小學數學教材中的化歸法及其教學方法

曹鵬

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需求、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。”[1] 化歸法是最重要、最基本的數學思想方法之一?；瘹w即轉化歸結的意思，化歸法就是把當前有待解決的問題，通過轉化，歸結為已經解決或容易解決的問題[2]。匈牙利著名數學家羅莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》中寫到“數學往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷對它進行變形，直到把它轉化成能夠解決的問題”。[3]我國關于化歸法最早的研究，起源于東漢時期成書的數學巨著《九章算術》，書中很多問題的解答都體現了化歸法。

縱觀小學數學教材，化歸法貫穿于一年級到六年級始末，有著廣泛應用?；瘹w法符合小學生的思維能力及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握。化歸法有利于小學生形成完整的知識結構，從而提高自學能力。學生領會了化歸法后，不僅能解決學習上碰到的問題，更能在生活中靈活運用。[4]如何進行化歸法的教學，提高學生分析和解決問題的能力呢？本文在系統梳理和總結人教版小學數學教材中蘊含的化歸法的基礎上，對化歸法進行分類，并提出一些化歸法的教學策略。

一、 小學數學教材中的化歸法分類舉隅

化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的和基本的知識為基礎，將未知的化為已知的、復雜的化為簡單的、抽象的化為具體的、一般的化為特殊的、非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。鑒于小學生的年齡和學習特點，小學數學教材中的化歸法主要分為三類。

1.化抽象為具體

化抽象為具體，通俗地說就是把抽象枯燥的數學概念轉化為具體形象的東西來理解的方法。這種方法在小學數學教材中普遍存在。眾所周知，數學是研究數量關系和空間形式的科學，它的研究對象都是抽象的。比如數，現實生活中是沒有1、2、3等數存在的，它是人腦抽象的產物，但一年級學生在認識100以內數的時候，并沒有遇到障礙和困難，而是非常自然地接受和認識了這些數，這是因為教材已經用化歸法把抽象的數轉化為生活中具體的物體個數了。教材用大量生動形象、多姿多彩的圖片，展示了很多生活中的實物。學生們從3只小猴、3個桃子、3塊橡皮擦等很多具體的個數為3的物體中認識了數“3”，把抽象的數“3”轉化為具體物體的個數。這就是最樸素、最簡單的化歸法。再比如圖形，現實生活中也不存在長方形、正方形、平行四邊形等幾何圖形。教材提供了一些生活中長方形、正方形、平行四邊形等形狀的實物，比如四年級上冊，教材用圖片給出了生活中的樓梯、窗格、停車位等，并要學生自己說說生活中包含平行四邊形的物體，從這些物體中發現平行四邊形的特征，并歸納概括出平行四邊形的概念。實際上這也是化歸法，化抽象的幾何圖形的認識為具體的生活實物的認識。

2.化未知為已知

化未知為已知就是把未知的數學問題轉化為已知的數學問題來解決。這種方法在“數與代數”和“圖形與幾何”兩大領域應用非常之多。

在數與代數領域，尤其是數的運算中，隨處可見化未知為已知的化歸法。20以內的退位減法和20以內的不進位加法都可用化歸法計算解答。如計算15減9（退位）時，可以通過將15拆分成10加5，再用10減9得1，最后計算1加5，進而把未知的15減9的計算問題轉化為已知的1加5的問題。

再如計算12加6時，可以通過將12拆分成10加2，再用2加6得8，最后計算10加8得18。通過巧妙的數的拆分，將未知的20以內的退位減法轉化為已知的10減一位數和一位數加一位數的計算，將未知的20以內的不進位加法轉化為已知的一位數加一位數和10加一位數的計算。整十數加減整十數也可轉化為已知的一位數加減一位數來計算。將幾百幾十加、減幾百幾十的計算轉化為已知的兩位數加、減兩位數的計算。同分母分數的加減法轉化為分子的加減法，即已知的整數的加減法。

在圖形與幾何領域，化未知為已知的化歸法應用也很多，主要集中在圖形的測量。在求平行四邊形面積時，可利用割補法將平行四邊形的面積化歸為已知的長方形的面積來計算。[5]而三角形的面積又可利用割補法或拼湊法將其化歸為已知的平行四邊形面積來計算。而梯形的面積也用割補法化歸為平行四邊形面積或三角形和平行四邊形的面積之和來計算。這一系列平面圖形面積的求法十分精妙地體現了化未知為已知的化歸法思想。長方形的面積作為最初的已知條件，在長方形面積基礎上求出平行四邊形面積，在平行四邊形面積基礎上求出三角形面積和梯形面積，或者在平行四邊形面積和三角形面積基礎上求出梯形面積。這種化歸法層層遞進，環環相扣，讓學生把這一系列平面圖形面積的推導作為一個有機整體來看待，從而形成一個關于面積的完整的知識結構。

3.化復雜為簡單

化復雜為簡單就是把復雜的、困難的問題轉化為簡單的、容易的問題來解決。這種方法在數與代數、圖形與幾何領域皆有應用。兩位數和三位數的加減法計算可以轉化為簡單的20以內的數的進位加法（退位減法）。異分母分數的加減法通過通分，轉化為簡單的同分母分數的加減法。形如5x+3=18的一元一次方程的求解，利用等式的性質，將其化為5x=15的形式，再利用等式的性質，將其化為簡單的x=5的形式，從而求得其解。求多邊形的內角和，可通過作輔助線，將多邊形拆分成很多個三角形，從而將多邊形的內角和轉化為多個簡單的三角形的內角和來計算。求有些不規則平面圖形的面積，學生會遇到一定的困難，因為沒有關于不規則圖形的面積計算公式，但可以通過分割將不規則圖形的面積分割為多個簡單的規則圖形的面積之和。

二、 滲透化歸法的課堂教學策略

化歸法作為一種隱性的數學思想方法，隱含在小學數學教材和教學中。要讓學生領略并掌握化歸法，需要教師系統挖掘和整理教材中蘊含的化歸法，精心準備化歸法的教學設計，在課堂教學中有效滲透化歸法。滲透劃歸法的教學策略有很多，要根據不同的學習內容和教學環節選擇合適的教學策略。下面結合相關的教學案例，就課堂教學的幾大環節，談一談化歸法的課堂教學策略。

1.在復習環節用復習為化歸法埋下伏筆

化歸法是把待解決的問題轉化為已經解決的問題，為了化歸法能順利實施，就一定要復習相關內容。例如，對于一年級下冊第六單元的 “兩位數加一位數（不進位）、整十數”的新授課，就要復習一年級上冊第四單元“整十數加一位數”的內容。具體來講，為了講授“25+2=”和“25+20=”，在創設情境引入新知識以前，教師可用PPT或者小紙板出示如下算式讓學生回答 “25=20+ ”“5+2= ”“20+7= ”“40+5= ”目的是為了提示學生可以通過拆分，把兩位數加一位數（不進位）、整十數化歸為已知的整十數加一位數來計算。

為了化歸法的順利實施，有時只需復習上一節課或者上一個單元的相關內容，有時需復習前幾個單元或者前幾冊的相關內容。這種復習策略對教師的教材整體把握能力提出了較高的要求。教師必須熟悉一到六年級的教材，把前后知識點之間的聯系了然于胸，用起化歸法時才能游刃有余。

2.在引入新知環節用故事講述化歸法

在引入新知環節，可以用有趣的故事來講述化歸法。例如，在講授二年級上冊第二單元100以內數的連加這一知識點時，可以用我國古代曹沖稱象的故事引入新課，并且把石頭的重量用整數來表示。故事講完了，提出問題：曹沖是用什么辦法稱大象的？然后引導學生發現，曹沖實際上是把有待解決的較難的大象體重問題轉化為較易解決的石頭重量和的問題，從而轉化為整數的連加問題來解決，進而導入新課。再例如，學習四年級上冊第四單元“三位數乘兩位數”的內容時，可以為學生講述德國數學王子高斯在小時候計算“1+2+…+100”的故事。引導學生發現，高斯就是把1到100這100個數的連加，轉化為50個101的和，從而把復雜繁瑣的100個整數的加法問題轉化為簡單的整數乘法問題。用古今中外生動形象的故事引入新課，讓文學融入數學，實現文理交融，不僅讓學生興趣盎然，而且讓學生對化歸法有非常感性的認識，輕松愉快地接受化歸法。

3.在講授新知環節用動畫演示化歸法

在認識了等腰直角三角形的特征后，為了讓學生對等腰直角三角形有更深刻、直觀的印象，可以用動畫演示古希臘數學家泰勒斯測量古代埃及金字塔高度的過程。古代埃及金字塔聞名于世，但由于太高，在泰勒斯之前，沒有人能測量它的高度，那么泰勒斯是如何測量的呢？泰勒斯站在烈日下，隔一段時間就量一下自己的影子長度，等到他的影子長度恰好等于他身高的時候，他就立即命人去量金字塔的影子長度，這樣就得到了金字塔的高度。通過動畫演示，讓學生發現，泰勒斯此時的身高和他的影子長實際上是一個小等腰直角三角形的兩條直角邊的邊長，金字塔此時的塔高和它的影子長實際上是一個大等腰直角三角形的兩條直角邊的邊長，引導學生發現：通過等腰直角三角形的性質，泰勒斯把很難測量的金字塔的高度轉化為容易測量的金字塔的影子長度。在學習圓的面積時，可以用動畫演示我國古代數學家劉徽的“割圓術”。劉徽說：“割之彌細所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體無所失矣。”即把未知的圓的面積轉化為已知的圓的內接正多邊形的面積來計算。在讓學生理解化歸法的同時，又了解了極限思想，可謂一舉兩得

4.在課堂練習環節揭示化歸法

在課堂練習環節，可以選取一些典型的案例來揭示化歸思想方法。六年級上冊第9單元總復習中有一道有名的數學趣題——雞兔同籠問題[6]，就是一個可以用化歸法解答的典型案例。雞兔同籠問題是大約1500年前我國古代數學名著“孫子算經”中記載的，用現代語言翻譯就是：今有雞兔同籠，共35個頭，94只腳，問雞兔各有多少只？解決這個問題的方法很多，其中方法之一就是化歸法。在出示這個問題之前，我們先讓學生解決另一個問題——買書問題：用100元買4元一本的書和8元一本的書共17本，兩種書各買多少本？解法之一：假設所有的4元書都漲價成8元，則17本書的總價錢變為17×8=136（元），比原來的總價錢多出136-100=36（元），這多出的36元是所有的4元書漲價為8元書所漲的總價錢，每本4元書漲價8-4=4（元），故4元書有36÷4=9（本），故8元書有17-9=8（本）。接著再解決“雞兔同籠問題”。我們把兩道題一對比，就會發現，雞兔腳的只數相當于書的價錢，雞兔的數量相當于書的數量，雞兔腳的總只數相當于書的總價錢。我們可以用化歸法，把雞兔同籠問題轉化為買書問題。假設所有的2腳雞都變成4腳雞，則35只動物的總腳數變為35×4=140（只），比原來的總腳數多140-94=46（只），這多出的46只是所有的2腳雞都變成4腳雞所增加的腳的總只數，每只2腳雞的腳增加4-2=2（只），故2腳雞有46÷2=23（只），故4腳兔有35-23=12（只）。

5.在課后習題環節中消化和鞏固化歸法

教師要精心設計課后相關習題，對化歸法的教學進行有效鞏固。例如，在課堂解決了買書問題和雞兔同籠問題后，我們可以給學生布置一些類似的課后習題，如：今有大小兩種鋼珠同盒，共30顆，大鋼珠每顆11克，小鋼珠每顆7克，共266克，問大小鋼珠各多少顆？讓學生在課后自己嘗試用化歸法來解決問題。通過課后習題，學生可以很好地消化和理解化歸法。

化歸法作為一種重要的數學思想方法，貫穿于小學、中學和大學的全部數學課程中。在學生數學啟蒙的小學階段，要把化歸法的教學，變成春風化雨、潤物無聲，讓學生在學習數學知識的同時，感受化歸法的魅力，埋下化歸法的種子，為后續學習化歸法打下良好的基礎。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社.

[2] 金成良.化歸法與遞推法.江蘇教育[J] .1995（7）.

[3] 潘勇.數學化歸思想方法及其教學探研[D].南京：南京師范大學碩士學位論文，2004.

[4] 陳旭飛.淺談如何培養小學生的劃歸思想[J] .教育與教學，2014（12）.

[5] 沈華斌，費華.“化歸”思想及其在小學數學教學中的滲透[J] .教學新探，2010（2）.

[6] 盧江，楊剛主編.義務教育課程標準實驗教科書·數學（l-6冊）.北京：人民教育出版社.

【責任編輯：陳國慶】