用與不用不一樣

張志勇

【摘 要】發揮技術的數學教育價值，離不開技術與數學的深度融合。可以從情境創設、實驗探究、流程再造三個方向探索融合途徑。在可視化中理解數學本質，在數學活動中提升思維水平，在互動環境中變革學習方式。導數運算、復合函數等教學案例告訴我們，用與不用不一樣，而HP Prime以其手持特點、符號計算優勢、無線環境構建等，恰可彰顯技術于數學教學的獨有價值，正成為學習和解決數學問題的強有力的工具。學生視角可探索在技術浸潤中自覺尋求技術幫助，教師層面則關注知識境脈、進行活動進階設計，課程維度離不開技術潛力的挖掘和課程資源的開發。

【關鍵詞】技術融合；教學策略；HP Prime；CAS系統；探究實驗

【中圖分類號】G434 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2016）01-0063-03

技術與數學融合的途徑與方向

數學學科獨有的形式化抽象特征，如精深的數學概念、煩瑣的演算過程、復雜的數形關系和多變的幾何位置關系等，往往由于教與學手段的限制而令人“望而卻步”。引入學科軟件于數學教學，便是要變革傳統教學“重形式定義，輕意象表征”的弊端；進一步地，從整合走向融合，需要實現圖形圖像、符號表達與數值處理間的多元表征聯系，需要嚴謹、精確和形式化的數學活動過程描述，需要構建與數學研究相適應的、豐富的探索性認知環境。

途徑1：情境創設——可視化中理解數學本質

教學實踐表明，數學過于形式化的表達反而看不清數學知識的本來面貌，學生對抽象知識的內部表征應該以豐富、獨特、具體的形象而存在，因此理解是學好數學的關鍵。“說一個數學概念、方法或事實是徹底地理解了，是指它和現有的‘智力網絡’是由更強的或更多的聯系聯結著”。HP Prime集數、形、表于一屏，形成方程、圖形、數據、模型（函數）、算法等的多元關聯，實現代數、幾何、數據、算法等不同數學分支的真正融合。更重要的是，它能創設“多元聯系表征”的學習情境，在符號語言與表格、圖象間形成有效的理解通道，從而幫助學生洞察所學數學內容本質，尋找解決復雜問題的途徑。

案例——分段函數及導函數的可視化實現

對于分段函數，初學者往往為其形式所困擾，很難認同“這是一個函數”。有了圖形計算器，可以讓學生自行繪制函數圖象，當他們見到“廬山真面目”（圖1）后自然對“整體”有了切身感受，其后的單調性、值域也隨之“水落石出”。如果再借助HP的函數分析功能，必然可以演繹別樣的精彩。又如導函數的學習，如能創設圖2所示的可視化情境，通過原函數 y=（x2-2x）ex與導函數圖象的對比觀察，可以清楚地發現原函數的零點與導函數的極值點間的對應關系，這樣的學習效果顯然非傳統紙筆運算所能比擬，可謂“用與不用不一樣”。

事實上，HP內置有18個應用APP（如函數、高級繪圖、幾何學、參數等）和400多種操作命令，能夠很好地實現重要數學概念或活動過程的符號（符號視圖Symb）、圖形（繪圖視圖Plot）和數值（數字視圖Num）的表征與關聯，促進“頓悟”與理解。

途徑2：實驗探究——數學活動中提升思維水平

數學教學的目的不僅是幫助學生理解、掌握數學知識，更重要的是發現知識、探尋規律。而實驗無疑是豐富學生體驗的重要手段和路徑，在對實驗素材進行數學化操作中產生歸納假設，在分析、修改、驗證猜想中形成認知體驗，從而實現在做（建構）數學中學（理解）數學、用（解釋）數學。圖形計算器最大特點是“手持”，可以讓學生的數學學習和研究變得隨時隨地。

案例——復合函數的探究情境的構建

復合函數是在函數概念的基礎上以形式語言直接定義的。許多學生最初只在字面上靠背誦接受這個定義，在意象上認為就是把兩個函數“套”起來，并沒有真正理解“復合”的意義。在HP的支持下，我們可以構建圖3所示的“模塊化研究”的實驗環境，其中F1（x）、F2（x）為基本函數，F1（F2（x））、F2（F1（x））則為相應的復合函數（圖例中，F1（F2）=sin3x 、F2（F1）=sin-（x3），它們的內、外函數正好顛倒）。應用時只要改變基本函數的輸入，便可看到基本函數的變化對復合函數圖象的影響。有了這樣的平臺，對學生而言復合函數不再不可觸摸，更可以從定義域、值域、單調性、周期性等角度全面考察內函數、外函數對復合函數的影響。

技術于數學學習活動可以提供演示、驗證和探究三種水平的支持，HP圖形計算器充分體現數學多元關聯、數形相融、動態變化的特點，其教育價值不僅在演示，更利于驗證和探究。通過對由靜到動、微觀到宏觀的知識形成過程的觀察和思考，不僅看到數學外在形式的“美”，還感受到了內在實質的“真”； 獲得的不僅是知識本身，更有在探究發現過程中的情感體驗；可謂“數山有路趣為徑，學海無涯美作舟”。

需要提及的是，HP Prime配以Connkit課堂管理系統、無線模塊，可以搭建課堂無線環境形成“e-數學”實驗室，實現課堂動態管理和師生的即時順暢互動。

途徑3：流程再造——互動環境中變革學習方式

數學教學的目的絕非僅傳授數學知識，更重要的是改善學生的學習方式；只有經歷豐富的數學活動，數學學習才能積累足夠的原始經驗，于是實現“使用技術學習和研究數學”很有必要。

HP Prime的突出特點是視覺化、操控化、瞬時化，可謂立竿見影、一觸即發，特別是它內嵌有符號代數系統（Computer Algebra System，簡稱CAS系統），可以方便實現符號計算功能。將HP Prime交到學生手中，可以成為學習和解決數學問題的強有力的工具，保證“使用技術學習和研究數學”成為可能。在真實體驗指尖上的美妙數學和探究樂趣之余，超越傳統意義上紙筆學習數學的窠臼，實現“人人通過視覺化學習數學”。

案例—— CAS系統中導數運算法則的學習

由于極限概念的缺失，現有教材對和差積商的導數法則只能采用“告訴”的方式，于是教學流程也很機械，只能是法則記憶+法則應用。有了CAS系統，則可實現流程再造：具體事例→歸納法則→識記應用，圖4為積的導數法則發現場景。因為有具體事例的支持和發現過程的展示，規則（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）更易于“深入人心”。

事實上，計算機計算包括數值計算和符號計算（即CAS系統）兩種，前者是近似計算，后者則是沒有舍入誤差的絕對精確的計算。從算法上講，符號計算才是真正的數學，無論是輸入、處理還是顯示，它能更好地與注重形式化、符號化的數學學科相匹配，滿足在計算器上推導數學公式的需求。如對表達式進行因式分解、化簡、微分、積分、解代數方程、求解常微分方程等。圖5中的第3行實現的是因式合并，第4行為求解函數零點，第5行、第6行則是將解析式賦值給F1（x）、F2（x），繪制圖象后即可得到圖2；進而滿足學生在更高抽象層次上的思考與探究，使形式化的符號也能成為學生高層次的數學認知基礎。換言之，帶CAS功能的圖形計算器本身就是數學，我們可以實現“向技術學習數學”，從而做過去課堂中完全做不到的事情。

實現融合的教學策略和建議

應用信息技術固然可以改進我們的課堂，但教育技術在數學教學中的優勢并不是天然就有的，因為教育技術本身只是工具，實現技術與數學教學的深度融合、迎接數學教學革新的重要機遇，需要我們有開闊的數學視野，真正從促進學生對數學本質的認識和數學思想方法的感悟出發去應用技術。

策略1： 學生視角——技術浸潤，自覺尋求技術幫助

“工欲善其事，必先利其器”。只有讓學生接觸技術，形成對技術的親近感，知道技術能干什么，才能在需要時想得到“請技術幫助”；也唯有將技術交到學生手中，接受技術的真正浸潤，才能最大限度地發揮技術的作用，感受“技術不僅是工具，也是數學的一部分”。

隨時隨地“學”“做”“用”數學是HP的設計理念之一。以其為媒介可以為學生的數學學習提供“應用套件”，生動地展示數學對象的動態變化過程、實現動態與靜態間的適時切換；更為學生創設可完全自主移動學習的新環境。在這一無圍墻學習環境中，學生自主地在“問題空間”里進行探索，看他們以往只能“想象”的數學，“做”他們以往不能做的數學，為數學學習的形式和空間帶來了新的氣象和新的內涵。

策略2：教師層面——關注知識境脈，設計活動進階

對于教師而言，首要的是用技術提高信息技術操作水平，否則就不知道在什么地方可以用，既要了解其在教學中的優勢與缺陷，又要防止“功能固著”。但教師學會技術，并不意味著就會自然而然地把技術融入自己的教學，教師應用技術進行有效教學的前提是，教師對技術融入教學的境脈（Context）及復雜性保持敏感，深刻理解技術與學科教學之間相互作用的微妙關系，進而創造性地理解和賦予技術在課堂教學中的功能和價值。

我們知道，信息技術的應用是一個劣構問題，因此更好地理解數學教學中的信息技術，要求關注“技術一教學一內容”三類知識之間的關聯，而它們交疊部分TPACK（融合技術的學科教學知識）正是應用技術時應當指向的核心。一方面，需要關注知識境脈的整體性，充分考慮具體內容的教學及課堂情境，始終圍繞技術知識與學科教學知識的復雜互動，來設計開放式的、靈活的任務，以幫助學生理解數學本質、促進學生高水平思維參與。另一方面，需要關注活動設計的進階性，通過豐富多樣、層層遞進的活動設計幫助學生積累足夠的原初經驗，提供即時驗證、反饋環境，在增進理解、強化應用和培養創新能力上下功夫。我們不能止步于學生的淺層學習和機械學習，而要適應培養學生高階思維的教學需求，保持學生應有的數學思考水平和強度，在促進知識水平的垂直增長上下功夫。

策略3：課程維度——挖掘技術潛力，開發課程資源

發揮技術的教育價值、實現技術與數學的真正融合，需要我們從具體教學內容出發，研究學生的認知難點和技術優勢，進而設計環節架、設橋梁以啟發思維，或理解數學內容，或探索、發現和解決問題；需要明晰技術具體用在哪里、如何使用、為什么要使用。顯然并沒有多少固定程式和現成資源可直接應用，需要我們自己來挖掘技術、開發資源，如前面提及的復合函數的“模塊化研究”、導數運算法則的教學流程再造等，便是對技術在課堂教學中的功能和價值的一種理解和賦予。

借助Connkit課堂管理系統、無線模塊所搭建的HP e-數學實驗室環境，教師可以預設實驗素材（圖6為三角函數圖象生成實驗，圖7為橢圓的中點弦軌跡探究實驗）即時發送學生，支持學生開展數學實驗活動，在“創設情境─活動與實驗─討論與交流─歸納與猜想─驗證與數學化”中理解數學、發現知識。

圖6 圖7

交互式、多樣化實驗學習環境的構建，離不開教師的精心設計和斟酌思考，而實現用“火熱的思考”融化“冰冷的美麗”的教學任務，也離不開對“技術”“設計”和“學習”的意義的不斷追問和深刻理解：技術不是機械刻板的工具，而是極具可塑性的“社會的行動者”；學習不是“一錘子買賣”和簡單接受的過程，而是個體發展轉換性思維的過程。

技術融入教學，要求在教育和技術之間自由穿梭，真正把信息技術看成與黑板和粉筆一樣的教與學工具，切實改進傳統數學教學的不足；要求實現技術與課程的流暢互動，真正促進學生對概念和數學問題的整體理解，幫助其洞察內容本質，尋找解決復雜問題的途徑。

項目資助：江蘇省教育科學“十二五”規劃2015年度重點課題《高中數學可視化教學的實踐研究》，編號B-a/2015/02/010。

（作者單位：江蘇常州市第五中學）