用雙線擺測重力加速度

林慧金　何京妮　李德安

(華南師范大學物理與電信工程學院　廣東 廣州　510006)

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用雙線擺測重力加速度

林慧金何京妮李德安

(華南師范大學物理與電信工程學院廣東 廣州510006)

在應用單擺測量重力加速度時，造成誤差的主要因素有實驗儀器引起的系統誤差和實際測量引起的隨機誤差.文中針對單擺做圓錐擺引起的系統誤差，采用了雙線擺代替單擺的方法來改進實驗裝置，巧用萬能板來固定雙線擺，并使其與DISLab通用軟件相結合，能更精確地測量出重力加速度.

重力加速度系統誤差雙線擺實驗裝置

1　引言

重力加速度是一個重要的物理常量，精確測量重力加速度在力學、熱學、電學、天文學等方面都有廣泛的應用[1].用單擺測重力加速度是傳統的方法，此方法簡單、容易操作，但該方法卻存在多種因素造成的誤差，針對這些因素，本文著重討論單擺做圓錐擺運動對實驗結果造成的影響，并由此對實驗裝置進行改進，即利用雙線擺精確測量重力加速度.

2　實驗裝置

2.1傳統單擺測重力加速度的實驗裝置

在傳統的單擺測重力加速度實驗中，實驗裝置是用一不可伸長的輕線將小鐵球懸掛在支架上，支架下端放置有光電門，恰好讓小球自然懸掛于光電門的兩片感應器中.由鋼卷尺測出鐵球邊緣到擺的支點O的距離L，用螺旋測微器測量鐵球直徑d.當小球做小角度周期擺動時，通過數據采集器采集數據，再通過DISLab通用軟件得到單擺的周期T和重力加速度g.

由檢索文獻發現，單擺由于其速度方向和重力方向不共面，很容易變圓錐擺.對比單擺和圓錐擺的周期公式得到的重力加速度，發現圓錐擺帶來的系統誤差使得重力加速度的測量值偏大[2].

2.2實驗裝置的改進——雙線擺

基于傳統單擺測重力加速度引起圓錐擺的現象，筆者由此提出采用雙線擺來改進實驗儀器.

在一個擺球的小孔上系有兩根等長的不可伸長的輕線，輕線的兩端分別系在一根水平直桿的兩端上，若讓擺球繞鉛垂線轉過一角度，則擺球繞其平衡位置往復擺動，那么該系統就構成了雙線擺[3](如圖1).其主要優勢有4方面.

圖1　雙線擺示意圖

(1)有效避免小球做圓錐擺運動

利用雙線擺的兩根線將小球限制在圖1中的三角形平面內做簡諧振動，可以有效避免實驗中出現的圓錐擺.具體原因有：其一，根據前人研究，雙線擺采用微角擺動法來測量的相對誤差小于1%，而且結合長擺線更能減少測量誤差[4].其二，雙線擺的小球受到3個力的作用而達到平衡，即在豎直和水平方向上，整個雙線擺系統都是很穩定的，不容易受到周圍環境輕微振動的影響，如人的呼吸、風等.而單擺只有兩個力維持平衡，在水平方向上比較容易受到外界干擾而變成圓錐擺.

(2)巧妙運用萬用板，打結固定雙線

在雙線擺測量重力加速度的時候，如何將此擺的兩根輕線固定好且不影響其簡諧振動是最關鍵的問題.筆者一開始是直接利用原裝置的，但是由于鐵架臺難以使直桿保持水平，且輕線兩端距離容易因外界因素改變，實驗不夠嚴謹.筆者經過多次嘗試，結合物理學科特色發現，空白的萬能板是比較適合作為固定雙線擺的材料，如圖2(a)、(b)所示.因為萬能板上有分布均勻的小孔，且孔與孔的間隔是固定的，可方便調節并測量兩根線的距離；且孔的大小與線的直徑差不多，通過打一小結在板上，就能避免小球在擺動過程中輕線的移動.使用兩個鐵架臺將萬能板固定，通過調節即可保證萬能板水平，從而確保小球以預期的等效擺長擺動.

(a)萬能板正面

(b)萬能板反面

(3)操作簡易，適用于課堂教學

在課堂教學演示中，雙線擺裝置足夠簡單，且實驗效果好.通過與傳統單擺對比，可以幫助學生弄清小球做簡諧振動的擺長如何確定，并引導學生分析傳統單擺測重力加速度的不足，同時拓展學生測量思路，實驗裝置示意圖如圖3所示.

圖3　實驗裝置示意圖

(4)精確度高

使用數據采集器和DISLab通用軟件相結合，能有效地提高實驗效率和實驗結果的精確度.此外，根據測量結果，傳統單擺測量重力加速度的相對誤差為1.2%，而改進的雙線擺測量重力加速度的相對誤差減小到0.064%，精確度大大提高.

3　實驗原理與步驟

3.1實驗原理

本實驗采用單擺法測重力加速度.重力加速度公式

只需測量出小球的直徑d,雙線的長度l和雙線兩個固定端的距離s，計算得出等效擺長L，即可由DISLab通用軟件得到周期T和重力加速度g[5].

3.2實驗步驟

(1)計算等效擺長L.用螺旋測微器測量小鐵球的直徑d，用鋼卷尺測量出雙線的長度l和雙線兩個固定端的距離s，利用勾股定理計算出兩個固定端連線的中心到小鐵球的距離L′，從而得到等效擺長L.

(2)組裝實驗裝置(如圖4).測出雙線的長度后，在線上做好標志，將線穿過萬能板的小孔并在標志處打結.調整兩個桌子和鐵架臺達到水平狀態，將萬能板水平固定在兩個鐵架臺之間，小鐵球懸掛在光電門的兩片感應器中.

圖4　實驗裝置圖

(3)測定重力加速度g.組裝完裝置后，讓雙線擺在擺角小于5°的條件下做往復運動.利用數據采集器采集數據，通過DISLab通用軟件得到周期T和重力加速度g.

3.3數據處理

(1)小鐵球直徑d=19.460 mm，兩線的長度均為l=100.10 cm，雙線的兩個固定端的距離s=9.00 cm，則雙線兩個固定端連線的中點到小鐵球的距離為

代入數據得

L′=1.000 0 m

那么，等效擺長為

(2)結合數據采集器和DISLab通用軟件，操作一次得到10組周期T和重力加速度g的實驗數據，將每次得到的10組T和g的實驗數據取平均值.重復3次實驗步驟(3)，得到實驗數據如表1.

表1　雙線擺法測g實驗數據表

由此可知，用雙線擺測得的重力加速度平均值

g=9.788 5 m/s2

(3)在該裝置下，利用單擺法測量重力加速度，得到實驗數據如表2.

表2　單擺法測g實驗數據表

由此可知，用單擺測得的重力加速度平均值

g=9.895 0 m/s2

(4)本實驗是在廣州完成的，廣州位于北緯23.1°，平均海拔高度為43.4 m.由重力加速度理論值計算公式

g0=(980.616-2.592 8cosφ+0.006 9cos2φ-

3.086×10-6H) cm/s2=

978.22 cm/s2=9.782 2 m/s2

其中，φ是緯度，H為海拔高度[6].

(5)雙線擺的實驗相對誤差為

單擺的實驗相對誤差為

由實驗誤差可得，采用雙線擺的方法所得數據較為準確.

4　結論

相對于傳統的單擺法，采用不平行的對稱雙線擺的方法來改進實驗儀器，可以通過簡單的操作，有效地避免圓錐擺的出現，使得測量的重力加速更加精準.當然，雙線擺的測量方法也存在一些不足，如擺線長度的測量存在人為誤差、擺角的誤差等.本文只在雙線擺測量重力加速度的改進方面做深入研究，但還未對雙線擺的兩線張開的角度做進一步的研究，兩線張開的角度過大可能阻礙小球運動，也會對實驗結果造成影響.

1盛虹.單擺測重力加速度的研究.延安大學學報(自然科學版),2014(02):28～30

2王金德.“單擺測重力加速度”的實驗研究與誤差分析.銅仁學院學報,2011(03):126～128

3吳秀芳,柳濤.雙線擺的周期及其測定.廣西物理,1998(02):40～43

4于治會.一般雙線擺的振動特性分析.強度與環境,1990(04):13～17

5張海軍.測量重力加速度的五種方法.中學物理教學參考,2012(04):24～25

6張冠芬.單擺智能化測量重力加速度實驗的研究.菏澤學院學報,2012(02):50～55

2016-04-10)