學(xué)了就要用*
——高中生也能解平面幾何題

●崔志榮

(安豐中學(xué)　江蘇東臺　224221)

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學(xué)了就要用*
——高中生也能解平面幾何題

●崔志榮

(安豐中學(xué)江蘇東臺224221)

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)，要讓學(xué)生明白知識、方法的內(nèi)涵，知道學(xué)習(xí)它的意義.不僅如此，還要有合理的應(yīng)用導(dǎo)向，要突破問題的界限，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用遷移能力，發(fā)揮所學(xué)知識、方法的工具性作用，把它們充分運用到所能解決的問題中去.讓學(xué)生學(xué)以致用，這應(yīng)是我們追求的教學(xué)境界.

關(guān)鍵詞：學(xué)以致用;教育價值;問題界限

1方法啟示

圖1

(《學(xué)數(shù)學(xué)》“數(shù)學(xué)貼吧”2016年第1季探究問題)

筆者為什么會關(guān)注到這道平面幾何題呢？因為這道題的供題人是單墫教授，而且這道題的問題有點特別，“不用三角函數(shù)”證明結(jié)論，意思是用三角函數(shù)證明，難度可能不大，但另一層意思是，不一定非要用綜合法證明該題，還可以用其他方法來研究這道平面幾何題.

受此啟發(fā)，筆者想到不參加競賽的高中生平面幾何知識遺忘比較嚴重，對較難的平面幾何題，很不適應(yīng)用定理結(jié)合題目條件推理證明結(jié)論，他們能否運用高中所學(xué)習(xí)的知識方法去研究這道平面幾何題呢？

2學(xué)以致用

帶著上述思考，筆者回顧了一下高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，擬站在高中生的角度，分析這道幾何題.首先高中生會不會用分析法梳理需要證明的結(jié)論呢？

條件：

結(jié)論：

即要證

即證

2.1解析法

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，它是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，如讓高中生做這道平面幾何題，應(yīng)想到解析法.

圖2

證法1如圖2，以BC所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立直角坐標系.設(shè)B(m,0)，C(n,0)，A(0,h)，其中m<0,n>0,h>0，則AD=h.因為

所以直線BH的方程為

令x=0，得

即

從而

又由點B,C的坐標可得以BC為直徑的⊙M方程為

(x-m)(x-n)+y2=0，

令x=0，得

即

于是

從上述解題過程可以發(fā)現(xiàn)，這道平面幾何題用解析法比較容易解決，關(guān)鍵是學(xué)生要有較強的建系意識.對于一個具體的平面幾何題，解析法不一定非常簡單，但它是我們要思考的方法之一，比較綜合法與解析法，看看哪個方法更簡便易行.

2.2三角函數(shù)法

單教授提出不用三角函數(shù)證明，說明由該題的條件想到三角函數(shù)不難，由于題中垂直條件較多，只要在直角三角形中運用三角函數(shù)知識，選擇幾個基本量表示結(jié)論中的相關(guān)量即可.其實，需用的三角函數(shù)知識并不多，高中生與初中生一樣能完成，關(guān)鍵是學(xué)生是否會往這一方向走？

圖3

證法2如圖3，設(shè)AD=h，則

聯(lián)結(jié)BE,CE,因為AD⊥BC，且BC為⊙M的直徑，所以

且∠CHD=∠ABC，于是

上述過程，所選擇的基本量是AD，tan∠ABC,tan∠ACB,以此表示結(jié)論中的4個長度AD,AE,AH,DE.為什么把AD,tan∠ABC,tan∠ACB作為本題的基本量呢？因為這3個量能夠控制整個圖形的形狀，其中AD具有橋梁作用，它連接Rt△ABD和Rt△ACD.

2.3向量法

向量集數(shù)形于一身，它是解決幾何問題的一個工具，也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，可讓高中生用向量法證明這道平面幾何題.若用向量的坐標運算求解，則與解析法相差無異，用向量的非坐標運算，怎么證明呢？

AD·AH-AE·ED-AD·AE=0，

轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運算即可.如圖3，因為

2.4分析法

分析法是尋找結(jié)論成立原因的一種推理方法，上文已初步運用了分析法，實際上，可以完全用分析法證明該題的結(jié)論.

AD·AH-AE·ED=AD·AE，

?

AP·AC=AE(AD+DE)，

?

AP·AC=(AD-DE)·(AD+DE)，

?

AP·AC=AD2-DE2，

?

AP·AC=AC2-CD2-BD·CD，

?

CD2+BD·CD=AC2-AP·AC，

?

CD·BC=AC·PC.

而由△ACD與△BCP相似，可得CD·BC=AC·PC成立，故原命題結(jié)論成立.

高中生已詳細學(xué)習(xí)了分析法的原理，面對這道平面幾何題，容易想到分析法.當(dāng)然，上述證明過程有一個關(guān)鍵不易想到，即把AE換為AD-DE轉(zhuǎn)化為平方運算.

3學(xué)以致用的2點思考

單教授提供的這道平面幾何題，可用高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識求解.當(dāng)然，不是每一道平面幾何題，都能用上述方法順利完成，但對任何一道平面幾何題，我們都應(yīng)有上述幾種分析思路，從中選擇合適的方法求解.這讓筆者重新審視了高中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，再理解它們的本質(zhì)內(nèi)涵、領(lǐng)悟它們的教育價值，反思這些內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中?如何把根留住(詳見文獻[1]),如何讓學(xué)生學(xué)以致用？就此談2點個人看法，不足之處，望批評指正.

3.1提高教育價值取向，讓學(xué)生學(xué)以致用

如果讓高中生完成單教授提供的那道平面幾何題，他們能想到上述4種證明方法嗎？我們先看下面這個案例，答案自然知曉.

圖4

例2如圖4，在梯形ABCD中，B，D關(guān)于對角線AC對稱的點分別是B′,D′，A,C關(guān)于對角線BD對稱的點分別是A′,C′，證明：四邊形A′B′C′D′是梯形.

(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽測試卷試題)

筆者在文獻[2]中提到，筆者所在市(縣級市)有3所四星級高中和2所三星級高中，四星級高中參賽人數(shù)比例約80%，三星級高中參賽人數(shù)比例約5%，全市約2 500人參賽.閱卷統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：1)約60%的考生試卷空白；2)約35%的考生運用綜合法完成，但完全正確的人數(shù)只有27人，約占總數(shù)的1%；3)約5%的考生選擇了解析法.

上述案例說明，高中生面對平面幾何題的主要思路仍然是綜合法，大多數(shù)學(xué)生不能把高中所學(xué)知識用到平面幾何題的分析中去.事實上，這道聯(lián)賽題用解析法容易完成(解析法詳見文獻[1]).因此，有必要反思一下高中數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的教育價值.

對于解析幾何，除了要讓學(xué)生掌握直線與圓、圓錐曲線等解析知識外，還要讓學(xué)生領(lǐng)悟解析思想，增強建系意識，讓學(xué)生學(xué)以致用，把解析知識切實用到解決平面幾何問題中去，而不僅僅是讓學(xué)生會做“解幾題”，即解決坐標系下的直線與圓以及圓錐曲線問題.

向量既是知識，又是解決實際問題的工具，我們只教給學(xué)生向量知識，讓他們做所謂的向量題，太狹隘了！應(yīng)發(fā)揮它解決平面幾何、物理等相關(guān)問題的作用，體現(xiàn)學(xué)習(xí)向量的價值.

三角函數(shù)源于三角形，并形成了一個重要的數(shù)學(xué)分支.作為中學(xué)數(shù)學(xué)，我們不能只讓學(xué)生做三角函數(shù)題，還要加強它的應(yīng)用，也不能只用于解三角形，很多復(fù)雜的幾何圖形都是以三角形為單元，要讓學(xué)生分解出這些圖形中的三角形，再運用三角函數(shù)知識解決問題.

分析法是一種方法，是一種思維，不能當(dāng)成知識教給學(xué)生，也不要指望學(xué)習(xí)分析法時，教幾道例題，學(xué)生練習(xí)幾道題，他們就能掌握分析法.只有在平時解題教學(xué)中多運用，學(xué)生的逆向思維能力才能得以提升，碰到具體問題時，才能用分析法完成.請看下面的例3，并沒有指明用什么方法證明，但可以用分析法迅速解答.

(2015年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

分析由f′(x)=(1+x)2ex=0，得

xP=-1，

因此

yP=2e-1-a，

于是

kOP=a-2e-1.

因為點M的坐標為(m,n)，所以函數(shù)f(x)在點M處的切線斜率為

k=(1+m)2em，

于是

a-2e-1=(1+m)2em.

至此，經(jīng)驗不豐富的學(xué)生將無法繼續(xù)推算，但若善于運用分析法，則能順利完成.

問題即要證(m+1)3≤a-2e-1，即證

(m+1)3≤(1+m)2em，

即

em≥1+m，于是構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x-1，證明g(x)≥0即可.

數(shù)學(xué)課堂要凸顯教育價值，教學(xué)就要加強所學(xué)知識的應(yīng)用價值，讓學(xué)生學(xué)有所用，用到解決具體問題中去，這應(yīng)是教學(xué)要追求的境界.

3.2突破問題界限，加強知識方法的遷移

對于現(xiàn)行的數(shù)學(xué)考試，筆者有點想法提出來與廣大讀者商榷.筆者認為考試題型太過于固定，問題的界限太明顯.比如數(shù)學(xué)高考解析幾何的考查，通常有一道大題，一般是坐標系下的橢圓(或圓、拋物線、雙曲線)問題，所提問題過于死板，或者讓學(xué)生求一些幾何量、或者證明一些幾何性質(zhì)，試題的封閉性很強，就是按照考試說明的要求，考查學(xué)生的解析幾何知識.當(dāng)然，筆者不是反對這種考查形式，它確實考查了學(xué)生的思維能力、運算能力、方法的選擇能力等，可以突破問題的界限，增加一點發(fā)散性.筆者對上文單教授給出的題目改編如下:

高中數(shù)學(xué)考查平面幾何題，行不行？筆者認為可以，我們的目的不是考查學(xué)生的幾何推理能力，而是高中所學(xué)知識的遷移運用，讓學(xué)生學(xué)有所用.這道改編題讓學(xué)生分析解題思路，類似于課題研究，要找準課題研究的方向.它能考查學(xué)生知識的綜合運用能力和遷移能力，只有深刻理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，才能完成.當(dāng)然，不是說所有考題，都要以這種形式命題，但筆者認為現(xiàn)行的數(shù)學(xué)考試，要減少題量、減少封閉性試題；要大膽突破界限，增加研究型、開放性試題，加強學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的考查，讓學(xué)生把所學(xué)知識靈活運用到解決不同類型問題中去.

我們常講，要讓學(xué)生構(gòu)建知識體系.構(gòu)建知識體系，談何容易？不突破問題的界限，讓學(xué)生思考知識的關(guān)聯(lián)，只讓學(xué)生解決封閉性試題，著重“術(shù)”的研究，學(xué)生的理解終究不會深刻，很難做到知識遷移，學(xué)有所用.

4結(jié)束語

把知識方法教給學(xué)生容易，但要讓學(xué)生學(xué)了就能用，不容易！你得讓學(xué)生明白知識方法的內(nèi)涵，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)它的意義，不僅如此，還要有合理的應(yīng)用導(dǎo)向，逐步熏陶學(xué)生的應(yīng)用意識，才能提高學(xué)生應(yīng)用的遷移能力，真正做到學(xué)以致用.

參考文獻

[1]曹鳳山.數(shù)學(xué)教學(xué)：把根留住——2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：3-6.

[2]崔志榮,薛宗華.落實解析幾何教學(xué)的四個環(huán)節(jié)——由一道聯(lián)賽題引起的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(10)：16-18.

[3]羅增儒.什么是“數(shù)學(xué)題”——商榷“數(shù)學(xué)題”的流行誤解[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(12)：1-6.

修訂日期：*收文日期：2016-04-09；2016-05-10

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點自籌課題(B-b/2015/01/088)

作者簡介：崔志榮(1978-)，男，江蘇東臺人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O12

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-26-04