巧用圓解決力學問題*

倪守祥　徐逸凡　董芳芳

(鹽城景山中學　江蘇 鹽城　224002)

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巧用圓解決力學問題*

倪守祥徐逸凡董芳芳

(鹽城景山中學江蘇 鹽城224002)

通過例題介紹了圓在解決力的合成與分解、運動的合成與分解以及牛頓第二運動定律等問題時的重要應用.巧妙應用圓的知識，可使復雜問題變得簡單且易于理解.

圓力學力牛頓第二定律

物理與數學同為科學大家庭一員，互為表里，息息相關.杰出的數學能力往往能幫助我們更快速有效地解決物理難題.而數學中的圓，作為自然界中最美的圖形，包含了直線、弧、圓心角、弦切角等豐富的幾何內容.我們不妨思考，是否能將如此美麗的圖形為我們所用，以解決較為復雜的物理問題呢？今天，我們將讓物理邂逅數學，一起探討圓在高一物理中的運用，主要分為以下3個部分.

1　圓在力的合成與分解中的應用

【例1】將力F分解為F1和F2兩個分力，若已知F1和F2的夾角θ為鈍角，則當F1,F2大小相等時，它們的大小為______；當F1取最大值時，F2的大小為______.

圖1

解析：一力確定，另兩力夾角恒定，即F不變而分力F1和F2保持θ角不變，如圖1所示，可利用“同弧所對的圓周角不變”在圓中構建變化的閉合矢量三角形，可輕松得出答案.

(1)當F1，F2大小相等時,有

即

【例2】在“互成角度的兩個力合成”實驗中，用A,B兩只彈簧測力計把橡皮條上的結點拉到某一位置點O，這時AO和BO間夾角∠AOB<90°，如圖2所示.現保持彈簧測力計A的拉力大小不變，并逐漸減小α角，為了使結點仍被拉到O點，則應調節彈簧測力計B拉力的大小和方向，下列調整方法中，一定不可行的是

A．增大彈簧測力計B的拉力和β角

B．增大彈簧測力計B的拉力，β角不變

C．增大彈簧測力計B的拉力，減小β角

D．B的拉力大小不變，增大β角

解析：以結點O為研究對象，對其受力分析，結點位置不變，說明皮條對結點的拉力不變，這是“一力確定，另一個力的大小確定”問題.利用“圓的半徑相等”，以O點為圓心，FA的大小為半徑作圓.

圖2

因為∠AOB<90°，由圖3可知，隨著α角的減小，FB的大小不斷增大，β角先減小后增大.綜上，本題選D.

圖3

【例3】不可伸長的輕繩AO和BO下端系一個質量為m的物體，細線長AO>BO，A，B兩端點在同一水平線上，開始時兩線剛好繃直，BO垂直于AB，如圖4所示.現保持A，B在同一水平線上，使A逐漸遠離B，在此過程中，細線上的拉力FA，FB的大小隨A，B間距離的變化情況是

A．FA隨距離增大而一直增大

B．FA隨距離增大而一直減小

C．FB隨距離增大而一直增大

D．FB隨距離增大而一直減小

圖4

解析：如圖5所示，以結點O為研究對象，對其受力分析，兩繩合力與重力等值反向.由題意可知，OA與OB的長度恒定，利用圓解決問題十分簡便.以結點O為圓心，分別以OB，OA長為半徑畫圓，因A，B始終在同一水平線上，由此確定遠離過程中A，B端點位置，即確定拉力方向.

最初，FA=0，FB=mg，隨著A點遠離B點，由圖示可知，FA一直增大，FB先減小后增大，所以此題選A.

圖5

2　圓在運動的合成與分解中的應用

【例4】已知小船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d.要使小船渡河時通過的路程最短，求下列兩種情況下小船靜水速度的方向與上游河岸的夾角分別為多大.

(1)v1>v2;

(2)v1

解析：(1)當v1>v2時，小船靜水速度方向應斜向上游，并使船垂直于河岸航行，則渡河路程最短．設船靜水速度的方向與上游河岸的夾角為θ，則v1cosθ=v2，所以

(2)當v1

圖6

由圖6可知，當船實際航行方向與圓相切時，小船與垂直河岸方向間的夾角最小，渡河的路程最短.此時，v2cosθ=v1，所以

3　圓在牛頓運動定律中的應用

【例5】如圖7所示，AD,BD,CD是豎直面內3根固定的光滑細桿，A,B,C,D位于同一圓周上，A點為圓周的最高點，D點為最低點．每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，3個滑環分別從A,B,C處釋放(初速度均為零)，用t1,t2,t3依次表示滑環到達D所用的時間，則

A．t1

B．t1>t2>t3

C．t3>t1>t2

D．t1=t2=t3

圖7

解析：設任意細桿與豎直方向的夾角為θ，則小滑環的運動路程為s=2Rcosθ，加速度a=gcosθ，則運動時間

因此本題選D.

結論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿由靜止下滑，到達圓周最低點的時間相等，像這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”.

推論：物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細桿到圓周上各點(如圖7中，E，F點)所用的時間相等.

【例6】如圖8所示，位于豎直平面內的固定光滑圓軌道與水平軌道面相切于M點，與豎直墻相切于A點，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓軌道的圓心．已知在同一時刻，a,b兩球分別由A,B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點．則

A.a球最先到達M點

B.b球最先到達M點

C.c球最先到達M點

D.c,a,b三球依次先后到達M點

解析:設圓軌道半徑為R，根據“等時圓”理論

B點在圓外

c球做自由落體運動

所以此題選C和D.

圖8

【例7】(等時圓拓展)如圖9，AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道(假使光滑)，使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大？

圖9

圖10

【例8】(等時圓拓展)在離坡底10 m的山坡上O點豎直地固定一長10 m的直桿AO(即BO=AO=10 m).A端與坡底B間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，取g=10 m/s2，如圖11所示，則小球在鋼繩上滑行的時間為

圖11

解析：如圖12所示，以O點為圓心，以R=10 m為半徑作圓，則A,B為圓周上的點，AB為弦，故從A到B的時間等于從A沿直徑運動到直徑另一端點的時間,據“等時圓”可得

故B正確.

圖12

小結：“他山之石，可以攻玉”，適時地將各種學科有機結合，將所學的知識互相遷移，靈活運用，不僅可以拓寬我們的思維，提高我們的創新能力，還常常會取得意想不到的效果.

1王中元.單位圓在物理學中的巧妙應用.中學物理，2011(2)：49～50

2單文忠.巧畫圓解動態受力平衡問題.物理教師，2012(2)：24～25

倪守祥(1998-)，男，在讀高中生.

指導教師：董芳芳(1987-)，女，碩士，中教一級，主要從事中學物理教學與研究.

2016-01-12)

*江蘇省中小學教學研究第十一期立項課題，項目編號：2015JK11-L153