平行板電容器內電介質受力問題剖析

李帥龍　李智華

(華中科技大學物理學院　湖北 武漢　430074)

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平行板電容器內電介質受力問題剖析

李帥龍李智華

(華中科技大學物理學院湖北 武漢430074)

關于平行板電容器內電介質受力問題，普通大學電磁學教材大都利用虛功原理求解[1]，但沒有說明該力產生的根源.筆者基于液體表面張力的模型，對該力的產生做了深入剖析.特別地，本文將虛功原理的結果、邊緣效應(即電容器邊緣處電介質的極化不同于中心處電介質的極化而產生的效應)的結論以及束縛電荷模型進行對比和分析，揭示它們的統一性.

平行板電容器電介質邊緣效應虛功原理束縛電荷

1　前言

平行板電容器內電介質受電場的作用產生極化，極化后的電介質會形成極化束縛電荷，與電容器極板上的自由電荷通過庫侖力相互作用，使得電介質有被拉進電容器的趨勢.普通電磁學教材都采用虛功原理，簡潔地給出了該力的表達式.它沒有對這種力的根本來源做出解釋，同時留下了一系列引人思考的問題: 它到底是只與極板內側電介質表面束縛電荷有關呢，還是與邊緣效應有關? 或者其實與這些因素均有關系，只是哪個因素占主導地位？本文受液體表面張力的模型的啟發，成功地解釋了電介質受力的來源；特別地，本文將虛功原理的結果、邊緣效應結論以及束縛電荷模型進行對比和深入剖析，揭示它們的統一性.

2　液體表面張力模型

作用于液體表面使液體表面積縮小的力，稱為液體表面張力.它產生的原因是，液體跟空氣接觸的表面存在一個薄層，即表面層，表面層里的分子比液體內部稀疏，分子間的距離比液體內部大一些，分子間的作用力表現為相互作用引力.

可以看出，表面層內分子之間的引力導致了液體表面張力的產生.聯系到自由電荷在金屬極板上的分布，電荷分布在極板的表面，相互之間會有庫侖斥力的作用，而且良導體表面的自由電荷也具有跟流體一樣的性質，且自由電荷面密度越大，這種“庫侖張力”也就越大，只是這時的力使電荷的分布范圍有向外延展的趨勢.因此我們推測自由電荷分布的表面層也存在與液體表面類似的“表面張力”.若進一步將這一模型應用到有電介質存在的極板表面，自由電荷面密度在有電介質區域比沒有電介質區域大，前者的“庫侖張力”也就比后者大，我們認為這時極板向電容器內部運動的趨勢正是自由電荷“表面張力”的表現，并做了進一步的定量分析.

為了量化表面自由電荷間的張力，和分析液體表面張力的方法一樣，在局部自由電荷均勻分布的極板表面劃出一條直線，考察直線兩邊電荷相互作用的總斥力.若選取無限大均布電荷平板的模型計算，會發現，在任意所作的有限長的直線兩邊，當直線兩邊的電荷分開一個確定的小距離時，由于電場散布無窮大空間，靜電能將增加無限大.利用虛功原理可以得出單位長度直線兩側電荷相互斥力無限大的結論，這不便于做定量分析.為此，可以選擇電場分布在有限區域的平行板電容器模型.

如圖1所示，設平行板電容器兩極板長度為b，寬度為a，極板間距離為d，且有a?d，b?d，這樣，考慮極板中間電場時可以將極板做無窮大平板處理.在上極板上取平行于極板邊緣的直線AB，并選取直線上一點P.為了計算P點左側電荷受到的來自電容器右側電荷的斥力，如圖1所示建立坐標系，其中直線AB位于x=0處，且和y軸平行，P點為z軸和直線AB的交點.為了計算x>0區域中所有電荷對P點電場的貢獻，這里先計算下極板x>0部分電荷在P處產生的電場強度E1.

圖1　平行極板上自由電荷相互作用

首先，根據對稱性，P處的電場強度沿x方向，因此在計算電場時我們只需計入x方向的即可.進一步計算時可以發現，位于下極板上x=0鄰近處電荷對P點電場的貢獻會引起積分發散，為了避免這一困難，將電場的積分下限改為x=r，這里r為大于零的任意常量.所以下極板上x>r區域內通過對任意(x,y,0)處的電荷元對P點的電場的貢獻積分，可以得到P點電場為

(1)

σ0為極板表面電荷面密度.

再考慮上極板x>0部分電荷在P處產生的電場強度E2，這時只需在上式中令d=0，因此上極板上x>0區域內電荷對P點電場的貢獻為

(2)

將E1，E2相加，即得x>0區域內總電荷對P點電場的總貢獻為

(3)

這里還不能馬上算出總電場強度E的大小，因為當r→0時該積分依舊發散.但幸運的是，我們可以計算出上極板x<0部分的電荷受到的來自x>0區域電荷的總的庫侖力斥力F1，即

(4)

而且當r→0時，該積分收斂，可得到

(5)

這樣，我們定量地表示了自由電荷薄層上一定長度直線一側的電荷受到的來自直線另外一側的電荷的總斥力.根據對稱性，上下兩極板上電荷受合力等大同向，故可計算出直線x>0和x<0兩區域間總的相互作用的斥力大小為

(6)

由此推算出的力的大小與直線的長度a成正比，與電荷密度的平方成正比，這與液體表面張力模型一致.

當直線AB所在的區域有電介質存在時，這時直線AB兩側相互作用的對象不僅只有自由電荷，電介質表面的極化電荷也要計入.但是這里應該注意的是，在我們的模型中，極板上自由電荷才是可以自由“流動”的，最終極板的運動是自由電荷這種“流體”的張力的表現，所以此時的張力應該是直線另一側自由電荷和極化電荷對本側自由電荷的斥力.

設極板上自由電荷的面密度為σ，則凈電荷密度為

電介質上極化電荷面密度為

所以在有電介質的情況下，直線AB左側極板上自由電荷受右側總電荷的庫侖作用力為

F=Fnet-net-Fp-net=

(7)

這里Fnet-net表示直線兩側極板上凈電荷產生的庫侖張力，Fp-net表示直線一側電介質上極化電荷與另一側總電荷(即凈電荷)的庫侖作用力，兩者相減則得到直線一側的自由電荷受到另外一側總電荷的作用力，即我們需要的“流體張力”，這與式(6)的形式相同.

經過上面的推導可知，有電介質的部分和沒有電介質的部分極板上表層電子的庫侖張力是不一樣的，那么當這兩種表面層接觸時，斥力大的表面層將擴張，斥力小的表面層將縮小.這正是極板間的電介質向極板內部運動的原因.

在部分插入電介質的極板電容器中，有電介質和沒有電介質的部分相當于兩種自由電荷薄層，它們有不同的“張力系數”，分別由式(6)和式(7)表示.在極板間的電勢差一定時

所以有電介質存在的部分面積將擴張，沒有電介質存在的地方面積將收縮，這種趨勢導致電介質受到的合力為

(8)

這正是平行板電容器內電介質受到的指向電容器內部的力公式.這種方法將電介質受到的力歸結為電容器極板上自由電荷所受的力，該力只與自由電荷面密度和電解質的介電常數相關，而與電介質邊緣怎樣無關.

3　平行板電容器內電介質受力問題其他分析方法

方法1： 用虛功原理求解

如圖2所示，教材中根據虛功原理[1]，假定平行極板間電壓不變時

(9)

又

(10)

其中σ0為電容器極板上沒有電介質區域的自由電荷面密度，σ為電容器極板上有電介質區域自由電荷面密度，代入即可得到式(8).

圖2　虛功原理求極板內電介質受力

方法2:從邊緣效應的角度求解[2]

該方法將電介質受到的合力歸結為電場對極化后電介質內電偶極子的作用力，如圖2所示，電介質上單位體積內受到的作用力可以表示為

(11)

則體積為V的電介質受的總力是

(12)

其中P為介質極化強度矢量，P=(ε-ε0)E.利用恒等式E2=2(E·)E，得

(13)

在電容器外部E=0，內部為

這里σ為有電介質存在部分自由電荷面密度.積分得

(14)

與式(8)結果相同.

方法3:通過研究束縛電荷受力求解[3]

該方法認為電介質受到的作用力來源于電介質表面束縛電荷受到的橫向電場力作用(垂直于極板方向的力相互抵消)而不需要考慮邊緣效應.在不考慮邊緣效應計算電介質受力時，只需考慮電介質上極化電荷受極板上總自由電荷的作用力.考慮到有極板存在處的自由電荷對極化電荷的作用力為零，因此只需考慮圖2中沒有電介質區域自由電荷對電介質上極化電荷的作用力.

設圖2中電介質在x軸上的邊界為x=x0，那么根據式(3)，在x

其中σ0為電容器中沒有電介質區域的自由電荷密度.由于電介質上極化電荷的密度為

所以電介質受到的總的作用力為

(15)

上式積分時利用了x0?d的關系.這里得到的結果與式(8)相同.

4　不同模型對比和統一性剖析

本文提出的表面張力模型賦予電介質受力完全不同的物理圖像，給出了力的最直觀解釋.它是說自由電荷的“流動性”會帶動電介質運動，與極板上均勻電荷、極板間勻強電場直接相關，而與邊緣效應毫無關聯.或者說，本文提出的模型認為，極板的受力完全是電容器內均勻分布的電荷的影響，與邊緣效應無關，或者其影響完全可以忽略，這與方法3的觀點一致.與之相反，方法2則是說電介質的運動是電介質極化的不均勻引起的，或者說就是電容器內部和邊緣電介質被極化的差異引起的，就是所謂的邊緣效應.

圖3　束縛電荷在電場中受力的微觀機制

其實深入分析會發現方法2和方法3是等價的，圖3展示了它們的統一性.這是一塊電介質在電場中極化后的情形，C為電介質的邊界.方法2把電偶極子作為研究對象，即把矩形B內的電偶極子作為研究單元，因此單位體積電介質受力可以用式(11)來表示，電介質所受總電場力為所有電偶極子受力的矢量和.而在均勻電介質內部，極化強度矢量P滿足P=χeε0E，介質內無自由電荷時，·E=0，因此

-ρP=·P=0

(16)

即介質內部凈極化電荷為零，如圖3中矩形A區域所示.所以介質內部受外場的作用力為零.只有在介質的非均勻處，如介質表面，才有凈束縛電荷，電介質所受電場力作用等效于介質表面的束縛電荷受電場力作用，如圖3中矩形C區域所示.矩形C區域內凈束縛電荷為零，矩形外表面才有束縛電荷分布.因此，方法2和方法3都將電介質所受的力歸結為電介質在電容器中極化后與電容器極板上自由電荷的相互作用，只是考察的方式不同.

雖然它們的考察方式不同，但是它們對電介質在電容器中所做的近似卻是相同的.方法2也只用到了電容器內部的電介質被均勻極化，外面的無極化這一性質；方法3只需假定電容器內部的電介質被均勻極化.

電容器內部的電介質表面極化出均勻的束縛電荷是這些模型的必然要求，這使得我們在研究這個問題時很容易跨過邊緣效應而注意到電容器內部物理量的變化，如方法1和方法2.不過虛功原理并沒有否定該力是由邊緣效應引起的，因為在這個虛過程中系統能量變化并沒有引起邊緣部分能量的變化，只是中間理想部分的區域發生了能量變化，那么直接采用理想電容器模型的虛功原理必然是正確的[4].

5　總結

本文首先采用表面張力模型解釋了平行板電容器內電介質受力的來源，再給出了針對該問題從不同角度出發的3種不同的方法，其中虛功原理最具實用性和有效性，很簡單地給出力的表達式，其余3種方法則是從力的角度對力的來源做了探索.表面張力模型和方法在觀點上是一致的，但區別在于表面張力模型完全不考慮邊緣效應，直接與電容器內均勻面電荷和勻強電場相關聯，給出了該力在形式上最直觀的解釋.方法2和3雖然看似毫不相關，本文證明了它們的等效性，發現它們對電介質在電容器中所做的近似是相同的.

1胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學與電動力學.北京:科學出版社，2010.84

2江濱浩.作用于平行板電容器中電介質的力.電工教學,1996,16(2):34

3余耀令.對平行板電容器內介質受力計算的異議.大學物理，1998(11):25

4荊亞玲.關于平行板電容器內介質受力的進一步討論.大學物理，1991(5):17

李帥龍(1993-)，男，在讀本科生.

李智華(1976-)，女，教授，博士生導師，從事激光與物質相互作用方面的研究.

2016-04-12)