從一道高考題來談論怎樣培養學生的能力

吳志強四川省綿陽中學

從一道高考題來談論怎樣培養學生的能力

吳志強
四川省綿陽中學

中學數學教育是一個很復雜很專業的一門學科。也是中學生感到最難學的一門學科。經過多年的學習，很多學生只知道其然，不知道其所以然。能夠做題，不會思考。提高學生的推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想是我們中學數學老師的主要任務。我們從一個典型題目出發，尋求多種思考方式，多種解題技巧，讓學生在這些思想方法中得到鍛煉，得到提升。

例（2014四川理21題）已知函數 f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R，e=2.71828???為自然對數的底數。

（Ⅰ）設g(x)是函數 f(x)的導函數，求函數g(x)在區間[0,1]上的最小值。

（Ⅱ）若 f(1)=0，函數 f(x)在區間(0,1)內有零點，求a的取值范圍。

解：（1）因為 f(x)=ex-ax2-bx-1所以g(x)=f′(x)=ex-2ax-b 又g′(x)=ex-2a

因為x∈[0,1]，1≤ex≤e所以：

所以函數g(x)在區間[0,1]上單增，gmin(x)=g(0)=1-b

，則1<2a

于是當 00，

所以函數g(x)在區間[0,ln(2a)]上單減，在區間[ln(2a),1]上單增，

gmin(x)=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b

所以函數g(x)在區間[0,1]上單減，gmin(x)=g(1)=e-2a-b

綜上：g(x)在區間[0,1]上的最小值為：

本文重點研究第（Ⅱ）問。

分析一：本問是函數 f(x)在區間(0,1)內有零點，求參數a的取值范圍,即等價于 f(x)的一階導數g(x)在區間(0,1)內至少有兩個零點.借助于第(Ⅰ)問的解答可采用分類討論的方式進行研究。

解法一、設 x0為 f(x)在區間(0,1)內的一個零點，則由f(0)=f(x0)=0可知，在區間(0,x0)上 f(x)不可能單調遞增，也不可能單調遞減。

則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負。

故g(x)在區間(0,x0)內存在零點x1。

同理g(x)在區間(x0,1)內存在零點x2。

所以g(x)在區間(0,1)內至少有兩個零點。

此時g(x)在區間(0,ln(2a)]上單調遞減，在區間(ln(2a),1)上單調遞增。

因此x1∈(0,ln(2a)] ，x2∈(ln(2a),1)，必有

g(0)=1-b>0，g(1)=e-2a-b>0。

由 f(1)=0，有a+b=e-1<2，有：

g(0)=1-b=a-e+2>0，g(1)=e-2a-b=1-a>0.

解得e-2

當e-2

若g(ln(2a))≥0，則g(x)≥0(x∈[0,1])，從而 f(x)在區間[0,1]上單調遞增，這與 f(0)=f(1)=0矛盾，所以g(ln(2a))<0。

又g(0)=a-e+2>0，g(1)=1-a>0，故此時g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)內各有一個零點x1和x2。

由此可知 f(x)在[0,x1]上單調遞增，在(x1,x2)上單調遞減，在[x2,1]上單調遞增。

所以 f(x1)>f(0)=0，f(x2)

綜上可知，a的取值范圍是(e-2,1)。

點評：本問解答的難點之一是恰當運用第(Ⅰ)問的結論，以此搭建“橋梁”，尋找問題之間的聯系；難點之二是怎樣能夠判斷g(ln(2a))的正負，因為這是一超越不等式（不可能求出其解集）.大部分考生思維受阻，折戟在此.該點恰好是考查考生思維的深刻性和靈活性的一塊試金石，只有極少部分的考生能夠運用反證法的方法解決問題，所以創新意識的培養非一時之功。

分析二:思考用函數的方法去研究g(ln(2a))的值域,只要最大值小于零,則問題可獲得圓滿解決。

解法二、由g(ln(2a))=2a-2aln(2a)+a+1-e,a∈(e-2,1)

令h(x)=2x-2xln(2x)+x+1-e,x∈(e-2,1)

所以?x∈(e-2,1),恒有h(x)<0

故對a∈(e-2,1)，恒有g(ln(2a))<0。

點評：要求考生善于挖掘題目的內涵，從而發現問題的本源，找到解決問題的方法.對考生靈活運用所學知識解決相關問題提出了很高的要求。

[反思與小結]

1.優秀的高考壓軸題大多是低起點，寬入口，但落點高，對思維與創新能力有較高的要求。我們只要認真分析與研究，其解法決不只是”華山一條道”，而是“條條道路通羅馬”，這也是優秀高考壓軸題的一個共性。

2.新課程課標下的高考對學生的要求之一是創新能力，是在一次次探索中得到思維的靈動與創新.而高考考試題中的壓軸題則是一座富含奇珍異珠的礦藏，我們應當以科學的態度，嚴謹治學的精神去審視。在高三數學教學中，運用好高考壓軸題，充分挖掘它的典型性、示范性的功能.采用一題多解、一題多變、多題同解等方法實踐，能夠使學生思路開闊，舉一反三，觸類旁通，猶如醍醐灌頂，靈動學生的多元思維、創新思維。