對容器重心位置變化的一點討論

晏 鵬

(沭陽縣沭陽高級中學　江蘇 宿遷　223600)

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對容器重心位置變化的一點討論

晏 鵬

(沭陽縣沭陽高級中學江蘇 宿遷223600)

高一物理在有關重心的內容方面，很多資料上有類似于這樣一道習題：將水慢慢注入一薄壁圓柱形燒杯直至水滿.在此過程中，系統(包括燒杯和水)的重心位置

A．慢慢下降 B．慢慢上升

C．先下降后上升 D．先上升后下降

對于這個習題的解析，資料上給出了這樣的答案：如圖1所示,在未注水時，燒杯和水的共同重心在容器的中心O點附近.隨著水的流入，系統的質量分布發生了變化，系統的共同重心在O點下方某位置O′點處.當容器注滿水后，系統的重心又回到了O點附近.因此，系統的重心是先下降后上升.此題正確答案為C.

圖1

這個答案給出了系統重心變化的3個狀態并由此得出正確的結果.但是對于系統重心的具體變化過程，答案沒有給出明確的分析.有學生對于這個問題產生了如下疑問：

(1)系統初始狀態和末狀態的重心在中心點O附近，但在注水過程中重心位置會不會有更為復雜的變化，如：下降—上升—下降—上升？

(2)在水未滿的過程中(如圖2)，重心如何變化？重心變化和水位變化是什么關系？

圖2

要得到系統重心具體變化過程，需要通過計算來分析重心的位置變化.對于由多個質點組成的系統，其重心C點的位置坐標(xC，yC，zC)由如下公式求得

此題所涉及的系統比較簡單，系統重心與燒杯重心、水的重心都在一條豎直線上，如圖3所示.可以設坐標都在x軸上.另外設系統重心為C點；燒杯質量為m，重心A點坐標為x1；水的質量為m′,重心B點坐標為-x2.由公式

可得

即

mx1=m′x2

(1)

圖3 圖4

如圖4，在注水過程中，當重心C恰位于水面時，水面高度為2x2.設水的密度為ρ，則水的質量

m′=ρS·2x2

(2)

代入式(1)可得

mx1=ρS·2x2·x2

(3)

(4)

將所得的結果與式(3)比較，很顯然若x1不變，式(4)是不成立的,所以假設不成立.要使式(4)成立，x1應減小，C點應上升.所以得到結論：當系統重心處在液面處時，繼續注水，系統重心升高.

下面分析另一種情況：當系統重心位于液面處時，降低水位，判斷重心如何變化.

(5)

所得結果與式(4)相同.所以得到相同的結論：當系統重心處在液面處時，降低水位，系統重心仍升高.

綜上所述，可以得到結論：向空燒杯里注水時，系統重心降低，當系統重心降至液面處時，系統重心最低；繼續注水，系統重心升高，當燒杯注滿水時，系統重心升至原空燒杯重心處.所以，對于本文前面給出的例題，正確答案為C.

對上述結論的拓展應用：

【例題】(第七屆全國奧賽決賽題)一薄壁圓柱形燒杯，半徑為r，質量為m，重心位于中心線上，離杯底的距離為H，今將水慢慢注入杯中，問燒杯連同杯內的水共同重心最低時水面離杯底的距離等于多少？(設水密度為ρ)

解析：如圖5，由題意知當重心下降到水面時，共同重心最低.

圖5

重心最低時y=yC，解方程求得

根據題意舍去負值得

要正確解決此題，必須應用之前推導的結論，即：系統重心處于水面高度時為其最低位置.

2016-03-03)