小題目中的大秘密

曹曉亮

(吳興高級(jí)中學(xué)　浙江 湖州　313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院　浙江 湖州　313000)

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小題目中的大秘密

曹曉亮

(吳興高級(jí)中學(xué)浙江 湖州313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院浙江 湖州313000)

在各種類型的物理題目中，有一些小題目，形式是問(wèn)答題或選擇題，看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，實(shí)際上求解時(shí)需要高深的物理知識(shí)和數(shù)學(xué)技巧，不大適合一般高中生.這些題目適合競(jìng)賽生、自主招考生，以及開(kāi)設(shè)物理選修課的學(xué)生選做.我們從中學(xué)師生熟悉的兩類追及問(wèn)題出發(fā)，說(shuō)明題目是如何逐步加大難度的.本文的重點(diǎn)是如何出題，即出題的思路和方法，而不在于解題.有的題目解法可以參照文獻(xiàn)，有的題目難度很高，本文完稿時(shí)，也沒(méi)找到合適的解法.

(1)第一類追及題目——多個(gè)追及者相互追逐

正三角形3個(gè)頂點(diǎn)上有3個(gè)螞蟻(烏龜?shù)?，互相盯著對(duì)方，以相同的速率追及.第1問(wèn)：什么時(shí)候相遇？這個(gè)題目對(duì)稱性太強(qiáng)了，正三角形，速率相等，完全可以利用對(duì)稱性和相對(duì)速率來(lái)求解.第2問(wèn)：它們運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么曲線？這個(gè)一般的中學(xué)生回答不出來(lái)，物理素養(yǎng)好的學(xué)生可以猜出來(lái)(我們鼓勵(lì)猜)，好學(xué)的學(xué)生可以自學(xué)大學(xué)的微積分求解.第3問(wèn)是很簡(jiǎn)單的推廣，沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)階，把正三角形改變?yōu)檎噙呅危笞芳皶r(shí)間和追及曲線.第4問(wèn)就不一樣了，從特殊到一般，任意三角形3個(gè)頂點(diǎn)上的追及者，速率當(dāng)然也不一樣了，問(wèn)：能追到同一點(diǎn)嗎？滿足什么條件能相遇到一點(diǎn)上？這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的什么點(diǎn)？第4問(wèn)的難度明顯與前3問(wèn)不一樣，但是很可惜，文獻(xiàn)上多的是前3問(wèn)的各種解答方法，很少有第4問(wèn)及其解答.第4問(wèn)的解答可以參照文獻(xiàn)[1].第5問(wèn)是第4問(wèn)的推廣，任意三角形頂點(diǎn)上3個(gè)追及者，滿足合適條件，是可以同時(shí)相遇到同一點(diǎn)的.那么任意四邊形、五邊形、多邊形呢？第6問(wèn)是前面5問(wèn)的推廣，以上追及者都在平面上，那曲面上的追及問(wèn)題如何求呢？先從簡(jiǎn)單的開(kāi)始，球面上的一個(gè)“等邊三角形”.一個(gè)在北極，兩個(gè)在赤道上，任意兩個(gè)追及者的球面弧長(zhǎng)相等.以相同的速率瞄準(zhǔn)追及，追及時(shí)間是多少？追及曲線是什么形狀？第7問(wèn)是前4問(wèn)的另一種推廣，維度推廣，螞蟻、烏龜能爬，老鷹能飛.正三角形的維度提升到正四面體.問(wèn)：一個(gè)正四面體，4個(gè)頂點(diǎn)上追及者以相同速率首尾追逐，追及時(shí)間是多少？追及曲線是什么形狀？正三角形追及問(wèn)題有解析解，正四面體追及問(wèn)題有沒(méi)有解析解？第8問(wèn)是第7問(wèn)的簡(jiǎn)單推廣，任意四面體4個(gè)頂點(diǎn)上的追及者，滿足什么條件能追到同一點(diǎn)上？這個(gè)點(diǎn)是四面體的什么點(diǎn)？

(2)第二類追及題目——獵狗追兔子問(wèn)題

第1問(wèn)是最簡(jiǎn)單、最經(jīng)典也是最特殊的例子，起始時(shí)候，獵狗、兔子連線方向和兔子逃跑方向成直角，兔子始終沿著一個(gè)方向跑，獵狗始終盯著兔子，獵狗速率大于兔子速率，問(wèn)什么時(shí)候能追到.第2問(wèn)是對(duì)第1問(wèn)的追問(wèn)，兔子是朝著它的巢穴跑，獵狗能否在兔子跑到它的巢穴之前截住它？獵狗的追及曲線是什么？第3問(wèn)也是第1問(wèn)的推廣，起始時(shí)候，獵狗、兔子連線方向與兔子逃跑方向不再是直角，而是鈍角，還能追上嗎.第4問(wèn)，假設(shè)我們進(jìn)入童話王國(guó)，動(dòng)物很有智慧，兔子蹲著吃草不動(dòng)，獵狗逡巡.獵狗計(jì)算發(fā)現(xiàn)，它的逡巡范圍必須落在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，才能在兔子跑進(jìn)巢穴之前截住它.請(qǐng)問(wèn)，這個(gè)區(qū)域的邊界曲線是什么？第5問(wèn)，兔子發(fā)現(xiàn)隱匿不動(dòng)的獵狗，兔子計(jì)算發(fā)現(xiàn)，它必須在一個(gè)安全范圍內(nèi)吃草，才能有驚無(wú)險(xiǎn)跑回巢穴.請(qǐng)問(wèn)，這個(gè)安全區(qū)域的邊界曲線是什么？第6問(wèn)，兔子有很多巢穴，發(fā)現(xiàn)獵狗后馬上逃跑.兔子計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，這么多巢穴中，只有落在一個(gè)

保險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的，才能安全返回.請(qǐng)問(wèn)，這個(gè)保險(xiǎn)區(qū)域的邊界曲線是什么？這幾個(gè)問(wèn)題的答案可以在參考文獻(xiàn)[2]中找到.

我們?yōu)槭裁唇o出問(wèn)答式的題目而不是計(jì)算題的題目，是基于以下原因，一是計(jì)算題都是設(shè)定好的，所有的物理/數(shù)學(xué)量都給你，不多不少，學(xué)生只要按程序套公式就行了.在這種類型題目訓(xùn)練中，學(xué)生喪失了最基本的問(wèn)問(wèn)題的欲望和動(dòng)力，是很被動(dòng)的機(jī)械式的解題.二是本來(lái)知識(shí)的創(chuàng)生過(guò)程就來(lái)源于問(wèn)問(wèn)題，學(xué)知識(shí)也可以用這個(gè)思路.三是，學(xué)問(wèn)學(xué)問(wèn)，不能只有學(xué)沒(méi)有問(wèn).對(duì)于學(xué)習(xí)物理來(lái)說(shuō)，你有好奇心，主動(dòng)去找問(wèn)題，在求解問(wèn)題的過(guò)程中，強(qiáng)大的征服欲望驅(qū)使你學(xué)習(xí)一切用來(lái)求解問(wèn)題的知識(shí)、方法和手段.這個(gè)過(guò)程雖然痛苦，折磨，但是不會(huì)讓人麻木、僵硬、死板.所以，本文題目中的“大秘密”，就是會(huì)問(wèn)問(wèn)題，能問(wèn)問(wèn)題，問(wèn)出你和老師也不會(huì)解答的問(wèn)題.這個(gè)思路也有實(shí)際效果，在“應(yīng)付”高考中，你不僅會(huì)解題，也能出題，用同高考出題專家一樣的思路出題，比他們還高明地出題.最后，問(wèn)讀者一個(gè)問(wèn)題，本文中兩類追及問(wèn)題，我們問(wèn)出14個(gè)問(wèn)題來(lái)，你能問(wèn)出多少個(gè)來(lái)？

1杜振強(qiáng)，邱為鋼.追擊問(wèn)題的極限性質(zhì).大學(xué)物理，2010，29(8):57～58

2邱為鋼，蔣明明，楊虹.追擊問(wèn)題臨界范圍的確定.力學(xué)與實(shí)踐，2007(5):73～74

2015-11-09)