七年級幾何證明學習“難關”的成因及解決策略

陳天國

(甘肅省嘉峪關市第四中學，嘉峪關　735100)

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七年級幾何證明學習“難關”的成因及解決策略

陳天國

(甘肅省嘉峪關市第四中學，嘉峪關735100)

教師應重視對七年級學生的幾何入門教學，充分認識到學生學習幾何證明的困難，并積極探索研究幾何證明教學的良好策略，鼓勵學生動手操作，注重培養學生的幾何語言表達能力和書寫格式，培養學生的邏輯推理能力，激發學生學習幾何的興趣，突破幾何證明“難關”．

幾何證明邏輯推理突破難關

幾何證明不但是初中數學的重點，而且也是學習的難點．在多年的幾何教學中發現，學生剛進入初中階段的學習，往往套用學習小學數學的方式，很難適應初中幾何題目對抽象思維能力的要求，從而使幾何證明成為了很多七年級學生學習數學的一道“難關”．

一、問題表現

通過對學生課堂、作業及測試表現出來的問題進行分析歸納，學生學習幾何主要存在以下四方面困難．

1．幾何邏輯推理難．學生對定義、定理、公理、判定、性質、法則等理解膚淺，全憑感性認識，思維不嚴謹，推理不嚴密，不會靈活運用它來解決或證明一些數學問題，以致無法形成較好的邏輯推理能力．

2．幾何語言表述難．幾何證明過程講求說理的嚴密性和思維的邏輯性，而正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的七年級學生，受思維的限制，往往很難用專業而嚴密的語言把證明過程表述清楚，使得證明過程就像一道無法逾越的“城墻”．

3．幾何證明過程書寫難．有些學生知道如何去證明，但說不出理由，又不知道如何下手，對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫．或者條理混亂，分不清條件的主次，理不出步驟的因果關系，證明過程缺乏邏輯；或者條件多余，不管有用沒用，把已知條件全都羅列上，反復糾纏；或者條件缺失，三言兩語就寫完了，讓人看了摸不著頭腦．

4．讀圖、識圖、畫圖難．不會將那些較為復雜的幾何圖形看成是由一個個簡單圖形組合而成的“復合”圖形；還沒有建構起圖形與數量之間的關系，不會根據幾何圖形聯想到相關的數量關系，挖掘隱含條件；不知道給出的已知條件有什么用處，不能把文字內容和幾何圖形有機聯系在一起；不會根據已經給出的幾何語言，畫出正確的幾何圖形．

二、原因分析

1．學習內容跨度和難度加大了，而學生的學習方法還沒有變．

雖然在小學一至六年級都安排有簡單的幾何知識內容，但小學的幾何學習主要是通過實物和模型辨認簡單幾何體和平面圖形，感受圖形變換現象，學習描述物體相對位置的一些方法，進行一些簡單的測量活動，了解一些簡單幾何體和平面圖形的基本特征，進一步學習圖形變換和確定物體位置的方法，進行一些觀察物體、認識方向、制作模型、設計圖案等活動，并側重于面積和體積的計算．而初中平面幾何以研究“圖形性質”為主，不但要得到結論，更要說明道理，要學習大量的幾何概念和幾何定理，要接觸大量的更為復雜的幾何圖形，需要觀察圖形的特點，認識圖形的性質，還要用幾何語言對命題進行條理清晰的論證等．面對復雜的圖形和推理，學生的學習方式沒有發生變化，還很不適應，這是學生認為幾何難學的原因之一．

2．思維方式的要求變了，而學生的思維方法還沒變．

小學六年的學習，多是以直觀手段再現知識，注重強調動手操作，多以感性認識為主，所認識的也只是簡單的幾何形體和初步的空間觀念．即便是到了小學高年級，學習平行四邊形、梯形、三角形面積計算等這些相對較難的內容時，也主要是通過圖形的割補去解決，而不是依據嚴格的邏輯推理獲得．初中平面幾何不但要“知其然”，還要“知其所以然”，要從邏輯關系上來認識圖形的性質．在這一學段學生將探索基本圖形的基本性質和相互關系，要通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例；在探索圖形性質中，發展合情推理，要學習有條理地思考與表達，能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據；要從幾個基本事實出發，證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，體會證明的必要性，理解證明的基本過程．七年級學生在學習幾何證明的過程中，其實正在經歷從“直觀”到“論證”的轉軌，在思維方式上就需要解決從形象思維到邏輯思維的過渡，這就存在一個思維上的跳躍，這是學生認為幾何難學的又一重要原因．

三、解決策略

針對學生學習幾何的上述困難，教師應當把嚴密的邏輯推理和合情推理有機地結合起來，通過猜想、觀察、歸納等合情推理，讓學生消除對幾何學習的恐懼心理．

1．培養學生初步掌握圖形、文字語言與符號語言的互譯能力．

幾何語言通常表現為圖形、文字和符號三種形式，教學中不僅要讓學生建立這三種幾何語言，還要培養學生對這三種語言相互轉化的能力．由于這三種語言的特點不同，在幾何教學中各自發揮的作用也不同．圖形語言形象、直觀，能幫助學生認識問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對圖形本身及圖形中所蘊含的結論能精確地予以描述、解釋，對幾何的定義、公理、定理、命題等內容能精確地予以表達；符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象，具有更強的抽象性．在三種語言中，符號語言是幾何初學者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎．因此，教師在教學過程中應不失時機地訓練、培養學生對這三種語言相互轉化的意識和能力．幾何的證明格式通常用“∵”和“∴”這種形式的符號語言進行推理論證．如在講解“兩條直線都和第三條直線垂直時，那么這兩條直線的關系”時，先引導學生動手畫圖、觀察、得到結論(相等)，然后教師把正確的幾何語言板書出來，即∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．最后讓學生理解清楚后再模仿操練．在初步學習的過程中，推理的過程步驟不必過多，學生能達到一兩步推理就很不錯了．但是，對文、圖、式的表示必須要條理清晰．這樣，把教學過程變成學生自己動手操作、發現規律的過程．既可讓學生感受到發現探索知識的快樂，又可激發學生的學習興趣．應將文字語言圖形化、符號化的意識貫穿幾何教學的始終，只有這樣，才能為學生幾何證明的學習建立良好的基礎．

2．引導學生養成良好的學習習慣．

重視課前預習，對學好幾何至關重要．引導學生在預習過程中，對課本中的例題、定義、定理要精讀．碰到看不懂的，要先做個記號，上課時結合老師的講授，進一步閱讀理解，從而掌握重點、關鍵，解決預習中的疑難問題．勤動腦，勤動手，踴躍參與問題的討論，熟記一些幾何習慣用語和模式，熟悉幾種常見幾何語言的運用和敘述，邊模仿邊學習，直到能規范地用幾何語言敘述、表示和畫圖．課后復習是課堂學習的延伸，引導學生做作業之前，一定要先復習課本．當然，做適量的習題也是必要的，若能點滴積累，善于及時歸納總結，又能熟悉解題的常見著眼點，學好幾何只是一個時間的問題．

3．從“說”做起．

自己給自己講，自己給別人講．先從簡單的入手．例如，在右圖中,已知a∥b，∠1=85°，則∠2=______，∠3=______，∠4=______，要求學生說出每個角的度數，并說明理由．“說”可以是自言自語，可以是同桌交流，也可以是小組討論．總之，找到傾訴的對象，把自己想到的全部說出來．課堂上，教師要給學生提供“說”的機會，給學生創造能量釋放的空間和時間，不能壓制，同時應予以規范和指導，幫學生將自己的想法有條理地、層次分明地表述出來．

4．由說到寫．

能說了，會說了，再將這些話語記錄下來即形成初步的推理．通常學生的推理表達應從簡單的“完形填空”開始，課本為降低難度，許多幾何解答和證明題都采用了這種半命題形式，給出推理框架，預留一些步驟和空格讓學生去完善．

如右圖，如果AB∥CD，∠B=37°，∠D=37°，那么BC與DE平行嗎？若平行，請說明你的理由．探究過程如下：

解：∵AB∥CD(已知)，

∴∠B=∠C(兩直線平行，內錯角相等).

∵∠B=∠D=37°(已知)，

∴∠C=∠D(等量代換).

∴BC∥DE(內錯角相等， 兩直線平行).

教學時，最好采用先分析，再練習的形式．讓學生明白為什么要這樣說理，同時也是向例題學習的好機會，從中感受推理的步驟．特別是怎樣有條理地把道理逐一說清楚，而不是習慣性地先把所有的已知條件交代完，然后直接得出結論這種兩步推理．在初學推理時最好嚴格要求學生，寫出每一步的理論根據．

初中學生的幾何證明內容是不可缺少的，要使學生能夠學好幾何證明，教師要充分認識到初中生學幾何證明的困難，積極探索研究幾何證明較好的教學方法，才能提高幾何證明教與學的效率，才能提高學生的邏輯思維水平，讓學生盡早渡過幾何證明的“難關”．