舊時王謝堂前燕　飛入尋常百姓家*
——談曲線系構造的一種方法

●張曉東　王志和

(奉賢中學　上海　201499)

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舊時王謝堂前燕飛入尋常百姓家*
——談曲線系構造的一種方法

●張曉東王志和

(奉賢中學上海201499)

摘要：構造曲線系解題感覺很深奧，其實如果方法規律總結得好，就能使得深奧的問題淺顯易懂.文章把直線上升為曲線，構造曲線系解題.

關鍵詞：曲線系；構造；四邊形

構造曲線系解題，在一些數學競賽的輔導書上容易見到.但解法感覺有點深奧，正如人們所說，好像在一堆磚塊中突然鉆出一只老鼠，不知從何而來.筆者總結了一類曲線系構造的規律，按此規律，可以輕而易舉地構造曲線系.正如古代詩人劉禹錫所說：“舊時王謝堂前燕，飛入尋常百姓家.”

首先給出2個約定：如圖1所示的凹四邊形ABCD稱為曲線的內接凹四邊形，AB與CD是一組對邊，BC與AD是另一組對邊.如圖2所示的四邊形APPB稱為曲線的內接(退化)四邊形，PA與PB是一組對邊，AB與過點P的切線是一組對邊，記為四邊形APPB.

接著，設出一組對邊的方程，構造出曲線系，在曲線系中選取適當的λ，使之出現已知一邊的方程，進而便得到要用的直線方程了.

這種方法不但有規律可循，而且可以減輕很多計算量.

例1如圖3，過拋物線C1:y2=2px(其中p>0)的頂點作互相垂直的直線l1,l2，其中l1與C1交于點P，l2與C1交于點Q，求證：直線PQ過定點，并求出這個定點.

圖3　　　　　　　　　圖4

即

亦即

已知此直線系中含有直線l1，l2,還包含過點O的拋物線切線及對邊PQ，其切線是x=0.為了產生因式x-0，令λ=1，則

1)求橢圓的方程；

2)若k1k2=2，探究：直線AB是否過定點？

2)考查橢圓的內接退化四邊形APPB，設直線PA:y=k1x-2，PB:y=k2x-2，該四邊形還有1條邊的方程是過點P且與橢圓相切的直線，即y+2=0.設過點P,A,B的曲線系方程是

其中k1k2=2，即

亦即

令λ=-2，則

評注如果說例1還沒有顯示曲線系方法的威力，那么例2會讓我們感覺曲線系方法的神奇，這種方法要比韋達定理方法簡單易行，而且使得很多題目的解法近乎如出一轍.

圖5

例3如圖5，已知A,B是拋物線y2=2px(其中p>0)上異于原點的2個點，已知OA,OB的傾斜角是α,β，θ是一個定數，且α+β=θ,其中θ∈(0,π).當α,β變動時，求證:直線AB過定點，并求出這個定點.

(2005年山東省數學高考理科試題)

(λ+1)y2-(k1+k2)xy+k1k2x2-2pλx=0.

k1k2(tanθ·2p+x)-tanθ·y+2p=0,

因此直線AB過定點(-2p,2pcotθ).

綜上所述，直線AB過定點(-2p,2pcotθ).

(2013年四川省高中數學競賽試題)

即

亦即

圖6

評注這種方法會減少很多計算量.

(2010年江蘇省數學高考試題改編)

證明考查橢圓內接凹四邊形A1A2QP，其中一邊A1A2的方程是y=0，要求它的對邊PQ的方程.

即

亦即

為出現y-0這個因式，令λ=-a2t2，得

從而

評注本題是解析幾何中典型的“會做但算不出”的題目，用曲線系的方法可以很快得到答案.

圖7

(2011年四川省數學高考試題)

即

亦即

為了出現因式y-0，令λ=-1，則上式為

得

令y=0，得

參考文獻

[1]蔡正文,廣隸.巧用曲線系方法解題[J].中學數學教學參考：上旬，2015(8)：65-67.

修訂日期：*收文日期：2016-04-03；2016-05-10

作者簡介：張曉東(1981-)，男，山東泰安，中學一級教師.研究方向：數學教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-35-04