解決選擇、填空題中抽象函數問題的幾個有效方法

周建萍

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）06-0123-01

在高考數學的選擇題中，有一類問題的求解是學生頗感困難的，即抽象函數問題。由于此類問題中的函數為抽象函數，不像具體的函數有確定的函數解析式，也沒有確定的性質可用，學生解題時往往感覺無從入手。加上此類問題大多綜合考查函數的奇偶性、單調性、周期性等性質，常常還要運用到化歸的數學思想和數形結合的數學思想。本文就近幾年高考題中出現的抽象函數問題，談談解決這類問題的幾種有效方法。

一、賦值法

由于抽象函數沒有具體的函數解析式，求函數值時無解析式可代入，故其求函數值時常采用賦值法。

1.（四川卷）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（ ）

2.（陜西卷）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，則f（-3）等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析：由于函數f（x）是抽象函數，故適合賦值法。

由已知f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0）+2×0×0，所以f（0）=0，令x=y=1得f（2）=f（1）+f（1）+2×1×1=6，f（3）=f（2）+ f（1）+2×2×1=12，令x=3，y=-3得f（0）=f（3）+f（-3）+2×3×（-3），因為 f（0）=0，所以f（-3）=6.故選C

二、利用函數的性質法

抽象函數問題大多涉及函數的奇偶性、周期性，單調性等性質，又由于其為抽象函數，不像具體的初等函數有確定的函數性質，因而解決這類問題必須從函數性質的定義出發，運用化歸的數學思想和數形結合的數學思想等解答問題。

3.（全國卷Ⅰ）函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則（ ）

A.f（x）是偶函數 B.f（x）是奇函數

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函數

解析：本題中涉及函數圖像的平移，函數的奇偶性、周期性等性質，加上函數f（x）是抽象函數，學生往往感覺無從入手。事實上，只要抓住函數圖像的平移，函數的奇偶性質的判定，問題不難解決。

∵ f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）= -f（x-1）

∴函數f（x）關于點（1，0）及點（-1，0）對稱，函數f（x）是周期為T=2|1-（-1）|=4的周期函數。f（-x-1+4）=f（x-1+4），即f（-x+3）= -f（x+3），即f（x+3）是奇函數。故選D。

三、構造函數法

4.（2015課標卷Ⅱ12題）函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

四、數形結合法

5. （山東卷）已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-4）= -f（x），且在區間[0，2]上是增函數，若方程f（x）=m（m>0）在區間 [-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=________.

解析：本題綜合了函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性，以及由函數圖像解答方程問題，但因為函數是抽象函數，故運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答。

因為f（x）為定義在R上的奇函數，滿足f（x-4）=-f（x），所以 f（x-4）=f（-x），由f（x）為奇函數，所以函數圖像關于直線x=2對稱且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函數是以8為周期的周期函數。又因為f（x）在區間[0，2]上是增函數，所以f（x）在區間[-2，0]上也是增函數。如圖所示，那么方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1

答案：-8

抽象函數問題是高考中的?？碱}型，其考查的核心是函數的性質：奇偶性、單調性、對稱性、周期性，有時還有函數圖像的變換等，更由于是用抽象函數來考查學生對這些性質的掌握，所以常常難度較大，學生往往感覺無從入手，這類問題具有一定的綜合性，對學生思維能力要求極高，具有較高的區分度，不經過一定的訓練學生是很難解決這類問題的。