簡證任意閉合電流線圈在勻強磁場中所受安培力為零

李 力

(重慶市清華中學　重慶　400054)

張貴華

(重慶市實驗中學　重慶　401320)

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簡證任意閉合電流線圈在勻強磁場中所受安培力為零

李 力

(重慶市清華中學重慶400054)

張貴華

(重慶市實驗中學重慶401320)

在中學物理教學中，常見如下問題：如圖1所示，求垂直勻強磁場放置的三角形a或圓形b電流線圈所受的安培力.根據矢量求和以及對稱性，不難求出安培力的合力為零.有學生和教師進一步問及：如圖1，任意形狀的平面通電線圈c，所受安培力是否為零？如果仍然為零，怎樣證明？

圖1

在大學普通物理教學中對此問題也有論述.例如在文獻[1]中，先對矩形線圈證明了安培力為零，然后對任意形狀的平面線圈，在線圈平面與磁場平行的情況下(如圖2)，用微元法證明了這個結論.同時文獻[1]還指出：“讀者可以證明，對于線圈平面與磁場垂直的情況，整個線圈所受的合力為零”，但沒有給出其具體證明過程，更沒有給出磁場與線圈平面斜交時安培力合力為零的證明.

事實上，從本文即將給出的兩個非常簡明而且一般性的證明方法可以看出，此結論不但跟線圈的形狀無關，還與線圈在磁場中放置的方位無關，甚至同線圈是否為平面線圈無關，僅需線圈閉合即可，可以完整地表述如下.

圖2

定理：在勻強磁場中的任意閉合電流線圈，無論形狀、放置方位如何，以及是否為平面線圈，其所受的安培力都等于零.

證明1：在空間直角坐標系O-xyz中，線圈上線元矢量dl=(dx,dy,dz)，設B=(Bx,By,Bz)，則線元所受安培力

其z分量寫為

dFz=(Idl×B)z=I(Bydx-Bxdy)

沿閉合線圈L積分，注意到磁場處處相同，可以把常量I,By,Bx從積分號內提取出來，所以有

Fz=∮LdFz=I∮L(Bydx-Bxdy)=

I(By·∮Ldx-Bx·∮Ldy)=

I(By·0-Bx·0)=0

倒數第二步是因為沿任意閉合曲線一圈，終點回到起點，總有

∮Ldx=∮Ldy=0

同理可得安培力其余兩個分量

Fx=Fy=0

從而F=0.

證明2：因為I,B都是常量，故

F=∮LdF=∮L(Idl×B)=

I(∮Ldl)×B=I·0×B=0

其中∮Ldl=0是由于線圈閉合，全部線元矢量和為零的緣故.

最后順便指出，雖然在勻強磁場中閉合電流線圈所受安培力為零，但其所受安培力的力矩一般不為零；另外，如果將閉合電流線圈置于非勻強磁場中，它所受的安培力一般也是不等于零的.

1趙凱華,陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(第2版).北京：高等教育出版社,2006.136,137

2016-04-22)