（數(shù)學(xué)），2012

［11］馬 麗.2倍素?cái)?shù)冪階點(diǎn)傳遞局部本原圖［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015

ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0259