“土密度計(jì)”問(wèn)題的兩種解法及其辨析

儲(chǔ)理才

(集美大學(xué)理學(xué)院　福建 廈門(mén)　361021)

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“土密度計(jì)”問(wèn)題的兩種解法及其辨析

儲(chǔ)理才

(集美大學(xué)理學(xué)院福建 廈門(mén)361021)

對(duì)北京市2008年中考物理試卷中的“土密度計(jì)問(wèn)題”的兩種解法進(jìn)行辨析，揭示為什么“近似”解法卻可以得到精確結(jié)果的原因.

北京市中考土密度計(jì)浮力

1　問(wèn)題的由來(lái)

北京市2008年中考物理試卷有這樣一道題[1].

歡歡利用平底試管、小螺母和細(xì)線制成一個(gè)“土密度計(jì)”，用如圖1所示的方法測(cè)量液體的密度．“土密度計(jì)”在酒精(ρ酒精=0.8×103kg/m3)中靜止時(shí)露出液面的高度為2 cm，“土密度計(jì)”在水中靜止時(shí)露出水面的高度為3 cm，“土密度計(jì)”在硫酸銅溶液中靜止時(shí)露出液面的高度為3.8 cm．則此硫酸銅溶液的密度為_(kāi)_____kg/m3． (答案：1.25×103)

圖1　“土密度計(jì)”

2　兩種解法

“百度 作業(yè)幫”網(wǎng)提供了以下兩種解法[2,3].

解法1[2]: “近似”解法——假設(shè)螺母的體積可以忽略不計(jì)

設(shè)試管的橫截面積為S，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，假設(shè)螺母的體積可以忽略不計(jì)，則“土密度計(jì)”在3種液體中所受的浮力分別為

F酒精=ρ酒精gS(L-h1)

(1)

F水=ρ水gS(L-h2)

(2)

F硫酸銅=ρ硫酸銅gS(L-h3)

(3)

式中h1=0.02 m，為試管在酒精中靜止時(shí)露出液面高度，h2=0.03 m，為試管在水中靜止時(shí)露出液面的高度，h3=0.038 m,為試管在硫酸銅溶液中靜止時(shí)露出液面的高度(下同).

因?yàn)椤巴撩芏扔?jì)”在3種液體中都呈漂浮狀態(tài)，可知土密度計(jì)在3種液體中所受浮力都等于試管和螺母的重力之和，因此這3個(gè)浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸銅

由此可得如下兩個(gè)等式

ρ酒精gS(L-h1)=ρ水gS(L-h2)

(4)

ρ水gS(L-h2)=ρ硫酸銅gS(L-h3)

(5)

由式(4)可解得

(6)

由式(5)可解得

(7)

將式(6)代入式(7)，得

(8)

將酒精和水的密度代入，得ρ硫酸銅=1.25×103kg/m3，與答案相同.

解法2[3]: 精確解法——假設(shè)螺母的體積不能忽略

設(shè)試管的橫截面積為S，試管和螺母的總體積為V，則“土密度計(jì)”在3種液體中所受的浮力分別為

F酒精=ρ酒精g(V-h1S)

F水=ρ水g(V-h2S)

F硫酸銅=ρ硫酸銅g(V-h3S)

因?yàn)椤巴撩芏扔?jì)”在3種液體中都呈漂浮狀態(tài)，可知“土密度計(jì)”在3種液體中所受浮力都等于試管和螺母的重力之和，因此這3個(gè)浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸銅

由此可得如下兩個(gè)等式

ρ酒精g(V-h1S)=ρ水g(V-h2S)

(9)

ρ水g(V-h2S)=ρ硫酸銅g(V-h3S)

(10)

由式(9)可解得

(11)

由式(10)可解得

(12)

將式(11)代入式(12)，得

(13)

將酒精和水的密度代入，得ρ硫酸銅=1.25×103kg/m3，與答案相同.

3　兩種解法的辨析

解法1和解法2步驟可以說(shuō)是完全相同，但列方程的依據(jù)是有差別的：解法1在計(jì)算浮力時(shí)，忽略了浸沒(méi)在液體中的螺母所排開(kāi)的液體體積，從圖形中看，螺母相對(duì)于試管，其體積并不算小，計(jì)算浮力時(shí)忽略掉螺母的體積是會(huì)帶來(lái)誤差的，因此解法1似乎是一種近似解法.解法2在計(jì)算浮力時(shí)考慮了浸沒(méi)在液體中的螺母所排開(kāi)的液體體積(土密度計(jì)所排開(kāi)的液體體積等于試管和螺母的總體積減去試管露出液面部分的體積)，因此解法2是一種精確解法.但比較式(8)和式(13)，解法1與解法2卻有著相同的計(jì)算結(jié)果，也就是說(shuō)，用“近似解法”卻得到了精確結(jié)果，這又是為什么呢？

先來(lái)計(jì)算試管的準(zhǔn)確長(zhǎng)度L*.根據(jù)解法2的式(11)可得

由此可計(jì)算試管的準(zhǔn)確長(zhǎng)度

(14)

比較解法1中的試管長(zhǎng)度式(6)和這里的試管長(zhǎng)度式(14)，可知解法1中求得的試管的長(zhǎng)度是不準(zhǔn)確的，它與準(zhǔn)確長(zhǎng)度相差一個(gè)常量，二者之間的關(guān)系是

(15)

再來(lái)計(jì)算“土密度計(jì)”在3種液體中所受到的浮力.“土密度計(jì)”在液體中所受的浮力等于試管排開(kāi)的液體重量和螺母排開(kāi)的液體重量之和，即

F酒精=ρ酒精gS(L*-h1)+ρ酒精gV螺母=

ρ酒精gS(L-h1)

(16)

F水=ρ水gS(L*-h2)+ρ水gV螺母=

ρ水gS(L-h2)

(17)

F硫酸銅=ρ硫酸銅gS(L*-h3)+ρ硫酸銅gV螺母=

ρ硫酸銅gS(L-h3)

(18)

則解法1中的浮力計(jì)算公式就是準(zhǔn)確無(wú)誤的.

至此，我們可以對(duì)解法1中浮力的計(jì)算給出一種新的解釋?zhuān)谶@種解釋下，解法1中的浮力計(jì)算就是精確的，由此推導(dǎo)的硫酸銅密度公式自然也是準(zhǔn)確無(wú)誤的了.

設(shè)試管的橫截面積為S，長(zhǎng)度為L(zhǎng)*，螺母的體積為V螺母，記

由此式就可得式(1),(2),(3)了.

1百度文庫(kù). 2008年北京中考物理試題和答案[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/7fd1fc92dd88d0d233d46a44.html, 2012-06-04/2016-04-28

2百度 作業(yè)幫. 歡歡土密度計(jì)[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/2db78db73981299e849ec7b424a2883c.html. 2014-11-07/2016-04-28

3百度.作業(yè)幫.歡歡土密度計(jì)[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/5e60c39bbae68b405c5d80e96af523be.html. 2014-11-25/2016-04-28

儲(chǔ)理才(1969-)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué).

2016-04-28)