基于有限時間穩定理論的無刷直流電動機混沌振蕩控制

汪慕峰， 韋篤取, ， 羅曉曙， 張　波

(1.廣西師范大學 電子工程學院，桂林　541004; 2.華南理工大學 電力學院， 廣州　510610)

基于有限時間穩定理論的無刷直流電動機混沌振蕩控制

汪慕峰1， 韋篤取1,2， 羅曉曙1， 張波2

(1.廣西師范大學 電子工程學院，桂林541004; 2.華南理工大學 電力學院， 廣州510610)

基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定性理論，設計一個非線性控制器，對無刷直流電動機(BLDCM)系統的混沌振蕩進行控制。首先理論上證明了該控制策略能使混沌系統在有限時間內穩定到平衡點，然后利用數值仿真結果驗證了該控制策略的正確性和有效性。研究結果對保證無刷直流電動機的穩定運行具有重要意義。

有限時間穩定理論;Lyapunov穩定性理論;混沌控制;無刷直流電動機

無刷直流電動機(Brushless DC Motor, BLDCM)因具有高轉矩、高速度、體積小、故障率低等優點，在工農業、交通運輸、國防科技等各個領域得以廣泛應用。由于BLDCM的穩定運行直接影響生產自動化的效率，因此其穩定運行受到了專家學者們的普遍關注。Kuroe等[1]首次發現感應電動機中的混沌振蕩以來，人們對各類電動機中的混沌現象進行了深入研究[2-6]。Hemati等[7-8]通過研究發現， BLDCM系統在某些參數條件下會產生混沌振蕩。研究還表明，混沌的存在是BLDCM系統發生故障的重要原因之一，因此對BLDCM混沌振蕩控制問題的研究，引起了人們的極大興趣，并提出了許多控制方法，例如，模糊控制(fuzzy control)法[11]、反饋線性化(feedback linearization)法[12]、滑模(sliding mode control)控制法[12]、反向遞推(following back-stepping)法[13]、分段二次狀態反饋(piecewise quadratic state feedback)法[14]等。另一方面，有限時間穩定理論指的是不穩定系統在短時間內被控制到穩定態[15]。有限時間穩定控制是一種能對非線性系統實現有效控制的方法，能使受控系統變量在有限時間內收斂到平衡點。到目前為止，盡管學者們利用有限時間穩定理論對混沌系統控制做了很多研究[15-19]，但是基于有限時間穩定理論控制BLDCM混沌振蕩的研究尚屬少見。為此，本文基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定性理論設計非線性混沌控制器，對BLDCM系統的混沌振蕩進行控制。理論證明和數值仿真結果表明，控制器能迅速使電動機系統穩定到平衡點。本文提出的控制器結構簡單、效果顯著、控制代價小，具有較好的理論意義和實際應用價值。

1　無刷直流電動機數學模型

無刷直流電動機無量綱數學模型為[7-10]：

(1)

式中，ω，Iq，Id為系統狀態變量，分別表示轉子角速度和d,q軸定子電流；σ，η，γ和δ為系統參數，均為正值。在BLDCM運行中，系統參數的大小會受到溫度、噪聲等工作環境的影響而改變，研究發現，系統參數σ，η，γ和δ在某些取值范圍內，BLDCM會產生混沌振蕩[7-8]。 圖1為系統參數σ=4.55，η=4.8，γ=5.58，δ=1.0時BLDCM的混沌吸引子。

圖1　無刷直流電動機的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor in BLDCM

2　有限時間穩定理論概念

考慮如下非線性系統[20]：

(2)

式中：x∈Rn是系統狀態變量，f:D→Rn是定義域D到n維空間Rn中的一個連續函數。

定義1[21]：當且僅當系統(2)是穩定的且為有限時間收斂時，它的平衡點x=0為連續有限時間穩定的。有限時間收斂表示存在一個連續函數T(x):D0{0}→(0,+∞)使得對?x0∈D0?D。系統(2)的解可記為x(t,x0)：

(2) 當t>T(x0)時，有x(t,x0)=0；

如果D=D0=Rn，則系統(2)滿足全局有限時間穩定，即系統(2)的狀態變量總能在有限時間內收斂到平衡點。

引理1[22]：假設存在一個連續正定函數V(t)滿足微分不等式

(3)

式中：m>0，0<ξ<1是常數，那么對于任何初始時間t0，V(t)都滿足不等式：

V1-ξ(t)≤V1-ξ(t0)-

m(1-ξ)(t-t0),t0

(4)

V(t)≡0,?t>t1

(5)

式中：

(6)

證明[23]: 考慮下面的微分方程

(7)

等式(7)的唯一解如下

x1-ξ(t)≤x1-ξ(t0)-ε(1-ξ)(t-t0),

t0

(8)

并且有V(t)≡0,?t>t1。這里的t1同樣由式(8)表示。證明完畢。

引理2[24]：假設0

3　基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定性理論控制BLDCM的混沌振蕩

本節利用有限時間穩定理論控制BLDCM的混沌振蕩。我們在系統(1)中加上控制項u1，u2和u3，所得受控BLDCM系統如：

(9)

下面基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定性理論設計控制器，使BLDCM在有限時間內穩定到平衡點。首先引出我們的定理：

定理1：如果設計的控制器如

(10)

其中K≤1，E=i/j(j>i是正的奇整數)，那么混沌BLDCM能在有限時間內被控制到平衡點。

證明：把u1代入式(9)的第一項，可得

(11)

把u2，u3和ω=0代入式(9)的第二項和第三項，可得

(12)

綜上所述，當時間t>T2時，系統(9)會在控制器的作用下到達平衡點X=(0,0,0)。定理得證。

控制器(10)的分數階部分具有濾波器特性，因此在物理上可以通過構造合適的濾波器來實現控制器的分數階部分。

4　數值仿真

本節應用數值仿真來驗證控制器的有效性。使用

步長h=0.002的四階Runge-Kutta公式解微分方程。BLDCM的初始值選擇為(ω(0),Iq(0),Id(0))=(2.0,5.0,3.0)，控制參數選擇為K=0.8，E=0.5，其他系統參數取值與本文第二節相同。若無控制器加入時，BLDCM處于混沌運動狀態，其相應的Lyapunov指數如圖2所示。在第50 s時加入控制器，系統的混沌振蕩得到控制，狀態變量ω，Iq和Id很快穩定到平衡點。圖3～圖5所示為加入控制器前后，BLDCM狀態變量ω，Iq和Id的變化情況, 其中插圖為第50 s附近的局部放大圖。從放大圖可以看出，系統加入控制器后大約2 s時間穩定到平衡點。

圖2　無控制器加入時, BLDCM系統的Lyapunov指數Fig.2 The Lyapunov exponents of chaotic BLDCM without controller

圖3 BLDCM狀態變量ω的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.3TheevolutionofstatevariableωanditspartialenlargedviewinBLDCM圖4 BLDCM狀態變量Iq的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.4TheevolutionofstatevariableIqanditspartialenlargedviewinBLDCM圖5 BLDCM狀態變量Id的變化,其中插圖為局部放大圖Fig.5TheevolutionofstatevariableIdanditspartialenlargedviewinBLDCM

5　結　論

本文基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定性理論，提出了一種BLDCM混沌振蕩的控制方法。首先，利用有限時間穩定的基本理論設計非線性控制器。然后，利用Lyapunov穩定性理論證明所提出的控制方法在理論上的正確性。最后，數值仿真結果表明該控制策略的有效性和可行性。本文所設計的控制器具有結構簡單、控制效果好等優點，因此有較好的理論意義和實際應用價值。

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Chaos control in a brushless DC motor based on finite-time stability theory

WANG Mu-feng1, WEI Du-qu1,2, LUO Xiao-shu1, ZHANG Bo2

(1. College of Electronic Engineering, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China;2. College of Electric Power, South China University of Technology, Guangzhou 510610, China)

Here, a nonlinear controller was designed to control chaos in a BLDCM system based on finite-time stability and Lyapunov stability theory. Theoretical analysis proved that this control strategy can stabilize the chaotic system at the equilibrium point within a finite time. The numerical simulation results demonstrated the correctness and effectiveness of the proposed control strategy. It was shown that the control strategy has an important meaning for stable operation of a BLDCM in industrial automation manufacturing.

finite-time stability theory; lyapunov stability theory; chaos control; brushless DC motor (BLDCM)

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.015

國家自然科學基金重點項目資助課題(50937001)；國家自然科學基金資助課題(61263021;11262004;10947011;11562004)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-07-13

汪慕峰 男，碩士生，1990年生

韋篤取 男，教授, 1975年生

TM341

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