基于中心流形理論的四輪轉(zhuǎn)向汽車Hopf分岔分析

宋作軍

(淄博職業(yè)學(xué)院 汽車工程系，山東 淄博　255314)

基于中心流形理論的四輪轉(zhuǎn)向汽車Hopf分岔分析

宋作軍

(淄博職業(yè)學(xué)院 汽車工程系，山東 淄博255314)

以四輪轉(zhuǎn)向汽車(4WS)為研究對象，利用分析力學(xué)方法，建立了二自由度動(dòng)力模型。利用Hurwitz代數(shù)判據(jù)，對4WS系統(tǒng)Hopf分岔進(jìn)行了計(jì)算，得到分岔點(diǎn)。利用中心流形理論將高維4WS汽車系統(tǒng)降到二維，并通過計(jì)算二維分岔穩(wěn)定性指標(biāo)的正負(fù)判定原系統(tǒng)Hopf分岔的類型。利用Matlab軟件對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。結(jié)果表明，4WS汽車在一定的參數(shù)組合下出現(xiàn)轉(zhuǎn)向自動(dòng)擺動(dòng)的性質(zhì)，對振動(dòng)的控制研究具有重要的參考價(jià)值。

四輪轉(zhuǎn)向；Hopf分岔；Hurwitz行列式；中心流形理論

汽車轉(zhuǎn)向就是按照駕駛員的意愿控制汽車的行駛方向。前輪轉(zhuǎn)向汽車具有低速時(shí)轉(zhuǎn)向不靈活，高速時(shí)方向穩(wěn)定性差等缺點(diǎn)。為了改善汽車轉(zhuǎn)向的操縱性，提高汽車行駛的穩(wěn)定性，增加汽車的舒適性和安全性，上世紀(jì)70年代末，國外開始研究四輪轉(zhuǎn)向(4WS)系統(tǒng)[1]。4WS是指汽車除了通常的前輪轉(zhuǎn)向之外，附加相應(yīng)的后輪轉(zhuǎn)向。

汽車的操縱性是指駕駛員以最少的修正而能維持汽車按照給定的路線行駛，以及按照駕駛員的愿望轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)向盤，以改變行駛方向的性能。4WS主要目的是增強(qiáng)汽車在高速行駛或在側(cè)向風(fēng)力作用下的操縱穩(wěn)定性，改善低速行駛的操縱輕便性及高速行駛的轉(zhuǎn)彎半徑[2-3]。隨著現(xiàn)代控制理論與技術(shù)的發(fā)展，研究汽車四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的Hopf分岔具有重大意義。

文獻(xiàn)[4]建立了四輪轉(zhuǎn)向汽車的三自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用非線性分岔和穩(wěn)定性理論以及時(shí)域仿真對均勻路面工況的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并與前輪轉(zhuǎn)向汽車進(jìn)行了對比，但對分岔行為沒有討論。文獻(xiàn)[5]建立了二自由度四輪轉(zhuǎn)向汽車模型的動(dòng)力學(xué)方程，對其進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析得出了四輪轉(zhuǎn)向汽車的質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度、側(cè)向加速度與前輪轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)。基于某四輪轉(zhuǎn)向樣車，對以零質(zhì)心側(cè)偏角為控制目標(biāo)的前后輪轉(zhuǎn)角比例四輪轉(zhuǎn)向車輛的操縱動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了仿真分析，但沒有研究分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)[6] 建立整車擴(kuò)展的三自由度操縱模型，利用常微分方程穩(wěn)定性理論和數(shù)值分析，表明自激型擺振是一種非線性動(dòng)力學(xué)Hopf分岔后出現(xiàn)的穩(wěn)定極限環(huán)振動(dòng)現(xiàn)象，但沒有進(jìn)行理論分析。本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，利用中心流形降維理論，將高維四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)降維，并根據(jù)分岔穩(wěn)定性指標(biāo)判定原系統(tǒng)Hopf分岔類型，通過Matlab軟件編程驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。本文豐富了4WS汽車的Hopf分岔的應(yīng)用研究，為4WS汽車的控制研究提供了有力的技術(shù)支持。

1　4WS汽車動(dòng)力學(xué)方程

1.14WS汽車模型的建立

汽車轉(zhuǎn)向時(shí)要求降低車速，4WS汽車高低速的區(qū)分值約為30 km/h，高速時(shí)后輪轉(zhuǎn)向角范圍一般在0°～2°[3]。

圖1為二自由度4WS汽車模型[7]。

各參數(shù)含義及數(shù)值如表1所示。

圖1　四輪轉(zhuǎn)向汽車模型Fig.1 Steering model of a four-wheel automobile

參數(shù)符號數(shù)值前輪橫向力Ff后輪橫向力Fr重心CG固定坐標(biāo)系χ-y隨體坐標(biāo)系η-ξ汽車前進(jìn)速度U汽車橫向速度υ隨體坐標(biāo)系與x軸夾角ψ汽車偏轉(zhuǎn)角速度r前軸至重心距離a1.48m后軸至重心距離b1.92m軸距ι前輪轉(zhuǎn)向角δf后輪轉(zhuǎn)向角δr汽車質(zhì)量m1640kg汽車Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz2720kg·m2輪胎角剛度系數(shù)C1f=C3f33.02kN/rad輪胎角剛度系數(shù)C1r=C3r55.83kN/rad駕駛者在前方可視距離L50m視覺延時(shí)Tr0.5s

1.24WS汽車動(dòng)力學(xué)方程的建立[7]

4WS汽車前后車輪采用比例轉(zhuǎn)向控制方式， 系數(shù)為kp

δr=kpδf

(1)

車體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力方程：

(2)

側(cè)偏力可由αf和αr的三次多項(xiàng)式表示如下：

(3)

式(3)中Cif、Cir(i=1,3)分別為前后輪胎角剛度系數(shù)，αf、αr分別為前后輪胎側(cè)偏角。

(4)

在固定坐標(biāo)系，用(x,y)表示重心G的位置，有如下關(guān)系:

(5)

引入司機(jī)對汽車調(diào)整控制模型，當(dāng)駕駛者在前方可視距離L內(nèi)發(fā)現(xiàn)汽車對于路的中心線有一個(gè)橫向偏移時(shí)，力圖對汽車施加δp(t)的轉(zhuǎn)向角以調(diào)整汽車減小偏移。引入回路放大系數(shù)K，視覺延時(shí)Tr，則該模型可表示為控制參量的微分方程。

(6)

引入δd(t)，表示外界對前輪的周期性擾動(dòng)，源自周期性的路面橫向變形，或者是轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的影響。

δd(t)=Qcos(ωdt)

(7)

Q表示擾動(dòng)的幅度，ωd表示擾動(dòng)的角頻率。

設(shè)最終作用于前輪的轉(zhuǎn)向角為δf(t)，作用于后輪的轉(zhuǎn)向角為δr(t)。則：

(8)

綜合以上各式得到如下系統(tǒng)表達(dá)式:

(9)

式中：γ表示所有的物理參量(m,Iz,…)，F(xiàn)f和Fr由式(3)給定，其中的αf和αr如下:

(10)

2　WS汽車Hopf分岔計(jì)算

2.1非線性模型Taylor展開式[7]

自治情況下，設(shè)四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)作用于前輪的周期橫向擾動(dòng)δd(t)為0， 作用于前輪的轉(zhuǎn)向角為δp(t)，后輪的轉(zhuǎn)向角為kpδp(t)。

在直線運(yùn)動(dòng)的情形下，起點(diǎn)Xe=(0,0,0,0,0)′顯然是系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。

為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將系統(tǒng)對Xi在Xe附近展開為多元的Taylor三次展開式為：

(11)

(12)

(13)

式中：

2.24WS汽車Hopf分岔計(jì)算

設(shè)A(γ)的特征多項(xiàng)式為：

λ5+a1λ4+a2λ3+a3λ2+a4λ+a5=0

(14)

det(λI-A)=

(15)

aij為A中對應(yīng)的項(xiàng)。聯(lián)系式(14)、(15)得：

a1=-a11-a22-a55

a2=a11a22+a11a55+a22a55-a12a21-a15a51

a3=a12a21a55+a15a22a51-a11a22a55-

a12a25a51-a15a53-a25a54

a4=a11a25a54+a15a22a53-

a12a25a53-a15a21a54-a25a53U

a5=a11a25a53U-a15a21a53U

(16)

構(gòu)建Hurwitz行列式：

(17)

式中，如果j>5，則aj=0.

當(dāng)U>0時(shí)，由式(17)得：

(18)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]定理1，實(shí)系數(shù)代數(shù)方程(14)有一對純虛根±ωi、且其余3個(gè)根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是：

a1>0,a2>0,…,aj>0,j=1,2,…5 且

Δn-1=0,

Δi>0(i=n-3,n-5,…)

(19)

取kp=-0.01,k=0.001，將各參數(shù)數(shù)值代入Δn-1=0，解方程得到速度U的8個(gè)解，其中具有物理意義的失穩(wěn)速度是：U=89.56

將U的值代入式(16)、(18)得：

a1=5.4934,a2=52.298 7,

a3=90.748 1,a4=6.577 5,

a5=11.353 3,Δ1=5.493 4,

Δ2=196.548 7,Δ3=17 638

上述各值都大于零，符合文獻(xiàn)[8]定理1的條件，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

2.34WS汽車Hopf分岔點(diǎn)類型判定

將各參數(shù)及分岔點(diǎn)速度U=89.56 km/h代入式(12)、(13) 得：

(20)

在分岔點(diǎn)處計(jì)算導(dǎo)算子的5個(gè)特征值。

(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5)=(-1.749 8+6.490 7i,

-1.749 8-6.490 7i,0.355 0i,

-0.355 0i,-1.993 7)

(22)

特征值對應(yīng)的特征向量的實(shí)部和虛部構(gòu)成的方陣如下：

得到方程組：

(24)

式中：hi(y)(i=1,2,3,4,5)包含y1、y2、y3、y4、y5非線性部分。

根據(jù)中心流形定理，設(shè):

(25)

代入分岔穩(wěn)定性指標(biāo)[9]：

(27)

解得：a=-0.000 013 25<0.故系統(tǒng)(13)發(fā)生亞臨界Hopf分岔，出現(xiàn)不穩(wěn)定的極限環(huán)。

3　四輪轉(zhuǎn)向Hopf分岔仿真驗(yàn)證

利用matlab進(jìn)行了數(shù)值仿真。系統(tǒng)時(shí)間歷程設(shè)定為[0,500],參數(shù)初始值設(shè)為X=(0,0,0.6,0,0)′。

其他參數(shù)值如表1所示，當(dāng)速度為U=89.56 km/h時(shí)，汽車橫向位移、隨體坐標(biāo)系與x軸夾角前輪轉(zhuǎn)向角相圖如圖2所示。

圖2　橫向位移與前輪轉(zhuǎn)向角相圖Fig.2 Phase diagram of the lateral displacement and front wheel steering angle

由圖2可見，當(dāng)汽車行駛速度處于Hopf點(diǎn)速度時(shí)，在初始激勵(lì)下，汽車橫向位移、前輪轉(zhuǎn)向角振幅逐漸縮小，趨于一極值，形成一穩(wěn)定的極限環(huán)。

4　結(jié)　論

本文對比例控制的4WS系統(tǒng)，在動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用Hurwitz代數(shù)判據(jù)，計(jì)算Hopf分岔。利用中心流形理論將高維4WS汽車系統(tǒng)降到二維，并通過計(jì)算二維分岔穩(wěn)定性指標(biāo)的正負(fù)判定原系統(tǒng)Hopf分岔的類型。利用Matlab進(jìn)行了數(shù)值仿真。說明計(jì)算方法及結(jié)果的正確性，對振動(dòng)的控制研究具有重要的參考價(jià)值。

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Hopf bifurcation of an automobile with four-wheel steering based on center manifold theory

SONG Zuo-jun

(Department of Automotive Engineering, Zibo Vocational Institute, Zibo 255314, China)

A 2-DOF dynamic model was established for an automobile with four-wheel steering (4WS) using the method of analysis mechanics. Hopf bifurcation of this 4WS system was calculated and bifurcation points were obtained with Hurwitz algebraic criterion. The high-dimensional 4WS auto mobile system was simplitied into a two-dimensional system using the center manifold theory. The bifurcation stability index of the two-dimensional system was calculated to determine Hopf bifurcation type of the original system. The system was simulated using Matlab software. The results showed that the automatic swing of steering occurs for an automobile with 4WS under specific parameters, it has an important meaning for automobile vibration control study.

four-wheel steering (4WS); hopf bifurcation; hurwitz determinant; center manifold theory

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.035

2011年山東省科技發(fā)展計(jì)劃政策引導(dǎo)類項(xiàng)目(0076)

2015-04-29修改稿收到日期：2015-06-29

宋作軍 男，碩士，副教授，1966年1月生

U461

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