當(dāng)逐差法遇上奇數(shù)段位移時(shí)數(shù)據(jù)該如何取舍

李研海

(吉林省永吉實(shí)驗(yàn)高中　吉林 吉林　132200)

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當(dāng)逐差法遇上奇數(shù)段位移時(shí)數(shù)據(jù)該如何取舍

李研海

(吉林省永吉實(shí)驗(yàn)高中吉林 吉林132200)

利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求加速度，當(dāng)逐差法遇上奇數(shù)段位移時(shí)，如何取舍數(shù)據(jù)，本文進(jìn)行了大膽的猜想與探究，并提出新的主張.

逐差法奇數(shù)壞數(shù)據(jù)

1　問題提出

利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求加速度，在高中階段通常有算術(shù)平均值法、逐差法和圖像法.不過，目前在一些教輔圖書中幾乎都采用逐差法，那么，當(dāng)逐差法遇上奇數(shù)段位移時(shí)該如何取舍呢？

所謂逐差法就是分組求差法，在利用逐差法求加速度時(shí)，若紙帶計(jì)數(shù)點(diǎn)間的間隔為奇數(shù)段時(shí)，通常需舍棄一個(gè)數(shù)據(jù)，化奇為偶后再分組求差.究竟舍棄哪個(gè)數(shù)據(jù)卻眾說紛紜，莫衷一是.有人認(rèn)為，應(yīng)去掉首段數(shù)據(jù)(以下簡(jiǎn)稱“去首法”)，理由是首段位移長(zhǎng)度最小，相對(duì)誤差較大；多數(shù)人主張，應(yīng)舍掉中間段位移(以下簡(jiǎn)稱“舍中法”)， 其理由是這樣可以增大測(cè)量量之差.難道舍棄末尾段位移(以下簡(jiǎn)稱“棄尾法”)不行嗎？不同的取舍方法，所得的結(jié)果不盡相同，那么舍棄哪一個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算誤差會(huì)更小，誤差的主要原因又是什么呢？“舍中法”真的最佳嗎？

2　猜想探究

2.1誤差猜想

筆者認(rèn)為“棄尾法”也未嘗不可.究竟哪種方法更準(zhǔn)確，不能一概而論，關(guān)鍵在于舍棄的數(shù)據(jù)是否是“壞數(shù)據(jù)”.

值得注意的是，雖然都是利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求加速度，但是不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊鹫`差的原因是不同的.例如“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)，誤差主要來源于位移s的測(cè)量，無需考慮阻力的大小，因?yàn)樗乔笪矬w在合外力作用下的實(shí)際加速度.而“用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)重力加速度”實(shí)驗(yàn)，阻力的大小則為誤差的主要來源.無論哪種情形，“壞數(shù)據(jù)”都是造成誤差的罪魁禍?zhǔn)?

那么，壞數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的呢？利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的紙帶求加速度，其誤差主要取決于實(shí)驗(yàn)的偶然誤差大小，而不是數(shù)據(jù)處理方法.研究發(fā)現(xiàn)，影響間接測(cè)量量(加速度)結(jié)果的最主要因素，是有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差過大.在諸多因素(交流電頻率波動(dòng)、長(zhǎng)度測(cè)量、各種阻力等)中，主要是限位孔的阻力，其次是位移測(cè)量的偶然誤差，而交流電頻率波動(dòng)的影響是可以忽略不計(jì)的.因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)過程中，紙帶不可能總保證與限位孔平行順利地通過，紙帶時(shí)常歪斜、扭曲甚至打卷，這勢(shì)必造成阻力不均，使得某些數(shù)據(jù)點(diǎn)偏差過大產(chǎn)生“壞數(shù)據(jù)”，這樣的壞數(shù)據(jù)參與求加速度的運(yùn)算，勢(shì)必造成較大的誤差，倘若舍棄的恰好是壞數(shù)據(jù)，誤差自然會(huì)減小.假如物體所受阻力均勻且無測(cè)量誤差，當(dāng)相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間距離之差Δs為一常量，反映在速度圖像上，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)均在一條直線上，無論用哪種取舍方法，所得結(jié)果都是一致的.

2.2圖像探究

為避免有數(shù)據(jù)編造之嫌，防止以偏概全之疑，現(xiàn)以簡(jiǎn)便直觀的v-t圖像做一般分析，因?yàn)閳D像法的線性擬合既有取平均值的效果，還有助于剔除壞數(shù)據(jù).

由圖像不難看出，對(duì)于奇數(shù)個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)， 假如數(shù)據(jù)點(diǎn)4偏離直線很遠(yuǎn)，則采用“舍中法”最好；如果數(shù)據(jù)點(diǎn)1偏離直線很遠(yuǎn)，則采用“去首法”更佳；倘若數(shù)據(jù)點(diǎn)7偏離直線很遠(yuǎn)，則采用“棄尾法”為妙.如果處理數(shù)據(jù)時(shí)剔除的恰好是“壞數(shù)據(jù)”，便可以有效地減小誤差.

圖1

可見，用逐差法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，采用哪種方法計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確，不在于數(shù)據(jù)取舍方法，而取決于舍棄的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否為壞數(shù)據(jù).或許有人會(huì)說，在沒有畫出圖像的前提下，我們并不知道哪個(gè)是壞數(shù)據(jù).的確，這純屬偶然，因此筆者說無論舍中還是棄端(去首、棄尾)均無絕對(duì)優(yōu)勢(shì).

3　筆者之見

3.1數(shù)據(jù)處理

筆者認(rèn)為，對(duì)于紙帶上給出相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間奇數(shù)段位移時(shí)，也可以不舍棄某一數(shù)據(jù)，而利用全部數(shù)據(jù)直接作差.例如給出7個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔為T，位移依次為s1，s2，…，s7，則

s4-s1=3a1T2

s5-s2=3a2T2

s6-s3=3a3T2

s7-s4=3a4T2

由此得

當(dāng)然也可以寫成

可見，前者所有7個(gè)數(shù)據(jù)全部得到了利用，而后者利用了6個(gè)數(shù)據(jù)，與舍中法無異，那么應(yīng)如何測(cè)量數(shù)據(jù)呢？

3.2測(cè)量問題

對(duì)于打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶的數(shù)據(jù)測(cè)量可有3種方法：

一是起點(diǎn)測(cè)量，即一次性測(cè)量計(jì)數(shù)起點(diǎn)到其他各計(jì)數(shù)點(diǎn)的距離，設(shè)紙帶上計(jì)數(shù)起點(diǎn)到其他各計(jì)數(shù)點(diǎn)的距離依次為d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，由此可求出相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的位移為

s1=d1

s2=d2-d1

s3=d3-d2

s4=d4-d3

s5=d5-d4

s6=d6-d5

s7=d7-d6

二是逐段測(cè)量，就是依次測(cè)出相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的位移s1，s2，…，s7，出于計(jì)算的方便和減小相對(duì)誤差考慮，一般不主張用此法測(cè)量.

三是兩段測(cè)量，亦即直接測(cè)出前后兩大段位移，如上例的(s7+s6+s5)與(s3+s2+s1)或(s7+s6+s5+s4)與(s4+s3+s2+s1)，后者中s4似乎不起作用，但是這樣可以增大測(cè)量量進(jìn)而減小測(cè)量的相對(duì)誤差.

實(shí)驗(yàn)紙帶的數(shù)據(jù)究竟如何處理，應(yīng)視具體情況而定.如果是自己測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用兩段測(cè)量法最優(yōu)，為了減小測(cè)量誤差，可以多測(cè)幾次取平均值代入公式進(jìn)行計(jì)算.如果是考試做題，則別無選擇，通常都是以起點(diǎn)測(cè)量或逐段測(cè)量形式給出數(shù)據(jù).

大多數(shù)人主張起點(diǎn)測(cè)量法，且認(rèn)為起點(diǎn)測(cè)量法會(huì)減小測(cè)量的相對(duì)誤差.筆者認(rèn)為，這倒未必，關(guān)鍵在于計(jì)數(shù)點(diǎn)的選取，要具體問題具體分析.比如我們要測(cè)量5樓窗戶的高度，沒必要先測(cè)出這個(gè)窗戶的上下沿距地面的高度再作差，更不需將窗戶分成幾段測(cè)量再求和，最好的方法就是直接測(cè)出這個(gè)窗戶上下沿的距離.

3.3創(chuàng)新主張

多數(shù)人認(rèn)為，用逐差法求加速度，數(shù)據(jù)能得到充分利用,從而可減小誤差.其實(shí)，數(shù)據(jù)的充分利用并不等價(jià)于數(shù)據(jù)全部參與，也不意味著一定能減小誤差.表面上看，逐差法能充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，那是對(duì)逐段測(cè)量而言的，若采用起點(diǎn)測(cè)量，其實(shí)它也只利用了2～3個(gè)數(shù)據(jù)而已.筆者認(rèn)為，就求加速度而言，兩段測(cè)量法最優(yōu)，即便是逐差法遇上奇數(shù)段位移，也無需舍棄數(shù)據(jù).當(dāng)然，起點(diǎn)測(cè)量法和逐段測(cè)量法除了能求加速度外，還可以判斷物體是否做勻變速運(yùn)動(dòng)及求出各計(jì)數(shù)點(diǎn)的速度.

當(dāng)紙帶上給出相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的位移為奇數(shù)段形式，欲利用逐差法計(jì)算加速度時(shí)，無論舍中與棄端，都只是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的利用問題，由此產(chǎn)生的誤差純屬偶然.當(dāng)任意連續(xù)相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移之差Δs相等時(shí)，無論舍棄哪一數(shù)據(jù)，結(jié)果都相同；當(dāng)Δs不等時(shí)，不同的取舍方法，所利用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不同，可能導(dǎo)致結(jié)果各異，只有當(dāng)所舍棄的恰為“壞數(shù)據(jù)”時(shí)，誤差才最小.那么與其糾纏紙帶的數(shù)據(jù)處理，倒不如從減小誤差上多下功夫，倘若取多條紙帶求加速度平均值會(huì)更好一些.這正是：紙帶數(shù)據(jù)奇數(shù)形，舍中棄端皆可行.數(shù)據(jù)不舍可全用，自行測(cè)量酌情定.

1杜志建.試題調(diào)研高考突破難點(diǎn)100講 物理(修訂版).烏魯木齊:新疆青少年出版社,2012.7

2戴耀東.探究逐差法處理紙帶時(shí)奇數(shù)段位移該如何取舍.物理教師,2013(12):52～54

3盧煒杰，吳先球，王笑君.三種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法的誤差分析和教學(xué)探討.物理教學(xué),2013(12):22～23

4魏興文，魏延博.對(duì)逐差法求加速度的質(zhì)疑.中學(xué)物理教學(xué)參考，2013(9):30

2016-03-25)