內(nèi)外激勵(lì)作用下多自由度齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性

向　玲， 賈　軼， 李媛媛， 馮曉冉, 高雪媛， 邸薇薇

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北 保定　071003)

內(nèi)外激勵(lì)作用下多自由度齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性

向玲， 賈軼， 李媛媛， 馮曉冉, 高雪媛， 邸薇薇

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北 保定071003)

采用周期擴(kuò)大法，建立了齒輪副的六自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，模型考慮了齒輪副間的時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、齒面摩擦等非線性因素；對(duì)模型中的相關(guān)周期項(xiàng)作傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，并采用數(shù)值積分方法研究六自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨轉(zhuǎn)速、支撐剛度的分岔特性。結(jié)合poincaré截面圖、分岔圖、FFT頻譜及最大Lyapunov指數(shù)圖，系統(tǒng)地分析了支撐剛度對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著激勵(lì)頻率的提高，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)多次跳躍進(jìn)入混沌，提高支撐剛度會(huì)使系統(tǒng)的跳躍點(diǎn)數(shù)目增加，并且使系統(tǒng)的混沌區(qū)減小且整體后移，致使系統(tǒng)推遲進(jìn)入混沌；再者會(huì)使系統(tǒng)通向混沌的道路多樣化，除了擬周期通道之外，還出現(xiàn)了激變性、陣發(fā)性的混沌道路及“周期5-擬周期-鎖相-不穩(wěn)定吸引子-混沌”的非常規(guī)混沌道路。另外支撐剛度的提高會(huì)使系統(tǒng)的1/2次諧振加強(qiáng)，致使諧振頻率下的動(dòng)態(tài)嚙合力(DMF)增大，但會(huì)使一些混沌區(qū)的DMF逐漸減小，并且使嚙合輪齒經(jīng)歷“雙邊沖擊-單邊沖擊-無(wú)沖擊”的狀態(tài)變化。

齒輪副；非線性動(dòng)力學(xué)；摩擦；間隙；支撐剛度

齒輪系統(tǒng)是機(jī)械系統(tǒng)的重要組成部分，長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行了各種各樣的理論和實(shí)驗(yàn)研究，也不斷揭示了齒輪系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理及存在的一些復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。其中， Vaishya等[1]考慮了摩擦的影響，建立了一對(duì)齒輪副的單自由度非線性微分方程，并用floquet理論研究了摩擦對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)定性的影響。Li等[2]通過(guò)建立潤(rùn)滑模型引入了摩擦并研究了齒對(duì)表面粗糙度、潤(rùn)滑液溫度等因素對(duì)直齒輪副穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。Wang等[3]研究了摩擦對(duì)單自由度直齒輪副分岔與混沌特性的影響，結(jié)果表明摩擦對(duì)系統(tǒng)的混沌振動(dòng)有抑制作用。Morad等[4]用多尺度法研究了單自由度直齒輪副的振幅跳躍現(xiàn)象及主共振和次諧共振響應(yīng)。張鎖懷等[5]對(duì)齒輪-軸承系統(tǒng)進(jìn)行了一系列的研究，用多種方法研究了齒側(cè)間隙、轉(zhuǎn)速、等參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)響應(yīng)的影響，揭示了系統(tǒng)響應(yīng)存在復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。張義民等[6]研究了轉(zhuǎn)速和扭矩對(duì)單自由度齒輪副的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(動(dòng)態(tài)傳遞誤差)的影響，結(jié)果表明兩者對(duì)齒輪的沖擊影響較大。李應(yīng)剛等[7]用諧波平衡法研究了外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)下單自由度直齒輪副的非線性振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果表明系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)參數(shù)共振和幅值跳躍等非線性動(dòng)力學(xué)行為。盛冬平等[8]建立了齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的四自由度的彎扭耦合的非線性振動(dòng)模型，并分析了轉(zhuǎn)速、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙以及支承間隙等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響。宋雪萍等[9]研究了嚙合剛度、支撐剛度和阻尼對(duì)壓縮機(jī)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明，支撐剛度和阻尼的增大會(huì)使系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速提高，進(jìn)而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。王三民等[10]建立了齒輪系統(tǒng)的三自由度耦合振動(dòng)模型，并研究了支撐剛度和阻尼對(duì)系統(tǒng)分岔與混沌的影響，結(jié)果表明，兩者的相互作用會(huì)影響系統(tǒng)進(jìn)入混沌的途徑。靳廣虎等[11]綜合支撐彈性變形等非線性因素建立了正交面齒輪系統(tǒng)的5自由度動(dòng)力學(xué)模型，并研究了間隙和嚙合頻率變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的變化，認(rèn)為可以通過(guò)調(diào)整支撐剛度來(lái)改變系統(tǒng)的沖擊狀態(tài)。

綜上所述，以往關(guān)于直齒輪副分岔與混沌的研究主要集中于3自由度模型且多數(shù)文獻(xiàn)并未考慮摩擦的作用；而支承剛度對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔和混沌具有很重要的影響，但過(guò)去關(guān)于支撐剛度對(duì)直齒輪副非線性影響的研究則相對(duì)較少或只研究了固定激勵(lì)頻率下支撐剛度對(duì)系統(tǒng)分岔、振幅跳躍及混沌的影響。最近的文獻(xiàn)[12]雖建立了自由度數(shù)量較多的齒輪-轉(zhuǎn)子模型，但模型中并未考慮摩擦的影響且對(duì)于支撐剛度對(duì)系統(tǒng)分岔特性及沖擊狀態(tài)的影響并未作深入地分析。綜合上述情況，本文基于周期擴(kuò)大法[13]的思想建立了一對(duì)直齒輪副的六自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，模型中采用矩形波時(shí)變剛度，并考慮了齒面摩擦、齒側(cè)間隙和綜合嚙合誤差等非線性因素，深入研究了支撐剛度對(duì)系統(tǒng)的分岔與混沌、動(dòng)態(tài)嚙合力及沖擊狀態(tài)的影響，為實(shí)際中齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析提供了一定的理論依據(jù)。

1　周期擴(kuò)大法及嚙合剛度的處理

直齒輪的重合度ε一般位于1到2之間，這就意味著齒輪在傳動(dòng)時(shí)處于單雙齒交替嚙合狀態(tài)，如圖1(a)所示為一對(duì)齒的嚙合歷程，齒輪的單、雙齒區(qū)嚙合時(shí)間分別為t1、T0-t1，其中T0為一個(gè)法距對(duì)應(yīng)的嚙合時(shí)間。周期擴(kuò)大法的思想即為當(dāng)一對(duì)齒嚙出時(shí)，假設(shè)繼續(xù)保持嚙合一個(gè)單齒區(qū)嚙合時(shí)間，但對(duì)應(yīng)的嚙合剛度、摩擦因數(shù)等參數(shù)均為0 ，以一對(duì)齒的矩形波時(shí)變剛度模型[14-15]為例作說(shuō)明，假設(shè)其擴(kuò)大周期后的剛度曲線為kh2(t)，則另外一對(duì)參與嚙合齒的剛度kh1(t)可表示為kh2(t+T0)，輪齒的綜合剛度曲線可由兩齒對(duì)的剛度表示，如圖1(b)所示。可知其綜合剛度并未因周期的擴(kuò)大而改變。圖中，k1，k2，kmax，kmin分別相關(guān)的剛度參數(shù)，文中為了進(jìn)行長(zhǎng)期地動(dòng)力學(xué)分析，將單對(duì)齒的時(shí)變剛度kh2(t)擴(kuò)展為以2T0為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，則kh1(t)可由kh2(t)得到，兩者同取二次諧波項(xiàng)

(1)

式中，a0、a1、a2均為傅里葉展開(kāi)系數(shù)。

(a)　單雙齒交替嚙合狀態(tài)

(b)　齒輪的綜合剛度曲線圖1　齒輪的時(shí)變嚙合剛度Fig.1 The time varying stiffness of gear pair

2　非線性動(dòng)力學(xué)模型的建立

一對(duì)直齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。這里引入系統(tǒng)的6個(gè)自由度，即g0gggggg={θ1θ2xo1yo1xo2yo2}，圖中θ1、θ2為齒輪1、2的扭轉(zhuǎn)角位移；xo1、xo2為齒輪1、2的橫向位移；yo1、yo2為齒輪1、2的徑向位移。齒輪副的動(dòng)態(tài)嚙合力可表示為

圖2　直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Nonlinear dynamic model of a spur gear pair

(2)

式中：Fmeshi(i=1,2)為齒對(duì)i之間的嚙合力；khi(t)(i=1、2)為齒對(duì)i之間的時(shí)變嚙合剛度；chi(i=1,2)為齒對(duì)i之間的嚙合阻尼；δ(t)為齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差(DTE)，e(t) 為靜態(tài)傳動(dòng)誤差。f(x)為具有分段線性特征的間隙非線性函數(shù)

(3)

2.1摩擦力及摩擦力矩

對(duì)于一對(duì)嚙合齒，當(dāng)嚙合點(diǎn)在節(jié)圓上部和下部時(shí)，由于齒面間的滑動(dòng)速度改變方向，致使摩擦力的方向發(fā)生改變。根據(jù)庫(kù)倫摩擦定律，由式(1)可得到嚙合時(shí)各齒對(duì)之間的齒面摩擦力

fi=μiλiFmeshii=1,2

(4)

式中μi為齒面摩擦因數(shù)，其大小隨齒對(duì)的相對(duì)滑動(dòng)速度的變化而周期性變化，但變化范圍不大；λi為擴(kuò)大周期后的摩擦力方向系數(shù)。

(5)

摩擦力矩可由幾何關(guān)系推導(dǎo)得到，S1i，S2i(i=1,2)表示齒對(duì)i之間的摩擦力對(duì)齒輪1、齒輪2的力矩，rbi、rai分別為齒根圓、齒頂圓半徑；α為壓力角，w1為主動(dòng)輪角速度，Pb為基圓節(jié)距。

(6)

2.2動(dòng)力學(xué)方程及量綱一化

可得圖2模型中齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程

(7)

引入以下無(wú)量綱參數(shù)，對(duì)式(7)進(jìn)行無(wú)量綱處理

F=T1/rb1me1+T2/rb2me2

τ=wnt,δ(t)=ubn,xo1=x1bn,

yo1=y1bn,xo2=x2bn

yo2=y2bn,ch1=ch2=ch,cn=ch/2Mewn

c3=c2x/ch,c4=c2y/ch,k1=k1x/k0,k2=k1y

/k0,k3=k2x/k0,k4=k2y/k0,w=wh/wn,

用t替代τ，則微分方程為

式中：f1、f3為軸承的橫向預(yù)緊力，f2、f4為軸承的徑向預(yù)緊力；ζ1(t)、ζ2(t)均為周期函數(shù)；ρ1(t)、ρ2(t)為摩擦力方向系數(shù)的函數(shù)。

同樣，為了進(jìn)行長(zhǎng)期的動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)ζ1(t)，ζ2(t)，ρ1(t)、ρ2(t)展開(kāi)成以2T0為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，類似于式(3)對(duì)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)取二次諧波項(xiàng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。另外，可推導(dǎo)得到量綱一化后的動(dòng)態(tài)嚙合力為

3　數(shù)值求解及分析

式(8)表示一強(qiáng)非線性時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)，本文采用4～5階變步長(zhǎng)龍格-庫(kù)塔法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，為了消去瞬態(tài)響應(yīng)，舍棄前2 000周期的結(jié)果。以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為基礎(chǔ)，分別得到系統(tǒng)的poincaré截面圖、FFT頻譜、分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)等，以此分析支撐剛度對(duì)系統(tǒng)分岔特性、嚙合狀態(tài)的影響，系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示。

表1　系統(tǒng)的主要參數(shù)

3.1支撐剛度對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響

為了方便分析，這里引入支撐剛度和輪齒平均嚙合剛度的比值來(lái)表征支撐剛度的變化，即式(10)中的ki(i=1,2,3,4)。設(shè)置參數(shù)Fm=0.1，ej=0.25，cn=0.02，ci=2(i=1,2,3,4)，b=0.4，通過(guò)調(diào)節(jié)ki來(lái)研究系統(tǒng)的變化規(guī)律。

圖3分別為ki=1.3時(shí)系統(tǒng)隨量綱一頻率w變化時(shí)的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)曲線(LLE曲線)。跳躍現(xiàn)象多發(fā)生于間隙機(jī)構(gòu)，由圖3分岔圖可知，在低頻區(qū)，系統(tǒng)響應(yīng)在頻率w為0.38和0.83時(shí)出現(xiàn)了跳躍，對(duì)應(yīng)的LLE曲線出現(xiàn)了指數(shù)突變，并且在第二次跳躍之后在w為0.98附近經(jīng)擬周期途徑經(jīng)環(huán)面破裂進(jìn)入第一個(gè)混沌區(qū)域 (0.98 1.42)；隨后，在頻率1.42處經(jīng)擬周期通道由混沌進(jìn)入短周期運(yùn)動(dòng)。在頻率區(qū)間 (1.42 1.73)內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行了短周期與短周期運(yùn)動(dòng)之間的分岔，如分岔圖細(xì)節(jié)圖所示；在頻率為1.73和2.16處分別經(jīng)擬周期通道進(jìn)入和離開(kāi)第二個(gè)混沌區(qū)域，總體上，當(dāng)激勵(lì)頻率w變化時(shí)，系統(tǒng)主要經(jīng)擬周期通道進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)在此過(guò)程經(jīng)歷了“負(fù)-零-正”的變化，如圖3(b)所示。系統(tǒng)在擬周期分岔點(diǎn)w為0.98、1.42、1.73和2.16處的LLE指數(shù)分別為-0.000 114、-0.000 307、0.000 010 8和-0.000 143，由于存在計(jì)算精度的問(wèn)題及量級(jí)的對(duì)比，這些擬周期點(diǎn)的LLE指數(shù)近似為0；另外，對(duì)比兩圖可發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的倍周期以及擬周期分岔點(diǎn)處的LLE指數(shù)接近于0，且在混沌區(qū)域存在一定的周期窗口。

隨著ki的增加，當(dāng)ki=1.75時(shí)，系統(tǒng)在w為0.41、0.43、0.48、0.84和0.96處發(fā)生了短周期與短周期運(yùn)動(dòng)之間的跳變，如圖4所示。并且系統(tǒng)在w為1.12、1.34、1.405、1.58、2.02和2.19通過(guò)擬周期通道進(jìn)入或離開(kāi)混沌，在LLE曲線可看到，在這些分岔點(diǎn)附近，指數(shù)也出現(xiàn)了“負(fù)-零-正”的變化。結(jié)合LLE曲線圖可大致確定系統(tǒng)的混沌響應(yīng)區(qū)間為(1.12 1.34)∪(1.405 1.58)∪(1.73 1.825)∪(2.02 2.19)。另外，從分岔圖中可見(jiàn)，當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)在進(jìn)入或離開(kāi)混沌區(qū)域(1.73 1.825)時(shí)具有“激變”特征，在此區(qū)域(圖中標(biāo)示區(qū)域)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了“周期2-混沌-周期2-混沌-周期2”的過(guò)程，屬于通向混沌道路里的“陣發(fā)性混沌道路”，對(duì)應(yīng)的LLE曲線經(jīng)歷了“負(fù)-正-負(fù)-正-負(fù)”的過(guò)程，曲線的變化趨勢(shì)比較劇烈，這并不同于通向混沌的擬周期道路。同樣，在混沌區(qū)域可觀察到小范圍周期性窗口的存在，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)為負(fù)值。

當(dāng)ki增加至1.98時(shí)，如圖5分岔圖所示，系統(tǒng)響應(yīng)在w為0.44、0.48、0.51、0.905、0.995和1.045處發(fā)生跳變，從LLE曲線中也可明顯看到跳變點(diǎn)的存在；系統(tǒng)在頻率為1.35、1.57、1.67經(jīng)擬周期通道進(jìn)入或離開(kāi)混沌區(qū)；同樣由LLE曲線可確定系統(tǒng)的主要混沌區(qū)為(1.225 1.35)∪(1.43 1.46)∪(1.57 1.67)∪(1.9 1.99)；從分岔圖可看到，系統(tǒng)響應(yīng)在進(jìn)入和離開(kāi)混沌區(qū)(1.43 1.46)和(1.9 1.99)時(shí)也具有“激變”特征，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)會(huì)發(fā)生“正-負(fù)”或“負(fù)-正”的突變，如圖中標(biāo)注區(qū)域所示。另外，在頻率2.15～2.24之間，系統(tǒng)響應(yīng)由“周期2-擬周期-周期2”的變化，相應(yīng)的LLE指數(shù)如圖所示經(jīng)歷了“負(fù)-零-負(fù)”的變化。

綜上，對(duì)比各剛度下的分岔圖和LLE曲線圖可發(fā)現(xiàn)，剛度的提高使得系統(tǒng)響應(yīng)在低頻時(shí)的跳躍點(diǎn)增加，并且跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率值略有增大。另外，系統(tǒng)的混沌區(qū)域有所減小，在有些頻率區(qū)間內(nèi)混沌逐步退化為周期或擬周期運(yùn)動(dòng)，以至于系統(tǒng)的分岔變得更為復(fù)雜，同時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌的臨界頻率值相應(yīng)增大，也從側(cè)面說(shuō)明了支撐剛度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響；再者，隨著剛度的增加，系統(tǒng)通向混沌的道路也多樣化，出現(xiàn)了激變性和陣發(fā)性的混沌道路；對(duì)比各LLE曲線可見(jiàn)，隨著支撐剛度的增大，混沌區(qū)的LLE指數(shù)相對(duì)減小，說(shuō)明支撐剛度的增加使系統(tǒng)的混沌吸引子逐步減弱。

(a)分岔圖(a)分岔圖(a)分岔圖

(b)最大Lyapunov指數(shù)曲線圖3 ki為1.3時(shí)隨w變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3BifurcationdiagramsandthelargestLyapunovexponents(ki=1.3)(b)最大Lyapunov指數(shù)曲線圖4 ki為1.75時(shí)隨w變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4BifurcationdiagramsandthelargestLyapunovexponents(ki=1.75)(b)最大Lyapunov指數(shù)曲線圖5 ki為1.98時(shí)隨w變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5BifurcationdiagramsandthelargestLyapunovexponent(ki=1.98)

3.2系統(tǒng)隨支撐剛度變化的分岔特性

為了進(jìn)一步說(shuō)明支撐剛度對(duì)系統(tǒng)的影響，這里主要的參數(shù)設(shè)置同上節(jié)所述，但令w=1，相當(dāng)于從圖3～5所示的分岔圖中截取一個(gè)w截面，從另外一個(gè)角度研究系統(tǒng)響應(yīng)隨剛度比ki的變化。圖6所示為系統(tǒng)響應(yīng)隨剛度比ki變化時(shí)的分岔圖和LLE曲線圖。

(a)全局分岔圖(b)最大Lyapunov指數(shù)曲線(c)局部放大圖6 系統(tǒng)隨ki變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6BifurcationdiagramsandthelargestLyapunovexponentsofki

圖6展示了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)隨剛度比變化時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的豐富的分岔特性。可以看到，隨著剛度比的增加，系統(tǒng)總體經(jīng)歷“混沌-周期”運(yùn)動(dòng)的歷程，并且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在剛度比ki為1.005、1.053、1.465進(jìn)行了混沌與周期或擬周期的轉(zhuǎn)變，在1.751、2.557、2.674和3.579處進(jìn)行了周期運(yùn)動(dòng)之間的切換，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)在這些分岔點(diǎn)處也有明顯的變化。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的混沌區(qū)(設(shè)為一、二)主要為(0.65 1.005)∪(1.053 1.465)，圖6(c)左圖為系統(tǒng)響應(yīng)在混沌區(qū)一、二之間切換的細(xì)節(jié)分岔圖，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷了“混沌-周期6-混沌”，但狀態(tài)的切換具有“激變”特征，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)變化也具有突變性，如圖b標(biāo)注區(qū)域所示。相應(yīng)地，圖7為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在此區(qū)間內(nèi)切換時(shí)的poincaré截面圖。

隨著ki的提高，系統(tǒng)在ki為1.464 7附近離開(kāi)混沌區(qū)，但從分岔圖中并不能直接判斷分岔類型。由圖9所示poincaré截面的變化可判斷，當(dāng)ki從1.464 7到1.464 2變化時(shí)，系統(tǒng)由周期5運(yùn)動(dòng)經(jīng)次諧分岔進(jìn)入擬周期1運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)鎖相，再由不穩(wěn)定的吸引子后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，此屬于非常規(guī)的混沌道路，對(duì)應(yīng)的poincaré截面經(jīng)歷了“五個(gè)離散的點(diǎn)(e)-封閉的自纏繞圓環(huán)(d)-非封閉的圓環(huán)吸引子(對(duì)應(yīng)系統(tǒng)在環(huán)面上的鎖相運(yùn)動(dòng),圖(c))-不穩(wěn)定的吸引子(環(huán)面破裂，圖(b)-混沌(a)”的變化。相應(yīng)的LLE指數(shù)經(jīng)歷了“負(fù)-零-負(fù)(接近于0)-正”的變化。

當(dāng)系統(tǒng)離開(kāi)混沌區(qū)后，由局部分岔圖6(c)可知，當(dāng)ki∈(1.464 7 1.764)時(shí)，系統(tǒng)在1.551時(shí)由周期5運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入周期10運(yùn)動(dòng)，隨后經(jīng)歷了復(fù)雜的“周期10-周期1-周期10-周期1-周期5-周期1”的變換，分岔類型均為次諧分岔，對(duì)應(yīng)的LLE指數(shù)也發(fā)生了“突變”。當(dāng)ki∈(1.764 4.112)時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在ki為2.336時(shí)經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)，隨后由經(jīng)多次“跳躍性”的倍周期分岔和倒分岔進(jìn)入穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)。ki=2.336處的LLE指數(shù)為-1.82×10-5，而在跳躍性倍周期分岔點(diǎn)處的LLE指數(shù)同樣產(chǎn)生了“跳變”。

(a) ki=1.001(b) ki=1.005

(c) ki=1.049(d) ki=1.053圖7 混沌區(qū)一、二切換時(shí)的poincaré截面變化Fig.7ThechangesofpoincarémapsfromchaoticregionItoⅡ

(a) ki=1.4642(b) ki=1.46431(c) ki=1.46438

(d) ki=1.46453(e) ki=1.4647圖8 ki在1.4642～1.4647時(shí)系統(tǒng)poincaré截面圖和FFT譜Fig.8PoincarémapsandFFTspectrumsofsystemviaki∈[1.46421.4647]

綜上可知，支撐剛度對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響不容忽視，隨著支撐剛度的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為，支撐剛度的提高能使系統(tǒng)由混沌逐步趨向穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，但過(guò)程中出現(xiàn)了較多的跳躍性分岔點(diǎn)，而分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)狀態(tài)的“突跳”，會(huì)造成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性能低下，因此在設(shè)計(jì)時(shí)支撐剛度時(shí)應(yīng)盡量避開(kāi)相應(yīng)的分岔點(diǎn)。

3.3支撐剛度對(duì)嚙合狀態(tài)的影響

圖9　不同剛度比下DMF隨w變化的最大值和最小值曲線Fig.9 Maximum and Minimum curve of DMF with different ki

圖10　DMF隨剛度比變化的最大值和最小值曲線Fig.10 Maximum curve and Minimum curve of DMF via ki

4　結(jié)　論

(1) 在低頻(激勵(lì)頻率)區(qū)，系統(tǒng)經(jīng)多次跳躍由擬周期通道進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，隨著支撐剛度的提高，系統(tǒng)的跳躍點(diǎn)數(shù)目增加，且跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率值逐漸增大。

(2) 當(dāng)支撐剛度增大時(shí)，系統(tǒng)的混沌區(qū)域有所減小且混沌的程度有所降低，且在有些頻率區(qū)間內(nèi)混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期或擬周期運(yùn)動(dòng)，使得系統(tǒng)的分岔特性變得更為豐富復(fù)雜，同時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌的臨界頻率值也隨之增大；再者，系統(tǒng)通向混沌的道路也多樣化，除了擬周期通道之外，還出現(xiàn)了激變性和陣發(fā)性的混沌道路。而在定頻率(混沌區(qū)的某一頻率)條件下，不斷地提高支撐剛度，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)經(jīng)多次分岔(倍周期分岔和次諧分岔)最后穩(wěn)定在周期運(yùn)動(dòng)且過(guò)程中出現(xiàn)了激變性混沌道路和“周期5-擬周期-鎖相-不穩(wěn)定吸引子-混沌”的非常規(guī)混沌道路。

(3) 當(dāng)支撐剛度增加時(shí)，系統(tǒng)的1/2次諧振有所加強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的DMF明顯增加；并且，DMF最大值和最小值曲線整體后移，峰值頻率區(qū)域(也即轉(zhuǎn)速區(qū))減小。同樣在定頻率條件下，當(dāng)支撐剛度不斷增大時(shí)，混沌區(qū)的DMF的最大值和最小值的絕對(duì)值逐漸減小，而周期區(qū)的DMF則變化較小；整體上，當(dāng)剛度提升時(shí)，齒輪嚙合狀態(tài)經(jīng)歷了“雙邊沖擊-單邊沖擊-無(wú)沖擊”的歷程，因此，適當(dāng)?shù)靥岣咧蝿偠瓤蓪?duì)系統(tǒng)的混沌進(jìn)行抑制進(jìn)而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Non-linear dynamic features of a gear system with multi-DOF subjected to internal and external excitation

XIANG Ling, JIA Yi, LI Yuan-yuan, FENG Xiao-ran, GAO Xue-yuan, DI Wei-wei

(Mechanical Engineering Department, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Based on the period-enlargement method, a 6-DOF nonlinear dynamic model of a spur gear pair was developed considering rectangular-wave mesh stiffness, backlash, sliding friction and other no-linear factors. Periodic terms in the dynamic equations were expanded with Fourier series and numerical integration was used to investigate the influences of system parameters including rotating speed and supporting stiffness on the bifurcation features of the system. The Poincaré maps, bifurcation diagrams, FFT spectrum and the largest Lyapunov exponents were achieved to systematically analyze the effects of supporting stiffness on the gear system . It was shown that the system goes into chaos motion after several “frequency hoppings” with increase in exciting frequency; besides, as the supporting stiffness increases, the number of “frequency hoppings” increases accordingly, the regions of exciting frequency corresponding to chaos motion are smaller and delayed, in other words, the system enters later chaotic motion due to the larger supporting stiffness; moreover, the roads to chaos become diverse, in addition to quasi-periodic route, there exist intermittent and catastrophic chaos routes and the non-typical ‘period 5 quasiperiodic-locked-unsteady attractor-chaos’chaos route; with increase in supporting stiffness, the resonance of the system at w/2(w is the exciting frequency) becomes stronger and the dynamic meshing force (DMF) increases accordingly, but the DMF in some chaotic regions decreases gradually, the gear system exhibits a state change of “double-side impact-single-side impact-no impact”.

spur gear pair; nonlinear dynamics; friction; backlash; supporting stiffness

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.025

國(guó)家自然科學(xué)基金(51475164)；河北省自然科學(xué)基金(E2013502226)

2015-05-26修改稿收到日期：2015-07-10

向玲 女，博士,教授，1971年生

TH113

A